§3

條件概率與獨(dú)立事件課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解條件概率的概念.2.分清條件概率與非條件概率的區(qū)別.3.明確求條件概率的兩個(gè)公式的區(qū)別.4.理解兩事件相互獨(dú)立的定義,并會(huì)判定事件的獨(dú)立性.5.會(huì)應(yīng)用公式P(AB)=P(A)·P(B)解決實(shí)際問題.

一二一、條件概率1.條件概率的概念已知B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率,稱為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率,記作P(A|B).2.條件概率的公式知識(shí)梳理

一二名師點(diǎn)撥1.由條件概率的定義知,P(B|A)與P(A|B)是不同的;另外,在事件A發(fā)生的前提下,事件B發(fā)生的概率為P(B|A),其值不一定等于P(B).事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生等價(jià)于事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,即AB發(fā)生,但P(B|A)≠P(AB).2.條件概率的性質(zhì)(1)條件概率具有概率的性質(zhì),任何事件的條件概率都在0和1之間,即0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).一二答案:B一二二、相互獨(dú)立事件1.一般地,對(duì)兩個(gè)事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么A,B相互獨(dú)立.2.相互獨(dú)立的性質(zhì)(2)若事件A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).(3)若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).一二名師點(diǎn)撥互斥與獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系(1)事件間的“互斥”與“獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念.兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生;兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件的發(fā)生與否沒有影響.學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)別開來.“獨(dú)立性”是指兩個(gè)試驗(yàn)中,一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生;“互斥性”是指兩個(gè)事件之間有很強(qiáng)的排斥關(guān)系:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,一個(gè)事件發(fā)生,另一個(gè)就不發(fā)生.此外,兩事件互斥則它們一定不獨(dú)立,兩事件獨(dú)立則它們一定不互斥.(2)一般地,可以證明,事件A與B(不一定互斥)中至少有一個(gè)發(fā)生的概率可按下面的加法公式計(jì)算:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特別地,當(dāng)事件A與B互斥時(shí),P(AB)=0,于是上式變?yōu)镻(A+B)=P(A)+P(B).一二【做一做2】

判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件:

(1)甲組3名男生、2名女生;乙組2名男生、3名女生,今從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;(2)容器內(nèi)盛有除顏色外都相同的5個(gè)白球和3個(gè)黃球,“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的還是白球”;(3)一筐內(nèi)有6個(gè)蘋果和3個(gè)梨,“從中任意取出1個(gè),取出的是蘋果”與“把取出的蘋果放回筐內(nèi),再從筐內(nèi)任意取出1個(gè),取出的是梨”.一二一二思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)條件概率一定不等于它的非條件概率.(

)(2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(

)(3)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(4)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√探究一探究二探究三思維辨析

【例1】

在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題,求:(1)第1次抽到理科題的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率;(3)在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率.分析(1)(2)是古典概率問題,(3)是條件概率問題,利用條件概率公式求解.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析【例2】一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A(yù)={一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩},B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}.對(duì)下述兩種情形,討論A與B的獨(dú)立性:(1)家庭中有兩個(gè)小孩;(2)家庭中有三個(gè)小孩.分析先寫出家庭中兩個(gè)小孩的所有可能情形,需注意基本事件(男,女),(女,男)是不同的,然后分別求出A,B所含的基本事件數(shù),由于生男生女具有等可能性,故可借助古典概型來求P(A),P(B)和P(AB)的概率,最后分析P(AB)是否等于P(A)·P(B).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析解(1)有兩個(gè)小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形為Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4個(gè)基本事件,由等可能性知這4個(gè)基本事件的概率均為這時(shí)A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},由此可知P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互獨(dú)立.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析(2)有三個(gè)小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形為Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為

,這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件,B中含有4個(gè)基本事件,AB中含有3個(gè)基本事件.從而事件A與B是相互獨(dú)立的.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

1.利用相互獨(dú)立事件的定義(即P(AB)=P(A)·P(B))可以準(zhǔn)確地判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立,這是用定量計(jì)算方法判斷,因此我們必須熟練掌握.2.判別兩個(gè)事件是否為相互獨(dú)立事件也可以從定性的角度進(jìn)行分析,也就是看一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生是否有影響.沒有影響就是相互獨(dú)立事件,有影響就不是相互獨(dú)立事件.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練

2從一副去除大、小王的撲克牌(52張)中任抽一張,設(shè)A=“抽得老K”,B=“抽得紅牌”,判斷事件A與B是否相互獨(dú)立.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析【例3】

在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率;(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求“X≥2”的事件概率.分析觀眾之間投票是相互獨(dú)立的,因此利用相互獨(dú)立事件的概率來求解.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)確定各事件之間是相互獨(dú)立的;(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生;(3)求出每個(gè)事件發(fā)生的概率,再求其積.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練

3某班有兩個(gè)課外活動(dòng)小組,其中第一小組有足球票6張,排球票4張;第二小組有足球票4張,排球票6張.甲從第一小組的10張票中任抽1張,乙從第二小組的10張票中任抽1張.(1)兩人都抽到足球票的概率是多少?(2)兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析因混淆了條件概率與相互獨(dú)立事件的概率而致誤【典例】

設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94,使用到700h還能繼續(xù)使用的概率是0.87,問已經(jīng)使用了500h的一個(gè)此種燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少?易錯(cuò)分析條件概率中P(AB)是指事件“A∩B”的概率,而A與B不一定相互獨(dú)立.故而在條件概率求解中誤認(rèn)為P(AB)=P(A)P(B)則會(huì)致誤.解設(shè)A表示“使用了500

h還能繼續(xù)使用”,B表示“使用到700

h還能繼續(xù)使用”,則P(A)=0.94,P(B)=0.87,而所求的概率為P(B|A).由于A∩B=B,當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析糾錯(cuò)心得

本題所求事件的概率屬于條件概率,不要錯(cuò)用公式P(A∩B)=P(A)P(B),注意只有事件A,B相互獨(dú)立時(shí)才有P(A∩B)=P(A)P(B).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練

有一批種子的發(fā)芽率為0.8,發(fā)芽后的幼苗成活率為0.7,在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,求這粒種子能成長為幼苗的概率.

當(dāng)堂檢測(cè)答案:C探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)答案:D探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)3.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏2局者為勝.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽甲獲勝的概率是(

)A.0.216 B.0.36

C.0.432 D.0.648答案:D探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)4.在一條街道上的A,B,C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在一分鐘內(nèi)開綠燈的時(shí)間分別為25秒、35