歷年全國考研數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)，且滿足條件f(0)=0，則f(0)必定等于（）

A.0

B.1

C.-1

D.1或-1

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的零點個數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

3.極限lim(x→0)(sinx-x)/(x^3)的值為（）

A.0

B.1/6

C.-1/6

D.不存在

4.設函數(shù)f(x)在點x0處可導，且f'(x0)=2，則當x→x0時，f(x)的微分df(x)與x-x0的比值為（）

A.1

B.2

C.1/2

D.0

5.曲線y=lnx在點(1,0)處的曲率為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

6.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，則存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)等于（）

A.0

B.f'(ξ)

C.f''(ξ)

D.f(ξ)=0

7.級數(shù)∑(n=1→∞)((-1)^(n+1))/n^2的和為（）

A.π^2/6

B.π^2/12

C.1

D.發(fā)散

8.微分方程y''-4y'+4y=0的通解為（）

A.y=(C1+C2x)e^2x

B.y=C1e^2x+C2e^-2x

C.y=C1e^x+C2e^-x

D.y=C1+C2x

9.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的夾角余弦值為（）

A.1/2

B.3/5

C.4/5

D.5/6

10.在直角坐標系中，曲線x^2+4y^2=1的焦點坐標為（）

A.(0,±√3)

B.(±√3,0)

C.(0,±1)

D.(±1,0)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,∞)上單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^3

B.y=2^x

C.y=1/x

D.y=ln|x|

2.下列級數(shù)中，收斂的有（）

A.∑(n=1→∞)(1/n)

B.∑(n=1→∞)(1/n^2)

C.∑(n=1→∞)((-1)^(n+1))/n

D.∑(n=1→∞)(0.1)^n

3.下列函數(shù)中，在點x=0處可微的有（）

A.y=|x|

B.y=x^2

C.y=2x+1

D.y=x^3

4.下列方程中，表示旋轉(zhuǎn)曲面的有（）

A.x^2+y^2+z^2=1

B.x^2-y^2+z^2=1

C.x^2+y^2=4z

D.x^2+y^2-z^2=1

5.下列向量組中，線性無關的有（）

A.(1,0,0)

B.(0,1,0)

C.(0,0,1)

D.(1,1,1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2的值為______。

2.曲線y=xe^x在點(1,e)處的切線方程為______。

3.級數(shù)∑(n=1→∞)(-1)^n/n的斂散性為______。

4.微分方程y''+4y=0的通解為______。

5.向量a=(1,2,3)與向量b=(4,5,6)的向量積為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx。

2.計算定積分∫(0→π)(sinx+cosx)dx。

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

4.解微分方程y'=(x+y)/x。

5.計算極限lim(x→0)(e^x-sin(x))/x^2。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A

2.C

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A

8.A

9.B

10.D

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D

2.B,C,D

3.B,C,D

4.B,D

5.A,B,C,D

三、填空題（每題4分，共20分）

1.1/2

2.y-e=x-1(即y=x+e-1)

3.條件收斂

4.y=C1cos2x+C2sin2x

5.(-3,2,1)

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx=∫(x+1)dx=∫dx=x+C

2.解：∫(0→π)(sinx+cosx)dx=∫(0→π)sinxdx+∫(0→π)cosxdx=[-cosx]_(0→π)+[sinx]_(0→π)=(-cosπ-(-cos0))+(sinπ-sin0)=(1-(-1))+(0-0)=2

3.解：f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-8-12+2=-18，f(0)=0^3-3*0^2+2=2，f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2，f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比較得最大值為2，最小值為-18。

4.解：y'=(x+y)/x，即y'-y/x=1。此為一階線性微分方程，令y=uv，則y'=u'v+uv'，代入得u'v+uv'-uv/x=1，即u'v=1+x/x=1+1=2。分離變量得vdu=2dx，積分得∫du=∫2dx，u=2x+C。故y=2x^2+2Cx=x(2x+C)，或y=Cx+2x^2。

5.解：lim(x→0)(e^x-sin(x))/x^2，使用洛必達法則，原式=lim(x→0)(e^x-cos(x))/2x=lim(x→0)(e^x+sin(x))/2=(e^0+sin0)/2=1/2。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例：

一、選擇題

考察學生對基本概念的掌握和簡單計算能力。

示例：第1題考察函數(shù)在一點處連續(xù)的定義；第2題考察函數(shù)零點定理的應用；第3題考察洛必達法則求極限；第4題考察微分的定義；第5題考察曲率的計算公式；第6題考察介值定理；第7題考察交錯級數(shù)的收斂性；第8題考察二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；第9題考察向量夾角余弦的計算；第10題考察橢圓的標準方程及焦點坐標。

二、多項選擇題

考察學生對多個知識點綜合理解和辨析能力。

示例：第1題考察函數(shù)單調(diào)性的判斷；第2題考察正項級數(shù)、交錯級數(shù)和幾何級數(shù)的收斂性；第3題考察函數(shù)可微的等價條件；第4題考察二次曲面的分類；第5題考察向量線性相關性的判斷。

三、填空題

考察學生對基本概念和計算公式的記憶和運用能力。

示例：第1題考察泰勒公式或洛必達法則求極限；第2題考察導數(shù)幾何意義求切線方程；第3題考察交錯級數(shù)的斂散性判別；第4題考察二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；第5題考察向量積（叉積）的計算。

四、計算題

考察學生對綜合運用所學知識解決計算問題的能力。

示例：第1題考察有理函數(shù)積分的分解方法；第2題考察定積分的計算；第3題考察閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的求法；第4題考察一階線性微分方程的解法；第5題考察洛必達法則求極限。

試卷所涵蓋的理論基礎部分的知識點分類和總結(jié)：

1.極限與連續(xù)：考察極限的計算（洛必達法則、泰勒公式等）、函數(shù)連續(xù)性的判斷、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理）。

2.一元函數(shù)微分學：考察導數(shù)與微分的概念、計算（基本公式、運算法則、隱函數(shù)求導、參數(shù)方程求導）、導數(shù)的幾何應用（切線方程、法線方程、曲率）、函數(shù)性態(tài)的研究（單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點）。

3.一元函數(shù)積分學：考察不定積分的計算（基本公式、換元積分法、分部積分法）、定積分的計算（牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法）、定積分的應用（面積、旋轉(zhuǎn)體體積等）。

4.級數(shù)：考察數(shù)項級數(shù)的收斂性判別（正項級數(shù)、交錯級數(shù)、絕對收斂、條件收斂）、函數(shù)項級數(shù)的概念、冪級數(shù)的收斂區(qū)間與收斂域、函數(shù)的冪級數(shù)展開。

5.常微分方程：考察一階微分方程（