2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題★★幾何探究題考向1：證明線段相等方法1：利用直角三角形斜邊上的中線1．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是AC邊上的高線，EG⊥AD于點(diǎn)G，AG＝DG.求證：CD＝AE.

若題中已知直角三角形，且所證線段是斜邊中線，常通過直角三角形斜邊來轉(zhuǎn)化．方法2：利用等角對(duì)等邊2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，∠BAD＝∠CBE.求證：AB＝AC.證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°.∴∠ABC＋∠BAD＝∠C＋∠CBE＝90°.又∵∠BAD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠C.∴AB＝AC.若題中所證線段是同一個(gè)三角形的兩邊，常通過等腰三角形的等角對(duì)等邊求證．方法3：利用全等證線段相等3．如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF∥AE，交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：DE＝DF.

若題中所證線段在兩個(gè)三角形中，常通過證三角形全等得對(duì)應(yīng)邊相等．4．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)．若∠EDF＝60°，求證：DE＝DF.證明：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴∠ADB＝∠DBF＝60°＝∠A，AD＝BD，∵∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF.5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，連接DF，EF.(1)求證：DF＝EF；

(2)連接DE，若AC＝2，ED＝1.判斷△DEF的形狀，并說明理由．

6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，且分別交CD，AC于點(diǎn)F，E.求證：CE＝CF.證明：∵∠ACB＝90°，∴∠CEB＋∠CBE＝90°，∵CD為AB邊上的高，∴∠CDB＝90°，∴∠DBF＋∠BFD＝90°，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CEB＝∠BFD，又∵∠BFD＝∠CFE，∴∠CEB＝∠CFE，∴CE＝CF.7．如圖，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AF⊥AE且AF＝AE.(1)如圖①，過F點(diǎn)作FG⊥AC交于點(diǎn)G，求證：AG＝EC；

(2)如圖②，連接BF交AC于點(diǎn)G，若AC＝BC＝4，AG＝3，求證：E為BC的中點(diǎn)．

考向2：證明兩角相等方法1：利用角平分線的判定定理1．如圖，已知△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．證明：過點(diǎn)F分別作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)G⊥AC于點(diǎn)G，∵BF平分∠CBD，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，∴FM＝FN，同理，F(xiàn)G＝FN，∴FM＝FG，又∵FM⊥AB，F(xiàn)G⊥AC，∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．若題中已知角的平分線，可作角兩邊的垂線(或已知角兩邊的垂線)，通過角平分線的性質(zhì)與判定來證得．方法2：利用等邊對(duì)等角2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BD＝DC.求證：∠ABD＝∠ACD.證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB.∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB.即∠ABD＝∠ACD.若題中所證角度是同一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角，常通過等腰三角形的等邊對(duì)等角求證．方法3：利用全等或相似證對(duì)應(yīng)角相等3．如圖，AC⊥CF于點(diǎn)C，DF⊥CF于點(diǎn)F，AB與DE交于點(diǎn)O，且EC＝BF，AB＝DE.求證：∠EAB＝∠EDB.

4．如圖，銳角三角形ABC的高AD，BE交于點(diǎn)H，連接DE.求證：∠CDE＝∠CAB.

若題中所證角度在兩個(gè)三角形中，常通過三角形全等或相似證對(duì)應(yīng)角相等．5．如圖，AD是△ACE的角平分線，BA＝BC，BD∥AE.求證：∠C＝∠E.證明：∵AD是△ACE的角平分線，∴∠DAC＝∠DAE，∵BD∥AE，∴∠ADB＝∠DAE，∠BDC＝∠E，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BA＝BC，∴BC＝BD，∴∠C＝∠BDC，∴∠C＝∠E.6．如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，BD＝CE.(1)求證：∠ADE＝∠AED；(2)若AC＝CD，求證：∠DAE＝∠C.

(2)∵AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD，∴∠C＝180°－2∠CDA，由(1)知∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝180°－2∠ADE，∴∠DAE＝∠C.7．如圖①，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝BC，EF＝DF，點(diǎn)D在邊AB上，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N.(1)求證：AD·BD＝AM·BN；

(2)如圖②，若E是BC延長線上一點(diǎn)，DE與AC交于點(diǎn)N，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，EM，其他條件不變．求證：ED平分∠BEM.

