13.3.1空間圖形的表面積(教學(xué)方式:基本概念課——逐點(diǎn)理清式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.了解柱、錐、臺(tái)的表面積及側(cè)面積公式.2.能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.逐點(diǎn)清(一)直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積[多維理解]1.側(cè)面積的概念把柱、錐、臺(tái)的側(cè)面沿著它們的或剪開后展開在一個(gè)平面上,展開圖的面積就是它們的側(cè)面積.

2.直棱柱及其側(cè)面積(1)側(cè)棱和底面的棱柱叫作直棱柱.

(2)底面為正多邊形的叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)就是直棱柱的高(兩底面所在平面之間的距離).

(3)直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形,這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)c,寬等于直棱柱的高h(yuǎn).因此,直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)=.

3.正棱錐及其側(cè)面積(1)如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面的射影是,那么稱這樣的棱錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,側(cè)面均為全等的等腰三角形.

(2)正棱錐的側(cè)面展開圖是若干個(gè)全等的等腰三角形,展開圖的面積就是正棱錐的側(cè)面積.如果正棱錐的底面周長(zhǎng)為c,斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h',則它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)=.

4.正棱臺(tái)及其側(cè)面積(1)正棱錐被所截,截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái).

(2)正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,側(cè)面均為全等的等腰梯形.(3)若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為c',c,斜高為h',則其側(cè)面積是S正棱臺(tái)側(cè)=.

|微|點(diǎn)|助|解|(1)對(duì)于直棱柱,其側(cè)面積可以用公式計(jì)算,也可以將其每一個(gè)側(cè)面的面積分別計(jì)算,然后相加.(2)對(duì)于正棱錐和正棱臺(tái),其側(cè)面積可以由其一個(gè)側(cè)面的面積乘以側(cè)面的個(gè)數(shù)來計(jì)算,因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面都是全等的三角形或梯形.(3)棱錐、棱臺(tái)的“斜高”與“高”:斜高是指其側(cè)面等腰三角形或等腰梯形的高,正棱錐、正棱臺(tái)的高是幾何體的高.[微點(diǎn)練明]1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)斜三棱柱的側(cè)面積也可用cl求解,其中c為底面周長(zhǎng),l為側(cè)棱長(zhǎng).()(2)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的.()(3)沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖不一定相同,但展開圖的面積相等.()(4)將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積為4π.()2.正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4,高與斜高的夾角為30°,則該四棱錐的側(cè)面積為()A.32 B.48 C.64 D.323.若某正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3,9,側(cè)棱長(zhǎng)是6,則它的表面積為()A.90+723 B.90+273C.90+725 D.90+2754.如圖,底面為菱形的直棱柱ABCD?A1B1C1D1的兩個(gè)對(duì)角面ACC1A1和BDD1B1的面積分別為6和8,則棱柱的側(cè)面積為.逐點(diǎn)清(二)圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積[多維理解]圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積幾何體側(cè)面展開圖形狀展開圖度量與幾何體度量的關(guān)系側(cè)面積公式圓柱矩形的一邊長(zhǎng)為母線長(zhǎng),另一邊長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)S圓柱側(cè)=_________,r:底面半徑,l:母線長(zhǎng)圓錐扇形的半徑為母線長(zhǎng),扇形的弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)S圓錐側(cè)=_________,

r:底面半徑,l:母線長(zhǎng)圓臺(tái)扇環(huán)的較短的弧長(zhǎng)為圓臺(tái)上底面周長(zhǎng),較長(zhǎng)的弧長(zhǎng)為圓臺(tái)下底面周長(zhǎng)S圓臺(tái)側(cè)=_________,

