2022-2023學(xué)年北京小升初數(shù)學(xué)專題真題匯編知識講練專題13綜合與實踐知識點一：簡單的排列與組合1.排列、組合：排列是把給定個數(shù)的元素按照一定的順序排成一列；組合是把給定個數(shù)的元素按任意順序并成一組。2.解決排列、組合問題的基本原理：分類計數(shù)原理（也稱加法原理）與分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）（1）分類計數(shù)原理：指完成一件事有很多種方法，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事。那么各種不同的方法數(shù)相加，其和就是完成這件事的方法總數(shù)。（2）分步計數(shù)原理：指完成一件事，需要分成多個步驟，每個步驟中又有多種方法，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事。那么每個步驟中的方法數(shù)相乘，其積就是完成這事的方法總數(shù)。知識點二：簡單的邏輯推理根據(jù)已有的事實，經(jīng)過分析、推斷，就能找到答案，這種解決問題的方法就是邏輯推理。知識點三：解決問題的策略1.列表法：在解決問題時，可以用表格將條件和問題整理出來，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的聯(lián)系，找出規(guī)律，順利解題2.圖解法：就是借助圖形，通過畫線段或直觀圖，把應(yīng)用題中抽象的數(shù)量關(guān)系，直觀形象地顯示！來，使其一目了然，幫助我們理解題意，明確數(shù)量的關(guān)系，進(jìn)而很快地尋找出解題的途徑不方法。3.枚舉法：根據(jù)題目要求，將符合要求的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地--列舉出來，從而解決問題的方法叫做枚舉法，也叫做列舉法或窮舉法。4.逆推法：從應(yīng)用題的問題的最后結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著推理，直到解決問題，這種思考方法叫做逆推法，又稱為“倒推法”或“還原法”5.假設(shè)法：常把問題中的一個未知數(shù)假定為已知的，然后根據(jù)題目中的已知條件推算，其結(jié)果常與題目對應(yīng)的已知數(shù)不符，再加以適當(dāng)調(diào)整，就可以求出結(jié)果。雞兔同籠問題常用假設(shè)法求解，雞兔同籠問題也稱設(shè)置問題。6.替換法：根據(jù)兩種數(shù)量中，某種數(shù)值4相等的關(guān)系，用一種量替換另一種量來尋得解決問題的思考方法，叫做替換法。知識點四：郵票中的數(shù)學(xué)問題探索合理的郵資支付的方式：（1）首先確定信函處于不同質(zhì)量范圍內(nèi)應(yīng)付的郵資；（2）再根據(jù)這些郵資的數(shù)值尋找滿足條件的郵票組合。重要提示：要做到經(jīng)濟、合理、不浪費知識點五：有趣的平衡竹竿保持平衡的規(guī)律是：必須使“左邊的刻度×左邊的重量=右邊的刻度×右邊的重量"知識點六：統(tǒng)籌優(yōu)化1.合理安排時間：（1）弄清所做事情的順序，即先做什么，后做什么；（2）根據(jù)生活實際判斷哪些事情可以同時做，哪些事情只能單獨做。2.用天平找次品規(guī)律：(1)把所有物品盡可能平均地分成3份，（如余1則放入到最后一份中；如余2則分別放入到前兩份中），保證找出次品而且稱的次數(shù)一定最少。(2)數(shù)目與測試的次數(shù)的關(guān)系：2～3個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是1次4～9個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是2次10～27個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是3次28～81個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是4次82～243個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是5次244～729個物體，保證能找出次品需要測的次數(shù)是6次重要提示：若不知道次品是重還是輕，則上述次數(shù)加1知識點七：抽屜原理1.抽屜原理（一）：一般來說將（n+1）個或更多個物體放到n個抽屜里，就一定有一個抽屜放進(jìn)了2個物體。2.抽屜原理（二）：把多于mn個的物體放進(jìn)n個抽屜里，則一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了（m+1）個物體。3.物體數(shù)QUOTE÷÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)商+1=至少數(shù)知識點五：數(shù)字編碼1.郵政編碼：郵政編碼由六位阿拉伯?dāng)?shù)字組成，前兩位表示省（自治區(qū)、直轄市），第三位表示郵區(qū)，第四位表示縣（市），最后兩位表示投遞局（所）。2.身份證編碼：身份證的號碼由18位數(shù)字組成，第1，2位為各省級政府的代碼；第3.4位為地，市級政府的代碼；第5，6位為縣、區(qū)級政府的代碼；第7-14位為出生年月日；第15-17位為順序號及性別區(qū)分，單數(shù)為男性分配碼，雙數(shù)為女性分配碼，第18位為校驗碼一．選擇題（共9小題）1．（2018?豐臺區(qū)）a÷b＝4…3，如果被除數(shù)，除數(shù)都擴大10倍，那么結(jié)果是（）A．商4余3 B．商40余3 C．商4余30 D．