計算機(jī)控制系統(tǒng)第4章計算機(jī)控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)如果系統(tǒng)中有一處或多處采樣開關(guān)，則該系統(tǒng)稱為采樣系統(tǒng)，如圖4-1所示，圖中的S即為采樣開關(guān)。圖4-1采樣控制系統(tǒng)計算機(jī)控制系統(tǒng)則屬于采樣控制系統(tǒng)，一個典型的計算機(jī)控制系統(tǒng)如圖4-2所示，注意，其中采樣開關(guān)的功能是通過A/D轉(zhuǎn)換器來完成的。圖4-2計算機(jī)控制系統(tǒng)4.1信號的采樣與保持4.1.1采樣過程采樣過程可以用一個周期性閉合的采樣開關(guān)S來表示，如圖4-3所示。假設(shè)采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次，T稱為采樣周期，閉合的持續(xù)時間為τ。采樣器的輸入為連續(xù)信號e(t)，輸出e*(t)為寬度等于的調(diào)幅脈沖序列。圖4-3實際采樣過程采樣開關(guān)的閉合時間τ非常小，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)，因此在分析時，可以認(rèn)為τ=0。

圖4-4理想采樣過程量化過程可用圖4-5說明。

圖4-5量化過程調(diào)制后的采樣信號可表示為也可寫成4.1.2采樣過程的數(shù)學(xué)描述及特性分析(4-2)

(4-3)

量化單位定義為

A/D轉(zhuǎn)換器的輸出信號

(4-4)

(4-5)

圖4-6零階保持器的輸入和輸出信號4.1.3信號保持零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如圖4-7所示，可表示為

圖4-7零階保持器的單位脈沖響應(yīng)(4-6)

(4-7)

圖4-8零階保持器的幅頻特性和相頻特性

采樣定理如果被采樣的連續(xù)信號e(t)的頻譜為有限寬，且頻譜的最大寬度為ωm

，又如果采樣角頻率ωs≥2ωm，并且采樣后再加理想濾波器，則連續(xù)信號e(t)可以不失真地恢復(fù)出來。其中ωs＝2π/T。4.1.4采樣定理圖4-9連續(xù)信號頻譜圖4-10采樣信號頻譜（ωs≥2ωm）可以理解為|E*(jω)|和|H(jω)|相“乘”，其“積”正好等于|E(jω)|圖4-11理想濾波器的頻率特性4.2Z變換理論

4.2.1Z變換定義

(4-11)

(4-12)

(4-13)

(4-14)

(4-15)

(4-16)

(4-17)

1.線性定理4.2.2Z變換性質(zhì)

(4-18)

2.實數(shù)位移定理(4-19)

(4-20)

3.復(fù)數(shù)位移定理4.初值定理5.終值定理(4-21)

(4-22)

(4-23)

6.卷積定理(4-24)

(4-25)

4.2.3Z變換方法例4-1

求單位階躍函數(shù)的Z變換。解單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為則將代入式(4-14)，可得

1.級數(shù)求和法例4-2

求的Z變換。解，根據(jù)式(4-14)，可得則兩邊同乘得兩式相減，可以求得

2．部分分式法(4-27)

(4-28)

例4-3

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)

的拉氏變換式為，求其Z變換。解將F(s)

根展開為部分分式由例4-1和例4-2可知

例4-4

求的Z變換。解求F(s)并將其展開為部分分式4.2.4Z反變換(4-29)

1．冪級數(shù)法例4-5

已知，求f*(t)

解F(z)可以寫為例4-6

用部分分式法求上例中F(z)的Z反變換式解將展開成部分分式為

查表得

2．部分分式法3．留數(shù)法

由復(fù)變函數(shù)理論可知

res

表示在F(z)的極點(diǎn)上的留數(shù)。一階極點(diǎn)的留數(shù)為

q階重極點(diǎn)的留數(shù)為

(4-30)

(4-31)

(4-32)

例4-7

用留數(shù)法求的Z反變換。解根據(jù)式(4-26)有例4-8

用留數(shù)法求的Z反變換。解由于F(z)

在z=1處有二重極點(diǎn)，因此4.3計算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述4.3.1差分方程及其求解

求對于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，采用下列微分方程來描述：

線性離散系統(tǒng)，其輸入與輸出之間可用線性常系數(shù)差分方程描述，即

(4-34)

1.迭代法

例4-9

已知差分方程

輸入序列為初始條件為c(0)=2，試用迭代法求解差分方程。

解

逐步以k=1,2,3,…，代入差分方程，則有

迭代法可以求出輸出序列，但不是數(shù)學(xué)解析式。迭代法的優(yōu)點(diǎn)是便于用計算機(jī)求解2.Z變換法

在離散系統(tǒng)中用Z變換求解差分方程，也使得求解運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，大大簡化和方便了離散系統(tǒng)的分析和綜合。用Z變換求解差分方程，主要用到了Z變換的實數(shù)位移定理

