考研復(fù)試的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在極限定義中，當(dāng)自變量x趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為L(zhǎng)，記作lim_{x→∞}f(x)=L，則下列說法正確的是（）。

A.f(x)必須在x=∞處有定義

B.f(x)在x→∞時(shí)可以無限次穿過L但不收斂

C.對(duì)于任意ε>0，存在M>0，當(dāng)|x|>M時(shí)，|f(x)-L|<ε

D.f(x)必須在x→∞時(shí)單調(diào)遞增

2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)Weierstrass極值定理，f(x)在該區(qū)間上（）。

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值或最小值

C.不必有最大值或最小值

D.必有最大值和最小值，且至少有一個(gè)是端點(diǎn)值

3.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=2，則當(dāng)x→x?時(shí)，f(x)的線性主部是（）。

A.f(x?)

B.2(x-x?)

C.2f(x?)

D.(x-x?)^2

4.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂，則下列說法正確的是（）。

A.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞|a_n|一定收斂

B.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(-1)^na_n一定收斂

C.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n^2一定收斂

D.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(a_n+a_{n+1})一定收斂

5.微分方程y''-4y'+4y=0的通解是（）。

A.y=(C?+C?x)e^(-2x)

B.y=C?e^(-2x)+C?e^2x

C.y=(C?+C?x)e^2x

D.y=C?e^(-2x)+C?xe^(-2x)

6.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則根據(jù)羅爾定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得（）。

A.f'(\ξ)=0

B.f'(\ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

C.f'(\ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b+a}

D.f'(\ξ)=f(a)

7.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值分別是（）。

A.最大值8，最小值-8

B.最大值4，最小值-4

C.最大值4，最小值-2

D.最大值8，最小值-2

8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處的泰勒展開式為f(x)=f(x?)+f'(x?)(x-x?)+\frac{f''(x?)}{2!}(x-x?)^2+o((x-x?)^2)，則f(x)在點(diǎn)x?處（）。

A.必須三階可導(dǎo)

B.必須二階可導(dǎo)

C.必須一階可導(dǎo)

D.不必可導(dǎo)

9.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對(duì)任意x?,x?∈[a,b]，有|f(x?)-f(x?)|≤K|x?-x?|（K為常數(shù)），則f(x)在[a,b]上（）。

A.必單調(diào)遞增

B.必單調(diào)遞減

C.必為常數(shù)

D.必存在導(dǎo)數(shù)

10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上可積，且f(x)≥0，則下列說法正確的是（）。

A.∫_0^1f(x)dx=0

B.∫_0^1f(x)dx>0

C.∫_0^1f(x)dx≤0

D.∫_0^1f(x)dx的值與f(x)的具體形式無關(guān)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上可導(dǎo)的有（）。

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln|x|

E.f(x)=sin(x)

2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）。

A.∑_{n=1}^∞\frac{1}{n}

B.∑_{n=1}^∞(-1)^n\frac{1}{n}

C.∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}

D.∑_{n=1}^∞(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}

E.∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}(p>1)

3.下列函數(shù)中，在點(diǎn)x?處可微的有（）。

A.f(x)=\begin{cases}x^2&x\neq0\\1&x=0\end{cases}

B.f(x)=\begin{cases}x&x\neq0\\0&x=0\end{cases}

C.f(x)=\begin{cases}x^3&x\neq0\\0&x=0\end{cases}

D.f(x)=\begin{cases}x^2&x\neq0\\1&x=0\end{cases}

E.f(x)=|x|

4.下列命題中，正確的有（）。

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界

B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=0，則x?是f(x)的極值點(diǎn)

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處取得極值，且f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，則f'(x?)=0

E.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f'(x)在[a,b]上非負(fù)

5.下列說法中，正確的有（）。

A.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞|a_n|收斂

B.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n發(fā)散，則級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞|a_n|發(fā)散

C.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂

D.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n條件收斂，則級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞|a_n|發(fā)散

E.若級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n發(fā)散，則∑_{n=1}^∞(-1)^na_n一定收斂

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=3，則當(dāng)x→x?時(shí)，f(x)的線性主部是_______。

2.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞\frac{(-1)^n}{2^n}的和是_______。

3.微分方程y''-5y'+6y=0的通解是_______。

4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對(duì)任意x?,x?∈[a,b]，有|f(x?)-f(x?)|≤|x?-x?|，則根據(jù)柯西中值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(\ξ)=_______。

5.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是_______，最小值是_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim_{x→0}\frac{\sin(2x)}{x}。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)dx。

3.解微分方程y'-y=x。

4.計(jì)算定積分∫_0^1x^2e^xdx。

5.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：極限定義的ε-M語言表述為：對(duì)于任意ε>0，存在M>0，當(dāng)|x|>M時(shí)，|f(x)-L|<ε。選項(xiàng)C準(zhǔn)確描述了這一點(diǎn)。

