卷積公式題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的概率密度分別為\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)，則\(Z=X+Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)由（）給出。A.\(f_Z(z)=f_X(z)+f_Y(z)\)B.\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)C.\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(x-z)dx\)D.\(f_Z(z)=f_X(z)f_Y(z)\)2.已知\(X\simU(0,1)\)，\(Y\simU(0,1)\)且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(Z=X+Y\)，則\(Z\)的概率密度\(f_Z(z)\)在\(z\in(0,1)\)時(shí)為（）。A.\(z\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(0\)3.若\(X\)的概率密度\(f_X(x)=\begin{cases}1,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，\(Y\)的概率密度\(f_Y(y)=\begin{cases}1,&0\leqy\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，\(Z=X+Y\)，\(z\in(1,2)\)時(shí)\(f_Z(z)\)為（）。A.\(z\)B.\(2-z\)C.\(1\)D.\(0\)4.設(shè)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda_1\)的指數(shù)分布，\(Y\)服從參數(shù)為\(\lambda_2\)的指數(shù)分布，則\(Z=X+Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)為（）。A.\(\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{-\lambda_1z}-e^{-\lambda_2z})\)B.\(\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}(e^{-\lambda_1z}-e^{-\lambda_2z})\)C.\(\lambda_1e^{-\lambda_1z}+\lambda_2e^{-\lambda_2z}\)D.\((\lambda_1+\lambda_2)e^{-(\lambda_1+\lambda_2)z}\)5.對(duì)于卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)，積分變量是（）。A.\(z\)B.\(x\)C.\(y\)D.任意變量6.已知\(X\)的概率密度\(f_X(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，\(Y\)與\(X\)相互獨(dú)立且\(Y\)的概率密度\(f_Y(y)=\begin{cases}1,&0\leqy\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，\(Z=X+Y\)，當(dāng)\(z\in(0,1)\)時(shí)\(f_Z(z)\)為（）。A.\(z^2\)B.\(z\)C.\(2z\)D.\(0\)7.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，則\(Z=X+Y\)服從（）。A.\(N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)B.\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)C.\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)D.\(N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2-\sigma_2^2)\)8.用卷積公式求\(Z=X-Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)，正確的是（）。A.\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(x-z)dx\)B.\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)C.\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(-x-z)dx\)D.\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(-x+z)dx\)9.設(shè)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\)概率密度\(f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)，\(Y\)概率密度\(f_Y(y)=\begin{cases}e^{-y},&y\gt0\\0,&y\leq0\end{cases}\)，\(Z=X+Y\)，\(z\gt0\)時(shí)\(f_Z(z)\)為（）。A.\(ze^{-z}\)B.\(e^{-z}\)C.\(2e^{-z}\)D.\(z^2e^{-z}\)10.卷積公式適用的條件是兩個(gè)隨機(jī)變量（）。A.不相關(guān)B.相互獨(dú)立C.同分布D.都服從正態(tài)分布二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)的說(shuō)法正確的有（）A.用于求兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的概率密度B.\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)分別是\(X\)和\(Y\)的概率密度C.積分限是\((-\infty,+\infty)\)，實(shí)際計(jì)算時(shí)根據(jù)\(f_X(x)\)和\(f_Y(z-x)\)的非零區(qū)域確定積分限D(zhuǎn).可推廣到多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的情況2.設(shè)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\)概率密度\(f_X(x)\)，\(Y\)概率密度\(f_Y(y)\)，\(Z=X+Y\)，在計(jì)算\(f_Z(z)\)時(shí)，可能用到的步驟有（）A.確定\(f_X(x)\)和\(f_Y(z-x)\)的非零區(qū)域B.根據(jù)非零區(qū)域確定積分限C.計(jì)算積分\(\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)D.對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證是否滿足概率密度性質(zhì)3.已知\(X\simU(a,b)\)，\(Y\simU(c,d)\)且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(Z=X+Y\)，則（）A.先寫出\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)的表達(dá)式B.