例4-10

求解差分方程

解對差分方程作Z變換

代入初始條件得

4.3.2脈沖傳遞函數(shù)

1.脈沖傳遞函數(shù)的基本概念對于圖4-12a所示的采樣系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)為

圖4-12采樣系統(tǒng)(4-36)

系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)

經(jīng)過采樣后離散信號g*(t)

的Z變換，可表示為

脈沖傳遞函數(shù)還可表示為

(4-37)

圖4-13兩種串聯(lián)結(jié)構(gòu)2.采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

在圖4-13a所示的開環(huán)系統(tǒng)中，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)存在，這時

(4-38)

在圖4-13b所示的系統(tǒng)中，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔離。這時系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(4-39)

圖4-14閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)3.采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)為

與線性連續(xù)系統(tǒng)類似，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的分母1+GH(z)即為閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項式。(4-40)

圖4-15具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)(4-41)

圖4-16有干擾信號的采樣系統(tǒng)(4-42)

4.4計算機(jī)控制系統(tǒng)的分析4.4.1計算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

S平面和Z平面這兩個復(fù)平面的關(guān)系復(fù)變量z和s的關(guān)系為 其中T為采樣周期。則

所以圖4-17s平面上虛軸在Z平面上的映象

系統(tǒng)的特征根為即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。根據(jù)以上分析可知，閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在Z平面的單位圓內(nèi)，或者所有根的模均小于1，即(4-43)

對于W平面上的虛軸，實部u=0，即這就是Z平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。

(4-45)

(4-44)

例4-13

判斷圖4-18所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時的穩(wěn)定性。圖4-18采樣系統(tǒng)解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為當(dāng)T=1s時，系統(tǒng)的特征方程為因為方程是二階，故直接解得極點(diǎn)為

由于極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)傳遞函數(shù)為解得極點(diǎn)為有一個極點(diǎn)在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。可以看出，一個原來穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果加長采樣周期，超過一定程度后，系統(tǒng)就會不穩(wěn)定。通常，T越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越差。c1=[1－10.632]roots(c1)c2=[120.927]roots(c2)MATLAB程序4.4.2計算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

圖4-20單位反饋采樣控制系統(tǒng)(4-46)

穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) 穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)(4-47)

(4-48)

(4-49)

表4-2單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)型別位置誤差r(t)=1(t)速度誤差r(t)=t加速度誤差r(t)=t2/20型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型00

4.4.3計算機(jī)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

如果可以求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z-1)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù)將上式展成冪級數(shù)，通過Z反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統(tǒng)的時域指標(biāo)與連續(xù)系統(tǒng)相同，故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線c(k)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。4.5連續(xù)系統(tǒng)的離散化

4.5.1連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法及特點(diǎn)

(1)雙線性變換法由z變換得定義可知，，利用級數(shù)展開可得(4-50)

(4-51)

(2)前向差分法(4-52)

(4-53)

(3)后向差分法(4-54)

(4-55)

4.5.2MATLAB在連續(xù)域－離散域變換中的應(yīng)用

MATLAB實現(xiàn)提供了符號運(yùn)算工具箱(SymbolicMathToolbox)，可方便地進(jìn)行Z變換和Z反變換進(jìn)行Z變換的函數(shù)是ztrans進(jìn)行Z反變換的函數(shù)是iztrans。函數(shù)調(diào)用格式函數(shù)說明c2dsysd=c2d(sysc,Ts,'method')連續(xù)時間LTI系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成離散時間系統(tǒng)模型c2dm[Ad,Bd,Cd,Dd]=2dm(A,B,C,D,Ts,'method')[numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,'method')連續(xù)時間LTI系統(tǒng)狀態(tài)空間模型或傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成離散時間系統(tǒng)模型d2csysc=d2c(sysd,'method')離散時間LTI系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成連續(xù)時間系統(tǒng)模型d2cm[A,B,C,D]=d2cm(Ad,Bd,Cd,Dd,Ts,'method')離散時間LTI系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成連續(xù)時間系統(tǒng)模型d2dSys=d2d(sysd,Ts)離散時間系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成新的Ts離散時間系統(tǒng)d2dt[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dt(A,B,C,Ts,lambda)具有純延遲lambda輸入的連續(xù)時間LTI狀態(tài)空間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成離散時間狀態(tài)空間系統(tǒng)表4-3連續(xù)系統(tǒng)模型與離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換函數(shù)表4-4選項'method'的功能說明選

項功能說明'zoh'對輸入信號加零階保持器'foh'對輸入信號加一階保持器'imp'脈沖不變變換方法'tustin'雙線性變換方法'prewarp'預(yù)先轉(zhuǎn)折變換方法，即改進(jìn)的雙線性變換方法'matched'零極點(diǎn)匹配變換方法4.5