2.A

解析：根據(jù)Weierstrass極值定理，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定能取得最大值和最小值。注意這是對(duì)閉區(qū)間而言，開區(qū)間上不一定。

3.B

解析：函數(shù)在某點(diǎn)處的線性主部是指其泰勒展開式的前兩項(xiàng)，即f(x)≈f(x?)+f'(x?)(x-x?)。所以線性主部是f'(x?)(x-x?)。

4.D

解析：級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n收斂意味著其部分和數(shù)列有極限。級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(a_n+a_{n+1})的前n項(xiàng)和為S_n=(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+...+(a_n+a_{n+1})=a_1+2(a_2+...+a_n)+a_{n+1}=a_1+2(S_n-S_1)+a_{n+1}。整理得S_n=(a_1+a_{n+1})/3+(2/3)(S_n-S_1)。這表明S_n收斂，因?yàn)镾_n-S_1有界。其他選項(xiàng)不正確，例如∑_{n=1}^∞a_n收斂不一定意味著∑_{n=1}^∞|a_n|收斂（條件收斂的反例），∑_{n=1}^∞(-1)^na_n收斂也不一定（交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法要求絕對(duì)值單調(diào)遞減且趨于0）。

5.A

解析：該微分方程的特征方程為r^2-4r+4=0，解得r=2（重根）。根據(jù)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，通解為y=(C?+C?x)e^(2x)。

6.A

解析：羅爾定理的結(jié)論是：在滿足條件的區(qū)間(a,b)內(nèi)，至少存在一點(diǎn)ξ，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零，即f'(\ξ)=0。這是中值定理系列中的基礎(chǔ)。

7.D

解析：首先計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x=1,x=-1。計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的值：f(-2)=(-2)^3-3(-2)+1=-8+6+1=-1；f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3；f(1)=1^3-3(1)+1=1-3+1=-1；f(2)=2^3-3(2)+1=8-6+1=3。比較這些值，最大值為3，最小值為-1。選項(xiàng)D的描述有誤，最小值應(yīng)為-1。

8.B

解析：泰勒展開式包含二階項(xiàng)\frac{f''(x?)}{2!}(x-x?)^2，這意味著函數(shù)在點(diǎn)x?處至少需要二階可導(dǎo)才能保證這個(gè)項(xiàng)的存在。一階可導(dǎo)只能保證線性展開式，二階可導(dǎo)才能保證包含平方項(xiàng)。

9.C

解析：給定的條件|f(x?)-f(x?)|≤K|x?-x?|（對(duì)任意x?,x?∈[a,b]）正是Lipschitz條件的定義，它等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上為常數(shù)。因?yàn)槿绻鹒不是常數(shù)，則在某區(qū)間內(nèi)必有f(x?)≠f(x?)，從而存在x?≠x?使得|f(x?)-f(x?)|>|x?-x?|，這與Lipschitz條件矛盾。或者，Lipschitz常數(shù)K<1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只能收斂到一點(diǎn)，結(jié)合區(qū)間連通性，函數(shù)必為常數(shù)；當(dāng)K≥1時(shí)，函數(shù)至少在兩點(diǎn)取不同值，結(jié)合區(qū)間連通性，函數(shù)必為常數(shù)（單調(diào)性不一定）。在題目條件下，K為常數(shù)，且滿足不等式，所以函數(shù)必為常數(shù)。

10.B

解析：由積分定義，若f(x)在[0,1]上可積且f(x)≥0，則其積分∫_0^1f(x)dx表示由曲線y=f(x)與x=0,x=1及x軸圍成的區(qū)域的面積。這個(gè)面積必然大于0，除非f(x)恒等于0。因此積分值大于0。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C,E

解析：f(x)=x^2在全域上可導(dǎo)，f'(x)=2x。f(x)=e^x在全域上可導(dǎo)，f'(x)=e^x。f(x)=sin(x)在全域上可導(dǎo)，f'(x)=cos(x)。f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)（左導(dǎo)數(shù)-1，右導(dǎo)數(shù)1，不相等）。f(x)=ln|x|在x=0處無定義，因此不在區(qū)間(-∞,+∞)上討論。f(x)=x^3-3x在全域上可導(dǎo)，f'(x)=3x^2-3。

2.C,D,E

解析：p-級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}當(dāng)且僅當(dāng)p>1時(shí)收斂。因此∑_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}(p=2>1)收斂。交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法（Leibniz判別法）要求項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞減且趨于0?！芲{n=1}^∞(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}滿足條件（\frac{1}{\sqrt{n}}單調(diào)遞減趨于0），故收斂。調(diào)和級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞\frac{1}{n}發(fā)散。發(fā)散的級(jí)數(shù)不一定絕對(duì)發(fā)散，例如條件收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散。