商40余30【思路引導(dǎo)】根據(jù)在有余數(shù)的除法里，“被除數(shù)和除數(shù)都縮?。ɑ蚨紨U大）相同的倍數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著縮?。ɑ驍U大）相同的倍數(shù)”，據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：a÷b＝4…3，如果被除數(shù)，除數(shù)都擴大10倍，那么結(jié)果是商4余30；故選：C．【考點評析】解答此題應(yīng)明確：被除數(shù)和除數(shù)都縮?。ɑ蚨紨U大）相同的倍數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著縮?。ɑ驍U大）相同的倍數(shù)．2．（2022?順義區(qū)）與1.2×34的計算結(jié)果相等的算式是（）A．0.12×0.34 B．120×0.34 C．12×34 D．1.2×340【思路引導(dǎo)】一個因數(shù)擴大到原來的多少倍或縮小到原來的幾分之一（0除外），另一個因數(shù)就縮小到原來的幾分之一或擴大到原來的相同的倍數(shù)，積不變。【規(guī)范解答】解：A項相比于原式是一個因數(shù)除以10，另一個因數(shù)除以100，積變化。B項相比于原式是一個因數(shù)乘100，另一個因數(shù)除以100，積不變。C項相比于原式是一個因數(shù)乘10，另一個因數(shù)不變，積變化。D項相比于原式是一個因數(shù)乘10，另一個因數(shù)不變，積變化。故選：B。【考點評析】此題考查了積不變性質(zhì)的靈活運用。3．（2021?平谷區(qū)）李叔叔將一個棱長是5厘米的正方體木塊表面刷上了灰色油漆，又把它切分成棱長是1厘米的小正方體。有2個面被涂色的小正方體有（）個。A．54 B．36 C．8【思路引導(dǎo)】5÷1＝5（個），所以每條棱上有5個小正方體，兩面有色的處在12條棱的中間上；據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：5÷1＝5（個）（5﹣2）×12＝3×12＝36（個）答：有2個面被涂色的小正方體有36個。故選：B?！究键c評析】本題關(guān)鍵要明確：三面有色的處在8個頂點上，兩面有色的處在12條棱上，一面有色的處在每個面的中間，無色的處在里心。4．（2021?豐臺區(qū)）下面敘述錯誤的是（）A．a(chǎn)2，2a，a+a可能相等 B．無論a等于幾，都有a3＞a2＞a C．無論a等于幾，都有2a＝a+a D．無論a等于幾，都有a+2a＝3a【思路引導(dǎo)】根據(jù)兩個相同的因數(shù)相乘，可以寫成平方的形式；三個相同的因數(shù)相乘，可以寫成立方的形式，解答此題即可。【規(guī)范解答】解：當(dāng)a＝0時，a2，2a，a+a都相等，題干說法正確；當(dāng)a＝0時，a3＝a2＝a，題干說法錯誤；無論a等于幾，都有2a＝a+a，題干說法正確；無論a等于幾，都有a+2a＝3a，題干說法正確。故選：B?！究键c評析】熟練掌握平方和立方的定義，是解答此題的關(guān)鍵。5．（2021?北京）甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有一人獲獎．在比賽結(jié)果揭曉之前，四人作出如下猜測：甲的猜測：丙會獲獎；乙的猜測：我不會獲獎；丙的猜測：丁會獲獎；丁的猜測：獲獎?wù)咴诩住⒁?、丙三人之中．比賽結(jié)果公布后表明，四個人中只有一人的猜測是正確的，則獲獎?wù)呤牵ǎ〢．甲 B．乙 C．丙 D．丁【思路引導(dǎo)】丙的猜測：丁會獲獎；丁的猜測：獲獎?wù)咴诩?、乙、丙三人之中，四個人中只有一人的猜測是正確的，所以兩個人的表述只能一真一假，所以乙的猜測錯誤；據(jù)此進(jìn)一步解答即可?！疽?guī)范解答】解：丙的猜測：丁會獲獎；丁的猜測：獲獎?wù)咴诩?、乙、丙三人之中，四個人中只有一人的猜測是正確的，所以兩個人的表述只能一真一假，所以乙的猜測錯誤，因為乙的猜測：我不會獲獎，說法錯誤，所以乙獲獎。故選：B。【考點評析】本題關(guān)鍵是得到丙和丁兩個人的表述只能一真一假。6．（2021?新城區(qū)）某班男生有24人，女生有18人．下面的說法正確的是（）A．至少有2名女生是在同一個月份出生的 B．最多有2名男生是在同一個月份出生的 C．在同一月份出生的男生人數(shù)，一定多于在同一個月份出生的女生人數(shù)【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，對各題進(jìn)行依次分析、進(jìn)而得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：A、一年有12個月，因為18÷12＝1（人）…6（人），所以至少有1+1＝2名女生是在同一個月份出生的，故本選項說法正確；B、一年有12個月，因為24÷12＝2（人），所以至少有2名男生是在同一個月份出生的，故本選項說法錯誤；C、在同一月份出生的男生人數(shù)，一定多于在同一個月份出生的女生人數(shù)，說法錯誤，因為不能確定；故選：A．【考點評析】此題屬于典型的抽屜原理習(xí)題，解答此類題的關(guān)鍵是找出把誰看作“抽屜個數(shù)”，把誰看作“物體個數(shù)”，然后根據(jù)抽屜原理解答即可．7．（2021?井陘礦區(qū)）已知m是真分?jǐn)?shù)，那么m2與2m的大小關(guān)系是（）A．m2＞2m B．m2＝2m C．m2＜2m D．不能確定【思路引導(dǎo)】真分?jǐn)?shù)都是小于1的數(shù)，那么m2＝m×m，一個數(shù)（0除外）乘一個小于1的數(shù)，積小于這個數(shù)，2m表示m×2，一個數(shù)（0除外）乘一個大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)．