隱函數(shù)求導基礎知識點

隱函數(shù)的定義在數(shù)學中，隱函數(shù)是由隱式方程所確定的函數(shù)。一般地，如果變量\(x\)和\(y\)滿足一個方程\(F(x,y)=0\)，在一定條件下，當\(x\)取某區(qū)間內(nèi)的任一值時，相應地總有滿足這個方程的唯一的\(y\)值存在，那么就說方程\(F(x,y)=0\)在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)\(y=f(x)\)。例如方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，在一定范圍內(nèi)就確定了\(y\)關于\(x\)的隱函數(shù)（實際上在\(-1<x<1\)時，\(y=\pm\sqrt{1-x^{2}}\)，是多值函數(shù)，但在局部可以看作單值函數(shù)）。隱函數(shù)存在定理1.一個方程的情形設函數(shù)\(F(x,y)\)在點\(P(x_{0},y_{0})\)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且\(F(x_{0},y_{0})=0\)，\(F_y(x_{0},y_{0})\neq0\)，則方程\(F(x,y)=0\)在點\((x_{0},y_{0})\)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)\(y=f(x)\)，它滿足條件\(y_{0}=f(x_{0})\)，并有\(zhòng)(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\)。這里\(F_x\)，\(F_y\)分別表示\(F(x,y)\)對\(x\)和\(y\)的偏導數(shù)。例如對于方程\(e^{y}+xy-e=0\)，令\(F(x,y)=e^{y}+xy-e\)，\(F_x=y\)，\(F_y=e^{y}+x\)。當滿足一定條件（比如在使得\(e^{y}+x\neq0\)的區(qū)域），就可以確定隱函數(shù)\(y=f(x)\)，其導數(shù)\(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{e^{y}+x}\)。2.方程組的情形（簡要了解）設\(F(x,y,u,v)\)，\(G(x,y,u,v)\)在點\(P(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})\)的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且\(F(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})=0\)，\(G(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})=0\)，且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式（雅可比行列式）\(J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partialF}{\partialu}&\frac{\partialF}{\partialv}\\\frac{\partialG}{\partialu}&\frac{\partialG}{\partialv}\end{vmatrix}\neq0\)在點\(P(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})\)不等于零，則方程組\(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\)在點\((x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})\)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)\(u=u(x,y)\)，\(v=v(x,y)\)。隱函數(shù)求導的方法1.直接求導法對方程\(F(x,y)=0\)兩邊同時對\(x\)求導。在求導過程中，要把\(y\)看作\(x\)的函數(shù)，然后利用復合函數(shù)求導法則進行求導。例如對于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，兩邊對\(x\)求導：左邊求導，根據(jù)求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)以及復合函數(shù)求導法則，\((x^{2})^\prime+(y^{2})^\prime=2x+2y\frac{dy}{dx}\)；右邊\((1)^\prime=0\)。于是得到\(2x+2y\frac{dy}{dx}=0\)，解出\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)（這里\(y\neq0\)）。2.公式法根據(jù)隱函數(shù)存在定理中的公式\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\)。首先確定\(F(x,y)\)，然后分別求出\(F_x\)和\(F_y\)，再代入公式計算。比如對于方程\(x\cosy-y\sinx=0\)，令\(F(x,y)=x\cosy-y\sinx\)。則\(F_x=\cosy-y\cosx\)，\(F_y=-x\siny-\sinx\)，那么\(\frac{dy}{dx}=-\frac{\cosy-y\cosx}{-x\siny-\sinx}=\frac{\cosy-y\cosx}{x\siny+\sinx}\)。3.對數(shù)求導法（特殊情況適用）當函數(shù)形式比較復雜，例如冪指函數(shù)等形式出現(xiàn)在隱函數(shù)中時，可以先對等式兩邊取對數(shù)，然后再求導。例如對于方程\(y^{x}=x^{y}\)，兩邊取自然對數(shù)得\(x\lny=y\lnx\)。然后兩邊對\(x\)求導：左邊求導，根據(jù)乘積求導法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，\((x\lny)^\prime=\lny+x\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}\)；右邊求導，\((y\lnx)^\prime=\frac{dy}{dx}\lnx+y\cdot\frac{1}{x}\)。即\(\lny+\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\lnx+\frac{y}{x}\)，整理可得\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-xy\lny}{x^{2}-xy\lnx}\)。隱函數(shù)的二階導數(shù)求法在求出一階導數(shù)\(\frac{dy}{dx}\)后，求二階導數(shù)\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)。一般是對\(\frac{dy}{dx}\)再次關于\(x\)求導，在求導過程中同樣要注意\(y\)是\(x\)的函數(shù)。例如前面求出\(x^{2}+y^{2}=1\)的一階導數(shù)\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)。求二階導數(shù)時，\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\fracz3jilz61osys{dx}(-\frac{x}{y})\)，根據(jù)除法求導法則\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^{2}}\)，這里\(u=-x\)，\(v=y\)，\(u^\prime=-1\)，\(v^\prime=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)。則\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{-y-(-x)\frac{dy}{dx}}{y^{2}}=\frac{-y+x\cd