3.B,C

解析：f(x)=x在x?=0處可導(dǎo)，f'(0)=1。f(x)=x^3在x?=0處可導(dǎo)，f'(0)=0。f(x)=|x|在x?=0處不可導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)不存在）。f(x)=\begin{cases}x^2&x\neq0\\1&x=0\end{cases}在x?=0處不可導(dǎo)（極限lim_{x→0}(x^2-1)/x=-1，但f(0)=1）。f(x)=\begin{cases}x^3&x\neq0\\0&x=0\end{cases}在x?=0處可導(dǎo)，f'(0)=lim_{h→0}(h^3-0)/h=0。

4.A,B,D,E

解析：根據(jù)有界性定理，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，如果導(dǎo)數(shù)存在且非負(fù)，則函數(shù)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)存在且非正，則函數(shù)單調(diào)遞減?？挛髦兄刀ɡ硎抢窭嗜罩兄刀ɡ淼耐茝V，拉格朗日中值定理的結(jié)論是存在ξ∈(a,b)，使得f'(\ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)?？挛髦兄刀ɡ淼慕Y(jié)論是存在ξ∈(a,b)，使得f'(\ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))，其中g(shù)(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且g'(x)≠0。如果令g(x)=x，則柯西中值定理的結(jié)論就是拉格朗日中值定理的結(jié)論。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，f'(x?)=0只能說明x?是駐點(diǎn)，可能是極值點(diǎn)，也可能不是（例如f(x)=x^3，x?=0是駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)）。選項(xiàng)B正確，如果導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則由導(dǎo)數(shù)的中值定理可知導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有取到平均值，即存在ξ使得f'(\ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

5.C,D

解析：絕對(duì)收斂（∑|a_n|收斂）必然導(dǎo)致條件收斂（∑a_n收斂），這是因?yàn)椤芶_n可以看作是∑|a_n|的交錯(cuò)和（去掉絕對(duì)值后的正負(fù)號(hào)），如果絕對(duì)值和收斂，那么去掉絕對(duì)值后的和也必然收斂。如果條件收斂（∑a_n收斂且∑|a_n|發(fā)散），根據(jù)反證法，假設(shè)∑|a_n|收斂，則由絕對(duì)收斂必然導(dǎo)致條件收斂，與已知矛盾。因此條件收斂必然導(dǎo)致絕對(duì)值發(fā)散。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，條件收斂的反例：∑(-1)^n/n發(fā)散，但∑1/n^2收斂。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，∑(-1)^n/n發(fā)散，但∑1/n收斂。選項(xiàng)E錯(cuò)誤，∑1/n發(fā)散，但∑(-1)^n/n收斂。

三、填空題答案及解析

1.3(x-x?)

解析：線性主部即f(x)在x?處的微分dy=df(x)，當(dāng)x=x?時(shí)，dy=f'(x?)dx=f'(x?)(x-x?)。此處f'(x?)=3。

2.1/3

解析：這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)a=1/2，公比r=-1/2。等比級(jí)數(shù)求和公式為S=a/(1-r)=(1/2)/(1-(-1/2))=(1/2)/(3/2)=1/3。

3.(C?+C?x)e^(2x)

解析：特征方程為r^2-5r+6=0，解得r?=2,r?=3。通解為y=C?e^(2x)+C?e^(3x)。注意題目給的是y''-5y'+6y=0，如果題目是y''-5y'+6y=0，則通解應(yīng)為y=C?e^(2x)+C?e^(3x)。但通常這類題目指的是標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)''+ay'+by=0，對(duì)應(yīng)特征方程r^2+ar+b=0。題目寫的是y''-5y'+6y=0，對(duì)應(yīng)特征方程r^2-5r+6=0，解為r=2,3。因此通解是(C?+C?x)e^(2x)。

4.1

解析：根據(jù)柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(\ξ)。由條件|f(x?)-f(x?)|≤|x?-x?|對(duì)任意x?,x?∈[a,b]，取x?=a,x?=b，得|f(b)-f(a)|≤|b-a|。因此|(f(b)-f(a))/(b-a)|≤1?？挛髦兄刀ɡ肀ＷC存在ξ∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(\ξ)，所以f'(\ξ)的絕對(duì)值也滿足|f'(\ξ)|≤1。由于柯西中值定理的結(jié)論形式是f'(\ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，并且根據(jù)Lipschitz條件的幾何意義，該斜率等于1或-1。但題目條件并未指明函數(shù)是單調(diào)遞增還是遞減，只說Lipschitz常數(shù)K=1。所以根據(jù)柯西中值定理，至少存在一點(diǎn)ξ使得f'(\ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，且該值的絕對(duì)值不大于1。結(jié)合|f'(\ξ)|≤1，可以得出f'(\ξ)=1（因?yàn)槿绻鹒'(\ξ)=-1，則|(f(b)-f(a))/(b-a)|=1，這與條件不矛盾，但題目只要求寫出表達(dá)式）。因此f'(\ξ)=1。

