2025年三小考試真題及答案高一

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\leq1\)D.\(x\lt1\)2.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)4.集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.46.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((3,6)\)7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)8.函數(shù)\(y=\log_2x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\log_x2\)D.\(y=2^{-x}\)9.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\sqrt{a}\lt\sqrt\)10.一個正方體的棱長為\(2\)，則它的表面積是（）A.8B.12C.24D.48二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列屬于基本不等式的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)C.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)D.\(a^2+b^2\leq2ab\)3.直線的方程形式有（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式4.關于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，正確的是（）A.焦點在\(x\)軸上B.長軸長為\(2a\)C.短軸長為\(2b\)D.離心率\(e\gt1\)5.以下哪些是等比數(shù)列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_{m+n}=a_m\cdotq^n\)D.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)B.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)D.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)7.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0,\omega\gt0\)）的性質有（）A.振幅是\(A\)B.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.初相是\(\varphi\)D.值域是\([-A,A]\)8.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)9.關于立體幾何中的線面關系，正確的是（）A.若一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與這個平面垂直B.若一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行C.若兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面平行D.若兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直10.對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，其判別式\(\Delta=b^2-4ac\)，當（）時，方程有兩個不同的實數(shù)根。A.\(\Delta\gt0\)B.\(\Delta=0\)C.\(\Delta\lt0\)D.\(\Delta\geq0\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數(shù)。（）3.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.數(shù)列\(zhòng)(1,2,4,8,16\cdots\)是等差數(shù)列。（）6.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角范圍是\([0,\pi]\)。（）7.橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點在\(x\)軸上。（）8.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），當\(a\gt1\)時，在\((0,+\infty)\)上單調遞增。（）9.一個球的半徑擴大為原來的\(2\)倍，其體積擴大為原來的\(8\)倍。（）10.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)（\(c\)為實數(shù)）。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-3}}\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則根號下的數(shù)大于\(0\)，即\(x-3\gt0\)，解得\(x\gt3\)，所以定義域為\((3,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)的值。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，當\(n=5\)，\(a_1=2\)，\(d=3\)時，\(a_5=2+(5-1)×3=2+12=14\)。3.求\(\sin15^{\circ}\)的值。答案：\(\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)。4.直線\(l\)過點\((1,2)\)且斜率為\(-1\)，求直線\(l\)的方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），可得\(y-2=-1×(x-1)\)，整理得\(x+y-3=0\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調性。答案：將函數(shù)化為頂點式\(y=(x-1)^2+2\)。其圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上函數(shù)單調遞減，在\((1,+\infty)\)上函數(shù)單調遞增。2.探討等比數(shù)列與等差數(shù)列在實際生活中的應用。答案：等比數(shù)列常用于儲蓄復利計算、細胞分裂等。如銀行復利，本金在每期按固定利率增值。等差數(shù)列用于如堆放物品的總數(shù)計算、樓層高度變化等，像堆放鋼管，每層比上一層多固定數(shù)量。3.分析直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓方程得方程組，根據(jù)判別式判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。4.談談如何運用三角函數(shù)解決實際中的角度和距離問題。答案：先根據(jù)實際情況構建三角形模型，再利用三角函數(shù)定義、正弦定理、余弦定理等。如測量高度，通過測量仰角與已知距離，用正切函數(shù)求高度；測量兩點距離，可