據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：m2＝m×m，m＜1，所以m2＜m，2m＝m×2，2＞1，所以2m＞m，所以m2＜2m．故選：C．【考點評析】本題的關(guān)鍵是讓學(xué)生理解每個式子表示的意義，再根據(jù)積的變化規(guī)律進(jìn)行解答．8．（2020?平谷區(qū)）一個圓柱體木料的高是40厘米，底面直徑是20厘米。工人師傅用電鋸按箭頭所指的方向?qū)⒛玖戏殖蓛刹糠?，形成了長方形的截面。截面的大小不可能出現(xiàn)的情況是（）A．長40厘米、寬15厘米 B．長40厘米、寬20厘米 C．長40厘米、寬25厘米【思路引導(dǎo)】工人師傅用電鋸按箭頭所指的方向?qū)⒛玖戏殖蓛刹糠郑纬闪碎L方形的截面，這個截面的長一定是圓柱形木料的高40厘米，寬只可能是小于等于圓柱體的底面直徑?！疽?guī)范解答】解：工人師傅用電鋸按箭頭所指的方向?qū)⒛玖戏殖蓛刹糠?，長方形的截面長是40厘米，寬是小于等于20厘米。故答案為：C?！究键c評析】此題主要是考查了學(xué)生對圓柱的認(rèn)識。9．（2021?北京）2020年出生的13個小朋友中，同一個月出生的至少有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【思路引導(dǎo)】一年中共有12個月，將這12個月當(dāng)做12個抽屜，2020年出生的13個小朋友，根據(jù)抽屜原理可知，13÷12＝1（個）……1（個），即則該班中至少有1+1＝2（個）小朋友同一個月出生；據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：13÷12＝1（個）……1（個）1+1＝2（個）答：同一個月出生的至少有2人。故選：A?！究键c評析】此題要利用抽屜原理，考慮最差的情況。二．填空題（共13小題）10．（2021?海淀區(qū)）甲倉庫有糧食x噸，乙倉庫比甲倉庫的5倍少2噸，乙倉庫有糧食5x﹣2噸．【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，可知甲倉庫的5倍減去2噸就是乙倉庫的噸數(shù)，由甲倉庫有糧食x噸，那么乙倉庫有糧食就是x噸的5倍減去2噸，列出含有字母的式子即可．【規(guī)范解答】解：乙倉庫有糧食：（5x﹣2）噸．故填：5x﹣2．【考點評析】根據(jù)題目給出的條件和問題，列出含有字母的式子表示出來即可．11．（2019?西城區(qū)）如果，，，那么a，b，c中最大的是，最小的是．【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，＝1﹣，＝1﹣，＝1﹣，再根據(jù)分?jǐn)?shù)大小的比較方法進(jìn)行解答即可．【規(guī)范解答】解：＝1﹣，＝1﹣，＝1﹣＞＞所以＜＜答：么a，b，c中最大的是，最小的是．故答案為：，．【考點評析】本題考查了對有理數(shù)的大小比較法則的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū容^兩個數(shù)的大小是解答此題的關(guān)鍵．12．（2019?西城區(qū)）國際標(biāo)準(zhǔn)書號ISBN由分成四段的10位數(shù)字組成，前面9位數(shù)字分成3組；分別用來表示組號、出版社和書序號，最后一位數(shù)字則作為校驗．校驗碼可以根據(jù)前9位數(shù)字按照一定的順序算得．如：某書的書號是ISBN7﹣107﹣17543﹣2，它的校驗碼的計算順序是：①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2＝207；②207÷11＝18……9；③11﹣9＝2．這里的2就是該書號的核檢碼．依照上面的順序，求書號ISBN7﹣303﹣07618﹣2的核檢碼．【思路引導(dǎo)】根據(jù)已知數(shù)據(jù)，用ISBN后面的數(shù)字乘10，然后依次乘9、8、7……2，得出的結(jié)果除以11，最后用11減去余數(shù)得出核檢碼，據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：書號ISBN7﹣303﹣07618的核檢碼是：7×10+3×9+0×8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2＝70+27+0+21+0+35+24+3+16＝196196÷11＝17……911﹣9＝2．答：書號ISBN7﹣303﹣07618的核檢碼是2．故答案為：2．【考點評析】根據(jù)已知條件找出計算規(guī)律是解題關(guān)鍵．13．（2019?西城區(qū)）如果[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[2.1]＝2，[3.9]＝3，[5.0]＝5，那么[0.1234×100]﹣100＝﹣88．【思路引導(dǎo)】首先求出0.1234×100的值是12.34，然后根據(jù)[a]表示不超過a的最大整數(shù)，可得：[12.34]＝12，再用12減去100即可．【規(guī)范解答】解：[0.1234×100]﹣100＝[12.34]﹣100＝12﹣100＝﹣88故答案為：﹣88．【考點評析】此題主要考查了高斯取整問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)[a]表示的含義，求出[0.1234×100]的值是多少．14．（2021?長沙模擬）將數(shù)，，，用“＜”連接起來為：﹣＜＜＜．【思路引導(dǎo)】、、都減去1，將它們差的化為分子相同的真分?jǐn)?shù)，根據(jù)同分子的分?jǐn)?shù)，分母大的反而小進(jìn)行比較；根據(jù)減法的運算性質(zhì)，減去同一個數(shù)后，原數(shù)大小不會改變，再比較原數(shù)的大?。