考向3：截長補(bǔ)短證明a＝b＋c1．如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠ADB＝∠ADC＝60°，求證：BD＋CD＝AD.證明：在AD上截取DE＝CD，∵∠ADC＝60°，∴△DCE為等邊三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE－∠BCE＝∠ACB－∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ECA(SAS)，∴BD＝AE，∵AE＋DE＝AD，∴BD＋CD＝AD.截長法：在最長邊上截取一段等于另外兩條短邊的其中一邊長.(最好與原線段共頂點(diǎn))補(bǔ)短法：有兩種方法：①沿其中一條短邊延長使得這條短邊延長后等于最長邊；②沿其中一條短邊延長使得延長出來的部分等于另一條短邊長．(可從每條短邊的不同端點(diǎn)延長)2．如圖，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，E為BC的中點(diǎn)，CN⊥AE交AB于點(diǎn)N，連接EN.(1)求證：∠1＝∠2；證明：∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴AC＝CB，∠1＋∠NCA＝90°，∵CN⊥AE，∴∠2＋∠NCA＝90°，∴∠1＝∠2.(2)求證：AE＝CN＋EN.證明：在AE上截取AM＝CN，連接CM，∵AC＝CB，∠1＝∠2，AM＝CN，∴△ACM≌△CBN(SAS)，∴CM＝BN，∠ACM＝∠B＝45°，∴∠MCE＝45°，∴∠B＝∠MCE.又∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴△MCE≌△NBE(SAS)，∴EM＝EN.∵AE＝AM＋EM，∴AE＝CN＋EN.3．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，且DF＝AD.(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的長；

(2)求證：AB＝DG＋FC.

考向4：證明a2＝bc類型1：直接求證法(2021T23)

(2024·無為模擬)如圖，在矩形ABCD中，E是CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，EF交AB的延長線于點(diǎn)F.求證：AE2＝DE·AF.

類型2：利用等線段轉(zhuǎn)化法(2017T23)

如圖，在矩形ABCD中，E為對(duì)角線的交點(diǎn)，BF⊥AE，垂足為F，且BF的延長線交AD于點(diǎn)M.求證：AB2＝AM·AD.

類型3：利用等比轉(zhuǎn)化法(2019T23)

如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，過點(diǎn)E作BC的垂線，交CA的延長線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H.求證：HE2＝HG·MH.

1．(2024·淮北模擬)如圖①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接DE.(1)求證：△AFC～△CFD；(1)證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＋∠DCF＝90°，∵CE⊥AD，∴∠CDF＋∠DCF＝90°∴∠ACF＝∠CDF，∵∠AFC＝∠CFD＝90°，∴△AFC～△CFD.

2．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG∥CD交AE于點(diǎn)G，連接DG，GE＝1，AG＝2.(1)求證：△FGE為等腰三角形；(1)證明：∵GF∥DE，∴∠FGE＝∠DEG.由折疊可得GD＝GF，DE＝FE，∠DGE＝∠FGE，∴∠DGE＝∠DEG，∴GD＝DE，∴GF＝FE，∴△FGE為等腰三角形．(2)求FG的長．

考向5：求線段的比值類型1：利用相似列比例式求線段比當(dāng)所求線段是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊時(shí)，需先證得相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得對(duì)應(yīng)線段的比．

【思路點(diǎn)撥】連接AC，AF構(gòu)造相似三角形．

類型2：利用設(shè)參數(shù)法求線段比若題干中有線段比，可用含參數(shù)的式子表示對(duì)應(yīng)線段，構(gòu)造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理或等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

類型3：利用解直角三角形求線段比見到含30°，45°，60°的三角形，可以通過構(gòu)造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形求解.

5．如圖，在?ABCD中，E是邊AD的延長線上一點(diǎn)，連接BE交邊CD于點(diǎn)F，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G.(1)求證：△BGC∽△EGA；(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠GAE＝∠GCB，∠GEA＝∠GBC，∴△BGC∽△EGA.

6．如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上的一點(diǎn)，CD⊥AD于點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H.(1)延長AB和DC交于點(diǎn)E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；

7．在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且∠ABC＝∠CFE＝60°，連接EC.(1)如圖①，若AB＝AD，在CD上截取DG＝DF，連接FG，求證：AE＝DF；(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形