r1,r2分別為圓臺(tái)上、下底面半徑,l為母線長(zhǎng)|微|點(diǎn)|助|解|(1)表面積:一個(gè)幾何體的表面積是指幾何體所有面的面積的和,也可以理解成幾何體的側(cè)面積與其底面積的面積之和,也稱為全面積.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積公式間的關(guān)系:[微點(diǎn)練明]1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.()(2)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,其中扇形的弧長(zhǎng)為圓錐底面圓的周長(zhǎng).()(3)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定.()2.圓柱的母線長(zhǎng)為5cm,底面半徑為2cm,則圓柱的側(cè)面積為()A.20πcm2 B.10πcm2C.28πcm2 D.14πcm23.已知一個(gè)圓柱和圓錐等底等高,且圓錐的軸截面是一個(gè)等腰直角三角形,則此圓錐和圓柱的表面積之比為()A.2+14 B.C.22 D.4.如圖,圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°.(1)求圓臺(tái)母線AB的長(zhǎng)度;(2)求圓臺(tái)的表面積.逐點(diǎn)清(三)組合體的表面積[典例](1)某組合體如圖所示,上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-EFGH.正四棱錐P-EFGH的高為3,EF=2,AE=1,則該組合體的表面積為()A.20 B.43+12C.16 D.43+8(2)陀螺起源于我國(guó),最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知,底面圓的直徑AB=12cm,圓柱體部分的高BC=6cm,圓錐體部分的高CD=4cm,則這個(gè)陀螺的表面積(單位:cm2)是()A.(144+1213)π B.(144+2413)πC.(108+1213)π D.(108+2413)π聽課記錄:|思|維|建|模|求解組合體表面積的解題思路求解組合體的表面積問題首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的,將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體后,先求這些幾何體的表面積,再通過求和或作差,得到所求組合體的表面積.若遇到與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問題,應(yīng)先根據(jù)條件確定各個(gè)旋轉(zhuǎn)體的底面半徑和母線長(zhǎng),再代入公式求解.[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖,一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成,把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°之后,表面積增加了()A.54 B.54-362C.108-722 D.81-7222.仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器.該盤盤口微撇,弧腹,圈足.足底切削整齊.通體施玫瑰紫釉,釉面棕眼密集,美不勝收.仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體,其口徑為15.5cm,足徑為9.2cm,頂部到底部的高為4.1cm,底部圓柱高為0.7cm,則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為(參考數(shù)據(jù):π的值取3,21.4825≈4.6)()A.143.1cm2 B.151.53cm2C.155.42cm2 D.170.43cm213.3.1空間圖形的表面積[多維理解]1.一條側(cè)棱母線2.(1)垂直(2)直棱柱(3)ch3.(1)底面中心(2)12ch'4.(1)(3)12(c+c')[微點(diǎn)練明]1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.選A如圖所示,在正四棱錐P?ABCD中,連接AC,BD交于O點(diǎn),連接PO,取BC的中點(diǎn)E,連接PE,OE,易知PO為正四棱錐P?ABCD的高,PE為斜高,則OE=12PE,因?yàn)镺E=12AB=2,所以PE=4,則S側(cè)=4×13.選A如圖,由題意可得,上底面的面積為9,下底面的面積為81,側(cè)面的高為62-32=33,所以該正四棱臺(tái)的表面積為9+81+4×4.解析:設(shè)直棱柱的底面邊長(zhǎng)為x,側(cè)棱長(zhǎng)為h,則有AC=6h,BD=8h.∵底面ABCD∴AC與BD互相垂直平分.∴x2=32h2+42h2=25h2,∴x=5h.∴S答案:20[多維理解]2πrlπrlπ(r1+r2)l[微點(diǎn)練明]1.(1)√(2)√(3)√2.選A圓柱的母線長(zhǎng)為5cm,底面半徑為2cm,則圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2π×2×5=20π(cm2).3.選A設(shè)圓柱與圓錐的底面半徑為r.因?yàn)閳A錐的軸截面是一個(gè)等腰直角三角形,所以圓錐的高為r,母線長(zhǎng)為2r.所以圓柱的表面積為2πr2+2πr·r=4πr2,圓錐的表面積為12·2πr·2r+πr2=(2+1)πr2.所以圓錐和圓柱的表面積之比為(2+1)πr24.解:(1)設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為ccm,由于扇環(huán)的圓心角是180°,則c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).同理可得SB=40(cm),AB=SB-SA=20(cm).(2)S表=S側(cè)+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).[典例]解析:(1)由題意,得正四棱錐P-EFGH的斜高為3+1=2,該組合體的表面積為2×2+4×2×1+4×12×2×2=20(2)由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為l=62+42=213,所以圓錐體的側(cè)面積為12·12π·2圓柱體的側(cè)面積為12π×6=72π,圓柱的底面面積為π×62=36π.所以此陀螺的表面積為1213π+72π+36π=(108+1213)π(cm2).故選C.答案:(1)A(2)C[針對(duì)訓(xùn)練]1.選C如圖,轉(zhuǎn)動(dòng)了45°后,此時(shí)魔方相對(duì)原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積,顯然小三角形為等腰直角三角形,設(shè)直角邊為x,則斜邊為2x,則有2x+2x=3,解得x=3-32由幾何關(guān)系得陰影部分的面積為S1