疽?guī)范解答】解：﹣1＝＝，﹣1＝＝，﹣1＝因為＜＜，所以＜＜；又因為負(fù)數(shù)小于一切正數(shù)，所以﹣＜＜＜；故答案為：﹣＜＜＜．【考點評析】做本題要注意把原數(shù)化為同分子的形式再進(jìn)行比較．15．（2019?北京模擬）已知自然數(shù)a，b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a，b中較大的數(shù)是225．【思路引導(dǎo)】根據(jù)已知條件，可設(shè)（a，b）＝d，則a＝md，b＝nd，于是a、b的最小公倍數(shù)為mnd，將條件代入數(shù)值，組成方程組，然后用列舉法寫出所有符合條件的數(shù)，再找出正確答案即可解答．【規(guī)范解答】解：設(shè)（a，b）＝d，且a＝md，b＝nd，其中m＞n，且m與n互質(zhì)，于是a、b的最小公倍數(shù)為mnd，依題意有即：則m＞n，據(jù)②可得：或或或根據(jù)①，只能取可求得d＝15，故兩個數(shù)中較大的數(shù)是md＝225．【考點評析】本題主要考查最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，列舉法能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的數(shù)，再一一排除即可．16．（2019?北京）在南非世界杯上，A組有南非、法國、烏拉圭、墨西哥4支隊伍，每兩支隊伍都要比賽一場，一共要比賽6場．【思路引導(dǎo)】4支隊伍參加世界杯，每2隊進(jìn)行一場比賽，即進(jìn)行循環(huán)賽制，所以每個隊和其它3隊都要進(jìn)行一場比賽，則所有參賽的場數(shù)為4×3＝12場，由于比賽是在2隊之間進(jìn)行的，所以共比賽12÷2＝6場．【規(guī)范解答】解：4×（4﹣1）÷2＝4×3÷2＝12÷2＝6（場）答：一共要比賽6場．故答案為：6．【考點評析】本題考查了握手問題的實際應(yīng)用，要注意去掉重復(fù)計算的情況，如果數(shù)量比較少可以用枚舉法解答，如果數(shù)量比較多可以用公式：比賽場數(shù)＝n（n﹣1）÷2解答．17．（2022?江津區(qū)模擬）22003與20032的和除以7的余數(shù)是5．【思路引導(dǎo)】2的次方÷7其實是有規(guī)律可循的，2÷7余2，4÷7余4，8÷7余1，16÷7余2，32除以7余4，64÷7余1，2的次方÷7的余數(shù)是2，4，1循環(huán)的．2003÷3余2，那么就是循環(huán)中第2個數(shù)，也就是4，2003×2003＝4012009.4012009÷7余1，兩個余數(shù)相加就是4+1＝5；由此得出2的2003次方與2003的2次方的和除以7的余數(shù)是5．【規(guī)范解答】解：由2的次方÷7的余數(shù)是2，4，1循環(huán)的可得：2003÷3＝667…2，所以22003÷7的余數(shù)是4；因為2003×2003＝4012009，4012009÷7余1，即20032÷7余1，所以22003與20032的和除以7的余數(shù)是1+4＝5，故答案為：5．【考點評析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)2的次方÷7余數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出22003÷7的余數(shù)是4．18．（2019?北京模擬）30粒珠子以8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色、……的次序串成一圈．一只蚱蜢從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上．這只蚱蜢至少要跳7次才能落在黑珠子上．【思路引導(dǎo)】這是一個周期性的問題，蚱蜢每次跳過6粒珠子，則隔7個珠子，把珠子編上號碼，將第2粒黑色珠子記為0，以后依次將珠子記為1、2、3…29．其中0、9、10、19、20、29的6粒珠子是黑色．蚱蜢跳過的珠子號碼依次是0、7、14、21、28、35、42、49…，因為周期是30，再根據(jù)周期性的知識解決即可．【規(guī)范解答】解：由題意可知：每次跳過6粒珠子，則隔7個珠子，將第2粒黑色珠子記為0，以后依次將珠子記為1、2、3…29．其中0、9、10、19、20、29的6粒珠子是黑色．蜢跳過的珠子號碼依次是0、7、14、21、28、35、42、49…，其中35就是35﹣30＝5，42就是42﹣30＝12，49就是49﹣30＝19．那么第一粒黑色珠子是49，即第7次跳到的．故答案為：7．【考點評析】根據(jù)題意得出這些珠子的排列規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．19．（2019?西城區(qū)）的整數(shù)部分是1．【思路引導(dǎo)】根據(jù)分?jǐn)?shù)的大小比較可知：此式小括號中共有10項，后面的九項都是＜1/10，所以十項的和＜1，所以整數(shù)部分是0；加上前面的1，整數(shù)部分為1．據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：＜1+＜2所以的整數(shù)部分是1．故答案為：1．【考點評析】本題主要考查高斯取整，關(guān)鍵根據(jù)分?jǐn)?shù)大小比較的方法，判斷整數(shù)部分的大小．20．（2019?西城區(qū)）若兩個四位數(shù)的差為2008，我們把這樣的兩個四位數(shù)稱為一個數(shù)對，如3210和1202，6158和4150等．像這樣的四位數(shù)“數(shù)對”共有6992對．