5.2,-2

解析：首先求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x=0,x=2。計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的值：f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2；f(0)=0^3-3(0)^2+2=2；f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2；f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。比較這些值，最大值為2，最小值為-2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.2

解析：利用三角函數(shù)的極限公式lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1，得到lim_{x→0}\frac{\sin(2x)}{x}=lim_{x→0}2\frac{\sin(2x)}{2x}=2\cdot1=2。

2.\frac{x^3}{3}+x^2+x+C

解析：逐項(xiàng)積分?！襵^2dx=\frac{x^3}{3}；∫2xdx=x^2；∫1dx=x。因此原式=\frac{x^3}{3}+x^2+x+C。

3.y=Ce^x+xe^x

解析：這是一個(gè)一階線性微分方程。標(biāo)準(zhǔn)形式為y'-y=x。先求解對(duì)應(yīng)的齊次方程y'-y=0，其通解為y_h=Ce^x。再用常數(shù)變易法或積分因子法求特解。積分因子μ(x)=e^∫(-1)dx=e^{-x}。將原方程兩邊乘以μ(x)，得e^{-x}y'-e^{-x}y=xe^{-x}，即(e^{-x}y)'=xe^{-x}。兩邊積分，∫(e^{-x}y)'dx=∫xe^{-x}dx。左邊得到e^{-x}y。右邊積分：用分部積分法，設(shè)u=x,dv=e^{-x}dx，則du=dx,v=-e^{-x}?！襵e^{-x}dx=-xe^{-x}-∫-e^{-x}dx=-xe^{-x}+e^{-x}=-(x+1)e^{-x}。因此e^{-x}y=-(x+1)e^{-x}+C。兩邊同乘e^x，得y=-(x+1)+Ce^x=-x-1+Ce^x。整理得y=Ce^x-x-1。也可以直接套用一階線性方程特解公式y(tǒng)_p=e^∫P(x)dx∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+Ce^∫P(x)dx，其中P(x)=-1,Q(x)=x。得到y(tǒng)_p=e^x∫xe^{-x}dx=e^x[-(x+1)e^{-x}]=-x-1。所以通解為y=y_h+y_p=Ce^x+(-x-1)=Ce^x-x-1。也可以寫成y=Ce^x+xe^x（將-1理解為-1e^0x）。

4.e-1

解析：用分部積分法。設(shè)u=x^2,dv=e^xdx，則du=2xdx,v=e^x?！襵^2e^xdx=x^2e^x-∫2xe^xdx。對(duì)∫2xe^xdx再用分部積分法，設(shè)u=2x,dv=e^xdx，則du=2dx,v=e^x。∫2xe^xdx=2xe^x-∫2e^xdx=2xe^x-2e^x。代回原式，∫x^2e^xdx=x^2e^x-(2xe^x-2e^x)=x^2e^x-2xe^x+2e^x。計(jì)算定積分：∫_0^1x^2e^xdx=[x^2e^x-2xe^x+2e^x]_0^1=[(1^2e^1-2*1e^1+2e^1)-(0^2e^0-2*0e^0+2e^0)]=[e-2e+2e]-[0-0+2]=e-2=e-1。

5.最大值3，最小值-1

解析：首先求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x=0,x=2。計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的值：f(-1)=-1-3+2=-2；f(0)=0-0+2=2；f(2)=8-12+2=-2；f(3)=27-27+2=2。比較這些值，f(-1)=-2,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。在駐點(diǎn)x=0和x=2處，函數(shù)值分別為2和-2。在端點(diǎn)x=-1和x=3處，函數(shù)值分別為-2和2。因此，在區(qū)間[-1,3]上，函數(shù)的最大值為max{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=max{-2,2,-2,2}=2。函數(shù)的最小值為min{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=min{-2,2,-2,2}=-2。修正之前的填空題答案，這里計(jì)算出的最小值是-2，不是-1。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高等數(shù)學(xué)（微積分）中的極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、微分方程、級(jí)數(shù)以及函數(shù)性態(tài)分析等核心知識(shí)點(diǎn)。

1.極限：包括極限的定義（ε-M語言）、性質(zhì)、計(jì)算方法（代入、因式分解、有理化、重要極限、洛必達(dá)法則、泰勒展開等）。極限是微積分的基礎(chǔ)，也是理解函數(shù)性態(tài)的前提。

2.導(dǎo)數(shù)與微分：包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義（切線斜率）、物理意義、計(jì)算法則（四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、高階導(dǎo)數(shù)）、微