再確定\(f_Y(z-x)\)的表達(dá)式C.利用卷積公式計(jì)算\(f_Z(z)\)D.\(f_Z(z)\)一定是均勻分布4.對(duì)于兩個(gè)相互獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，雖然不能直接用卷積公式（積分形式），但求\(Z=X+Y\)的概率分布可類比卷積思想，以下說(shuō)法正確的是（）A.先列出\(X\)和\(Y\)的所有可能取值B.通過(guò)\(P(Z=k)=\sum_{i}P(X=i)P(Y=k-i)\)計(jì)算\(Z\)的概率分布C.這里的和式是對(duì)所有滿足\(X\)和\(Y\)取值條件的\(i\)求和D.與連續(xù)型隨機(jī)變量卷積公式原理類似5.卷積公式在實(shí)際應(yīng)用中的意義包括（）A.幫助計(jì)算隨機(jī)變量和的概率密度B.分析多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)因素共同作用的結(jié)果C.是研究復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具D.可用于確定隨機(jī)變量的分布類型6.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\)概率密度\(f_X(x)\)有非零區(qū)域\(D_1\)，\(Y\)概率密度\(f_Y(y)\)有非零區(qū)域\(D_2\)，對(duì)于\(Z=X+Y\)，計(jì)算\(f_Z(z)\)時(shí)（）A.要找出\(f_X(x)\)和\(f_Y(z-x)\)同時(shí)非零的\(x\)的范圍B.這個(gè)范圍決定了卷積積分的實(shí)際積分區(qū)間C.可能需要根據(jù)\(z\)的不同取值范圍進(jìn)行分段計(jì)算D.若\(D_1\)和\(D_2\)都是有限區(qū)間，則\(f_Z(z)\)非零區(qū)域也是有限區(qū)間7.以下隨機(jī)變量組合，可嘗試用卷積公式求\(Z=X+Y\)概率密度的有（）A.\(X\)服從泊松分布，\(Y\)服從正態(tài)分布B.\(X\)服從指數(shù)分布，\(Y\)服從均勻分布C.\(X\)服從正態(tài)分布，\(Y\)服從正態(tài)分布D.\(X\)服從二項(xiàng)分布，\(Y\)服從泊松分布8.關(guān)于卷積公式計(jì)算\(Z=X+Y\)概率密度的過(guò)程，以下說(shuō)法正確的是（）A.首先要判斷\(X\)和\(Y\)是否相互獨(dú)立B.確定\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)的具體形式C.將\(y\)用\(z-x\)替換得到\(f_Y(z-x)\)D.注意積分變量\(x\)的范圍9.設(shè)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(Z=X+Y\)，已知\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)，在利用卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)時(shí)，以下情況可能出現(xiàn)（）A.積分結(jié)果是一個(gè)分段函數(shù)B.由于\(f_X(x)\)和\(f_Y(z-x)\)非零區(qū)域限制，積分可能在某些\(z\)取值下為\(0\)C.計(jì)算過(guò)程中可能涉及到換元等積分運(yùn)算技巧D.最終\(f_Z(z)\)一定滿足概率密度函數(shù)的性質(zhì)\(\int_{-\infty}^{+\infty}f_Z(z)dz=1\)10.卷積公式與隨機(jī)變量的數(shù)字特征關(guān)系正確的有（）A.若\(Z=X+Y\)且\(X\)，\(Y\)相互獨(dú)立，可由\(X\)和\(Y\)的期望求\(Z\)的期望\(E(Z)=E(X)+E(Y)\)B.若\(Z=X+Y\)且\(X\)，\(Y\)相互獨(dú)立，可由\(X\)和\(Y\)的方差求\(Z\)的方差\(D(Z)=D(X)+D(Y)\)C.卷積公式是求\(Z\)概率密度的基礎(chǔ)，進(jìn)而可求\(Z\)的數(shù)字特征D.知道\(Z\)的概率密度（通過(guò)卷積公式得到）才能準(zhǔn)確計(jì)算\(Z\)的所有數(shù)字特征三、判斷題（每題2分，共10題）1.只要兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)已知，就可以用卷積公式求\(Z=X+Y\)的概率密度。（）2.卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)中，\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)不需要相互獨(dú)立。（）3.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，則\(Z=X+Y\)也服從正態(tài)分布，且可以用卷積公式推導(dǎo)其概率密度。（）4.對(duì)于\(Z=X+Y\)，當(dāng)\(X\)和\(Y\)是離散型隨機(jī)變量時(shí)，不能用卷積公式（積分形式）求\(Z\)的概率分布。（）5.計(jì)算\(Z=X+Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)時(shí)，卷積積分限一定是\((-\infty,+\infty)\)。（）6.已知\(X\)服從均勻分布，\(Y\)服從均勻分布，\(Z=X+Y\)一定也服從均勻分布。（）7.若\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\)概率密度\(f_X(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)非零，\(Y\)概率密度\(f_Y(y)\)在區(qū)間\((c,d)\)非零，則\(Z=X+Y\)的概率密度\(f_Z(z)\)非零區(qū)間一定是\((a+c,b+d)\)。（）8.用卷積公式計(jì)算\(Z=X+Y\)的概率密度時(shí)，若\(f_X(x)\)和\(f_Y(z-x)\)形式復(fù)雜，積分計(jì)算可能會(huì)很困難。（）9.卷積公式不僅可以求兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度，還能求差、積等運(yùn)算結(jié)果的概率密度。（）10.若\(Z=X+Y\)，已知\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)，通過(guò)卷積公式求出\(f_Z(z)\)后，不需要驗(yàn)證\(\int_{-\infty}^{+\infty}f_Z(z)dz=1\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述卷積公式\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)求\(Z=X+Y\)概率密度的步驟。答案：先判斷\(X\)和\(Y\)是否相互獨(dú)立。確定\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)表達(dá)式，進(jìn)而得到\(f_Y(z-x)\)。找出\(f_X(x)\)和\(f_Y(z-x)\)同時(shí)非零的\(x\)范圍確定積分限，計(jì)算積分得\(f_Z(z)\)，最后驗(yàn)證\(f_Z(z)\)滿足概率密度性質(zhì)。2.當(dāng)\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立且\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)時(shí)