【思路引導(dǎo)】此題可以從兩個極端來考慮這個問題，（即組最大與最小的四位數(shù)是多少）．最小的兩個四位數(shù)：3008﹣1000＝2008，最大的兩個四位數(shù)：9999﹣7991＝2008；這樣的數(shù)對有：9999﹣3008+1＝6992（對）．【規(guī)范解答】解：最小的兩個四位數(shù)：2996﹣1000＝1996，最大的兩個四位數(shù)：9999﹣7991＝2008這樣的數(shù)對有：9999﹣3008+1＝6992（對），或7991﹣1000+1＝6992（對）；答：這樣的數(shù)對一共有6992對．故答案為：6992．【考點評析】本題如果用列舉法會很難解決，于是把這類問題推向兩個極端來思考，簡便易行，迅速作出答案．21．（2021?北京）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，使學(xué)生進(jìn)一步了解中國共產(chǎn)黨的歷史，某學(xué)校組織了一次黨史知識競賽，有10道選擇題，每道題答對得5分，答錯或不答扣1分。（1）小明答對了8道題，答錯了2道題，他的總得分是38分；（2）已知參加競賽的學(xué)生中，至少有3人的得分相同，則參加競賽的學(xué)生至少有23人?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）根據(jù)每道題答對得5分，答錯或不答扣1分，列出算式計算即可。（2）按這種記分方法，最高可得（50分），最低是倒扣（10分），答對與答錯或不答之間的分?jǐn)?shù)差為5+1＝6（分）；對10道題得50分，對9道題得44分，對8道題得38分，對7道題得32分，對6道題得26分，對5道題得20分，對4道題得14分，對3道題得8分，對2道題得2分，對1道題扣4分，對0道題扣10分；因此一共有11種分?jǐn)?shù)，為了保證至少有3人得分相同，那么參加競賽的學(xué)生至少有11×2+1＝23（人），據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：（1）5×8﹣2＝40﹣2＝38（分）答：小明的總得分是38分。（2）按這種記分方法，最高可得（50分），最低是倒扣（10分），答對與答錯或不答之間的分?jǐn)?shù)差為5+1＝6（分）；一共有11種分?jǐn)?shù)；要保證參加競賽的學(xué)生中，至少有3人的得分相同，則參加競賽的學(xué)生人數(shù)為：11×2+1＝23（人）。答：參加競賽的學(xué)生至少有23人。故答案為：38；23?！究键c評析】本題主要考查了抽屜原理，解題的關(guān)鍵是得出得分的范圍。22．（2019?成都模擬）正方形ABCD邊長為6厘米，AE＝AC，CF＝BC．三角形DEF的面積為10平方厘米．【思路引導(dǎo)】連接BE，則正方形的空白處的面積就分成了4部分，如圖所示，陰影部分的面積＝正方形的面積﹣四個空白處的面積，因為AE＝AC，可得空白1的面積與三角形ABC的面積之比是1：3，因為三角形ABC的面積是：6×6÷2＝18（平方厘米），所以空白1的面積是：18÷3＝6（平方厘米），同理可得空白4的面積也是6平方厘米；再根據(jù)CF＝BC．同理分別求出空白處2、3的面積，進(jìn)而即可解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖所示：連接BE，因為AE＝AC，可得空白1的面積與三角形ABC的面積之比是1：3，因為三角形ABC的面積是：6×6÷2＝18（平方厘米），所以空白1的面積是：18÷3＝6（平方厘米），同理可得空白4的面積也是6平方厘米；又因為CF＝BC．所以空白2的面積與三角形BEC的面積之比是2：3，三角形BEC的面積是：18﹣6＝12（平方厘米），所以空白2的面積是：12×＝8（平方厘米），空白3的面積是：6÷3×6÷2＝6（平方厘米），所以陰影部分的面積是：6×6﹣6﹣6﹣8﹣6＝36﹣26＝10（平方厘米）．答：三角形DEF的面積為10平方厘米．故答案為：10．【考點評析】本題考查了三角形面積與底的正比關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是三角形高一定時，三角形的面積與底成正比例的靈活應(yīng)用．三．計算題（共3小題）23．（2019?西城區(qū)）計算：1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（4014÷4015）÷（4015÷4016）2008×20072008﹣2007×20082007【思路引導(dǎo)】（1）原式去掉括號即得：1÷2×3÷3×4÷4×5÷…÷4014×4015÷4015×4016，再進(jìn)行簡算即可；（2）先把2008×20072008和2007×20082007進(jìn)行分解，再運用乘法分配律簡算．【規(guī)范解答】解：（1）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（4014÷4015）÷（4015÷4016）＝1÷2×3÷3×4÷4×5÷…÷4014×4015÷4015×4016＝1÷2×4016＝×4016＝2008（2）2008×20072008﹣2007×20082007＝2008×（20072007+1）﹣2007×（20072007+10000）＝2008×20072007+2008﹣2007×20072007﹣20070000＝20072007+2008﹣20070000＝4015【考點評析】完成本題要注意分析式中數(shù)據(jù)，運用合適的簡便方法計算．24．（2019?北京模擬）脫式計算．（1）÷[32×（1﹣）+]（2）+++…+++【思路引導(dǎo)】（1）先算小括號里面的減法，再算中括號里面的乘法，再算中括號里面的加法，最后算除法；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的拆項公式進(jìn)行簡算．【規(guī)范解答】解：（1）÷[32×（1﹣）+]＝÷[32×+]＝÷[+]＝÷＝×＝（2）+++…+++＝＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝【考點評析】考查了運算定律與簡便運算，四則混合運算．注意運算順序和運算法則，靈活運用所學(xué)的運算定律進(jìn)行簡便計算．25．（2019?海淀區(qū)模擬）如圖所示，平行四邊形ABDC的面積為112平方厘米，又知AB＝4CF，求三角形AOF的面積．【思路引導(dǎo)】觀察三角形AOB和三角形DOF，∠AOB等于∠DOF（對角相等），∠OFD等于∠OBA（根據(jù)AB平行于FD），∠OAB等于∠ODF（根據(jù)AB平行于FD），但AB不等于FD，所以三角形AOB和三角形DOF相似，其中OD/OA＝DF/AB，再往下我們可以求出三角形BDO的面積．通過三角形AFB和三角形BDA底和高相等，也就是面積相等，我們可以知道三角形AOF和三角形BDO面積相等，因為它們的公共區(qū)域為三角形AOB．【規(guī)范解答】解：由AB＝4CF得3AB＝4DF由OD/OA＝DF/AB＝3/4得，三角形AOB的面積/三角形OBD的面積＝4/3（因為兩個三角形只有底也就是OD和OA不一樣，高是一樣的）．且三角形ADB的面積為平行四邊形ABDC面積的一半，得出三角形BDO面積為24平方厘米．三角形AOF和三角形BDO面積相等，那么三角形AOF面積為24平方厘米．【考點評析】這道題總體難度不大，用相似三角形性質(zhì)去處理即可．四．應(yīng)用題（共6小題）26．（2019?北京模擬）甲、乙、丙三人合作修一條路，他們約定兩人兩人地輪流做．首先甲、乙合修5天完成了，然后乙、丙二人合修2天完成了余下的，最后甲、丙二人合修5天完成全部工程．整條路的維修費用是32000元，按工作量算，甲應(yīng)得工錢多少元？【思路引導(dǎo)】要求每人分得的錢數(shù)，因為按各人所完成的工作量的多少來合理分配工資，所以必須知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由題意得甲、乙的效率和為÷5＝，乙、丙的效率和為（1﹣）×÷2＝，甲、丙的效率和為（1﹣）×（1﹣）÷5＝，所以，甲的效率為（+﹣）÷2＝，然后乘上甲工作的天數(shù)5+5＝10天，求出甲的工作量，再乘上錢數(shù)32000元即可．【規(guī)范解答】解：甲、乙的效率和為：÷5＝乙、丙的效率和為：（1﹣）×÷2＝甲、丙的效率和為：（1﹣）×（1﹣）÷5＝甲的效率為：（+﹣）÷2＝×（5+5）×32000＝15200（元）答：甲應(yīng)得工錢15200元．【考點評析】此題屬于工程問題，解答此類題的關(guān)鍵是要知道工作量、工作時間、工作效率之間的關(guān)系．工作效率＝工作量÷工作時間．27．（2021?西城區(qū)）爸爸在網(wǎng)上購物，他想買一套圖書和一件上衣。（1）網(wǎng)上書店圖書打七折銷售。打折后，爸爸花56元購買了這套圖書。這套圖書的原價是多少元？（2）爸爸想要買的這件上衣在兩家網(wǎng)店的原價都是300元，兩家網(wǎng)店的促銷方式如下。爸爸選擇在哪家店買更省錢？（列式計算說明理由。）A店每滿100元減20元B店先打八五折，在此基礎(chǔ)上再打九折?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）七折就是原價的70%，原價的70%是56元，已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)用除法計算；（2）A店每滿100元減20元，300里有幾個100，就能減幾個20元，據(jù)此計算出A店優(yōu)惠后的價格；B店先打八五折，在此基礎(chǔ)上再打九折，就是原價的85%的90%，根據(jù)一個數(shù)乘百分?jǐn)?shù)的意義，用乘法計算出B店優(yōu)惠后的價格；再進(jìn)行比較即可得出更省錢的店。【規(guī)范解答】解：（1）56÷70%＝80（元）答：這套圖書原價是80元。（2）300÷100＝3（個）300﹣20×3＝300﹣60＝240（元）300×85%×90%＝255×90%＝229.5（元）240＞229.5答：爸爸選擇在B店買更省錢?！究键c評析】已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求一個數(shù)用除法計算；求一個數(shù)的百分之幾是多少，用乘法計算；最優(yōu)化問題常用比較法進(jìn)行解答，分別計算出兩種方案優(yōu)惠后的價格，再進(jìn)行比較。28．（2020?遂平縣）車棚里停放著三輪車和自行車共18輛，它們的輪子數(shù)加起來共有42個。三輪車和自行車各有多少輛？【思路引導(dǎo)】假設(shè)全是自行車，則有輪子的個數(shù)是18×2＝36個，這就與實際的輪子相差了42﹣36＝6個，這是因每輛三輪車比每輛自行車多了3﹣2＝1個輪子，就多出了6個輪子，據(jù)此可求出三輪車的輛數(shù)，再用18減，就是自行車的輛數(shù)?！疽?guī)范解答】解：三輪車的輛數(shù)：（42﹣18×2）÷（3﹣2）＝6÷1＝6（輛）自行車的輛數(shù)：18﹣6＝12（輛）答：三輪車有6輛，自行車有12輛?！究键c評析】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。29．（2019?北京模擬）已知正整數(shù)p和q都是質(zhì)數(shù)，并且7p+q與pq+11也都是質(zhì)數(shù)，求p和q的值．【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)的特征可知pq+11必為正奇質(zhì)數(shù)，pq為偶數(shù)，從而確定p＝2或q＝2．再分情況討論求解即可．【規(guī)范解答】解：pq+11＞11且pq+11是質(zhì)數(shù)，所以pq+11必為正奇質(zhì)數(shù)，pq為偶數(shù)，而數(shù)p、q均為質(zhì)數(shù)，故p＝2或q＝2．當(dāng)p＝2時，有14+q與2q+11均為質(zhì)數(shù)．當(dāng)q＝3k+1（k≥2）時，則14+q＝3（k+5）不是質(zhì)數(shù)；當(dāng)q＝3k+2（k∈N）時，2q+11＝3（2k+5）不是質(zhì)數(shù)，因此，q＝3k，且q為質(zhì)數(shù)，故q＝3．當(dāng)q＝2時，有7p+2與2p+11均為質(zhì)數(shù)．當(dāng)p＝3k+1（k≥2）時，7p+2＝3（7k+3）不是質(zhì)數(shù)；當(dāng)p＝3k+2（k∈N）時，2p+11＝3（2k+5）不是質(zhì)數(shù)，因此，p＝3k，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)，故p＝3．綜上所述，p和q的值為2，3或3，2．【考點評析】本題考查了質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定p＝2或q＝2，及分類思想的運用，有一點的難度．30．（2019?西城區(qū)）小明家有兩個舊鐘，一個每小時快12分鐘，另一個每小時慢20分鐘．在標(biāo)準(zhǔn)時間早上6點，兩鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間對準(zhǔn)．當(dāng)快鐘顯示的時間是下午3點時讓它停擺，等到慢鐘顯示的時間是下午3點時，才讓快鐘繼續(xù)走動．問快鐘停擺了多長時間（標(biāo)準(zhǔn)時間）？【思路引導(dǎo)】快鐘一個小時快12分鐘，它顯示的1小時，是標(biāo)準(zhǔn)時間的60﹣12＝48（分鐘）．從早上標(biāo)準(zhǔn)時刻6點到快鐘顯示的下午3點，雖然該鐘經(jīng)過的是12﹣6+3＝9（小時），是標(biāo)注時間48×9＝432（分鐘），把432分鐘化成小時，看此時是標(biāo)準(zhǔn)時間下午幾點幾分．慢鐘一個小時慢20分鐘，它顯示的1小時，是標(biāo)準(zhǔn)時間60+20＝80（分鐘）．從早上標(biāo)準(zhǔn)時刻6點到快鐘顯示的下午3點，雖然該鐘經(jīng)過的是12﹣6+3＝9（小時），是標(biāo)注時間80×9＝720（分鐘），把720分鐘化成小時，看此時是標(biāo)準(zhǔn)時間下午幾點幾分．再用慢鐘此下午3時時的標(biāo)準(zhǔn)時刻減快鐘顯示下午3時時的標(biāo)準(zhǔn)時刻，就是快鐘停擺的標(biāo)準(zhǔn)時間．【規(guī)范解答】解：快鐘一個小時快12分鐘，它顯示的1小時，是標(biāo)準(zhǔn)時間的60﹣12＝48（分鐘）從早上標(biāo)準(zhǔn)時刻6點到快鐘顯示的下午3點，雖然該鐘經(jīng)過的是12﹣6+3＝9（小時），是標(biāo)注時間48×9＝432（分鐘）432分鐘＝7小時12分鐘，實際經(jīng)過了標(biāo)準(zhǔn)時間7小時12分鐘，此時是下午1點12分慢鐘一個小時慢20分鐘，它顯示的1小時，是標(biāo)準(zhǔn)時間60+20＝80（分鐘）從早上標(biāo)準(zhǔn)時刻6點到快鐘顯示的下午3點，雖然該鐘經(jīng)過的是12﹣6+3＝9（小時），是標(biāo)注時間80×9＝720（分鐘）實際經(jīng)過了標(biāo)準(zhǔn)時間720÷60＝12（小時），此時是標(biāo)準(zhǔn)時間下午6點下午6點﹣下午1點12分＝4小時48分鐘答：快鐘停擺標(biāo)準(zhǔn)時間4小時48分鐘．【考點評析】解答此題的關(guān)鍵是弄清快鐘、慢鐘從早上標(biāo)準(zhǔn)時間6點到下午3點（非標(biāo)準(zhǔn)時間）各走了標(biāo)準(zhǔn)時間多少分鐘，各是下午標(biāo)準(zhǔn)時刻幾時幾分，二者之差即為快鐘停擺了的時間（標(biāo)準(zhǔn)時間）．31．（2023?西城區(qū)模擬）學(xué)校計劃買60副乒乓球拍，每副售價50元，現(xiàn)在有三個商場搞促銷。甲商場買10個贈送2個；乙商場打八五折；丙商場購物每滿200元，返現(xiàn)金30元。到哪個商場比較合算？【思路引導(dǎo)】根據(jù)三家商場的優(yōu)惠方案，分別計算需要花費的錢數(shù)，再比較即可解答?！疽?guī)范解答】解：甲商場：實際買的乒乓球拍：60×＝50（個）實際支付的錢數(shù)為：50×50＝2500（元）乙商場：50×60×85%＝3000×85%＝2550（元）丙商場：返的錢數(shù)：50×60÷200×30＝3000÷200×30＝15×30＝450（元）實際支付的錢數(shù)為：50×60﹣450＝3000﹣450＝2550（元）2500＜2550答：到甲商場比較合算?！究键c評析】本題主要考查了最優(yōu)化問題，根據(jù)促銷方案分別計算出在三個商場的實際花費是解題本題的關(guān)鍵。五．解答題（共9小題）32．（2022?房山區(qū)模擬）下面三杯牛奶中，哪杯牛奶味最濃？請說明理由。【思路引導(dǎo)】“牛奶味最濃”在數(shù)學(xué)上就是濃度最高。濃度＝奶粉質(zhì)量÷（奶粉質(zhì)量+水的質(zhì)量）÷100%。先計算再比較。【規(guī)范解答】解：15÷（15+45）×100%＝15÷60×100%＝25%10÷（10+100）×100%＝10÷110×100%≈9.1%25÷（25+125）×100%＝25÷150×100%≈16.7%25%＞16.7%＞9.1%答：①號杯牛奶味最濃。因為奶粉含量最高。【考點評析】此題主要考查了濃度的求法，要熟練掌握。33．（2021?平谷區(qū)）某幼兒園舉辦趣味運動會。其中一個游戲需要一名老師和一名兒童組合成一組共同完成。共有5名老師和5名小朋友報名參加這個游戲。他們一共有幾種不同的組合方式？用你喜歡的方式展示你的想法。【思路引導(dǎo)】從5名老師中選一人有5種選法，從5名小朋友中選一人有5種選法，然后根據(jù)乘法原理解答即可。【規(guī)范解答】解：5×5＝25（種）答：他們一共有25種不同的組合方式?！究键c評析】本題考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn種不同的方法。34．（2021?海淀區(qū)）三歲的笑笑每次和媽媽回家時都站在門旁邊等著媽媽開門，為了避免開門時撞到笑笑，媽媽想在門的最外框與地面劃過的軌跡上貼上反光條，讓笑笑每次都站在反光條的外面。（1）如果門的寬度是100厘米，打開的最大角度是90°（如圖），反光條的長度大約長多少厘米？（2）反光條的購買方式如下表：（反光條寬度均為2厘米）規(guī)格購買的數(shù)量和單價30厘米1～3條：29元/條4～6條27元/條7～10條：25元/條40厘米1～5條：35元/條6～10條：33元/條/媽媽要購買長度為220厘米的反光條，最少需要花費多少元？（購買時必須整條購買）【思路引導(dǎo)】（1）此題實際上是求半徑為100cm、圓心角為90°的扇形弧長，即四分之一個圓的周長。根據(jù)圓的周長公式C＝2πr計算即可。（2）若全買40cm的，需要買6條，會浪費20cm，總共需要6×33＝198元；若全買30cm的，需要買8條，浪費20cm，25×8＝200元；如果買5條40cm、1條30cm，浪費10cm，需要5×35+29＝204元；如果買4條40cm、2條30cm，長度正合適，需要4×35+2×29＝198元；如果買1條40cm、6條30cm，剛好是220cm，35+27×6＝197元，花費最少?！疽?guī)范解答】解：（1）2×3.14×100÷4＝628÷4＝157（cm）答：反光條的長度大約長157厘米。（2）35+27×6＝35+162＝197（元）答：最少需要花費197元?！究键c評析】此題主要考查了扇形的弧長求法，以及最優(yōu)化問題的分類討論方法，要熟練掌握。35．（2023?海淀區(qū)模擬）如圖，劉叔叔有一塊長方形小菜園。（1）他想用籬笆圍起來，需要籬笆多少米？（2）甲公司報價：每米用2.2元；乙公司報價：全部圍起來共需188元。如果兩個公司所售的籬笆質(zhì)量相同，你能幫劉叔叔推薦一下，選用哪家公司的比較合算？【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方形的周長公式C＝（a+b）×2，求出小菜園的周長（包括門的寬），再減去門的寬就是籬笆的長；用籬笆的長乘每米需要的錢數(shù)，算出全部圍起來共需的錢數(shù)，再與188元比較，即可做出選擇?！疽?guī)范解答】解：（1）（26+20）×2﹣1＝46×2﹣1＝92﹣1＝91（米）答：需要籬笆91米。（2）2.2×91＝200.2（元）200.2＞188所以選用乙公司比較合算。答：選用乙公司比較合算。【考點評析】解答此題的關(guān)鍵是靈活利用長方形的周長公式求出籬笆的長，再根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系，求出全部圍起來共需的錢數(shù)。36．（2021?北京）小麗參加京東618的網(wǎng)購活動，領(lǐng)取了三張電子優(yōu)惠優(yōu)惠券，付款時，每筆訂單只能使用一張優(yōu)惠券。三張優(yōu)惠券的優(yōu)惠方式如下：優(yōu)惠券1：滿100元，打八折；優(yōu)惠券2：每滿120元，減30元；優(yōu)惠券3：每購買兩件同款商品，第二件半價。（1）小麗購買了兩瓶同款的消毒液，每瓶標(biāo)價是80元，她付款時使用哪張優(yōu)惠券更劃算？小麗實際付款金額是多少元？（請通過計算說明）（2）若小麗購買某件商品后，使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2更劃算，則她購買的商品的標(biāo)價可能為B。A．138元B．218元C．298元【思路引導(dǎo)】（1）按照三種優(yōu)惠券的使用方案，分別計算出各自所花的錢數(shù)，比較數(shù)據(jù)大小得出結(jié)論；（2）使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2更劃算，可知商品的標(biāo)價大于100元；分別討論三種標(biāo)價的實際付款情況，得出結(jié)論。據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：（1）使用優(yōu)惠券1：80×2×80%＝160×0.8＝128（元）使用優(yōu)惠券2：80×2﹣30＝160﹣30＝130（元）使用優(yōu)惠券3：80+80÷2＝80+40＝120（元）120＜128＜130所以，使用優(yōu)惠券3最便宜。答：她付款時使用優(yōu)惠券3更劃算，小麗實際付款金額是120元。（2）由題意，優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2更劃算，所以她購買的商品的標(biāo)價超過100元。分情況討論：她購買的商品的標(biāo)價為138元時，用優(yōu)惠券1實際付款：138×80%＝110.4（元）；優(yōu)惠券2減免30元，實付：138﹣30＝108（元）；110.4＞108，不符合題意；她購買的商品的標(biāo)價為218元時，用優(yōu)惠券1實際付款：218×80%＝174.4（元）；優(yōu)惠券2減免30元，實付：218﹣30＝188（元）；符合題意；她購買的商品的標(biāo)價為2