兩平面垂直

(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))第2課時(shí)課時(shí)目標(biāo)1.從相關(guān)定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長方體,通過直觀感知,了解空間中平面與平面的垂直關(guān)系.2.了解二面角的相關(guān)概念,平面與平面垂直的定義,會(huì)求簡單的二面角問題.3.歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理、判定定理,并會(huì)證明平面與平面的垂直關(guān)系.CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通課時(shí)跟蹤檢測課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)1.二面角(1)二面角半平面平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分,其中的__________都叫作半平面二面角的相關(guān)概念一般地,一條直線和由這條直線出發(fā)的_____________所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的____,每個(gè)半平面叫作二面角的_____每一部分兩個(gè)半平面棱面畫法記法二面角α?l?β或α?AB?β或P?l?Q或P?AB?Q續(xù)表(2)二面角的平面角①定義:一般地,以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別__________________,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.如圖,∠AOB就是二面角α?l?β的平面角.作垂直于棱的射線②范圍:二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度.二面角α的取值范圍是_____________.(3)直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角.0°≤α≤180°2.面面垂直的定義定義一般地,如果兩個(gè)平面所成的二面角是__________,那么就說這兩個(gè)平面互相垂直畫法畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí),通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成垂直.如圖記作α⊥β直二面角3.平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言作用如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_____,那么這兩個(gè)平面垂直證面面垂直垂線4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的______,那么這條直線與另一個(gè)平面______符號(hào)語言α⊥β,α∩β=l,______,______?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?_____垂直;②作平面的垂線交線垂直a?αa⊥l線面|微|點(diǎn)|助|解|(1)面面垂直的判定定理可簡述為“線面垂直?面面垂直”.要證明平面與平面垂直,只需轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直,這充分說明了線面垂直與面面垂直的密切關(guān)系.(2)要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系,只需要固定其中一個(gè)平面,找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第一個(gè)平面垂直.(3)觀察空間圖形時(shí),不能以平面的觀點(diǎn)去看待,平面上畫的兩直線成銳角或鈍角,在空間中可能是垂直的.(4)平面與平面垂直的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè):①兩個(gè)平面垂直;②有一條直線在其中一個(gè)平面內(nèi);③這條直線垂直于兩個(gè)平面的交線.(5)如果兩個(gè)平面垂直,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能平行、相交(含垂直相交)或異面.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)相交平面組成的圖形叫作二面角. (

)(2)異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b的夾角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ). (

)(3)二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角. (

)(4)二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.(

)×√×√2.已知直線l⊥平面α,則經(jīng)過l且和α垂直的平面

(

)

A.有一個(gè) B.有兩個(gè)C.有無數(shù)個(gè) D.不存在3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則

(

)A.α∥γ B.α與γ相交但不垂直C.α⊥γ D.以上都有可能√√4.如圖所示,在長方體ABCD

?A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥A1B1于F,則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是

(

)A.平行

B.EF?平面A1B1C1D1C.相交但不垂直

D.相交且垂直√課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)二面角的求法

√

|思|維|建|模|1.求二面角大小的步驟(1)找出這個(gè)二面角的平面角;(2)證明這個(gè)角是二面角的平面角;(3)作出這個(gè)角所在的三角形,解這個(gè)三角形,求出角的大小.2.確定二面角的平面角的方法(1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線.(2)垂面法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線的夾角,即為二面角的平面角.針對訓(xùn)練1.如圖,AB是圓的直徑,PA⊥BC,C是圓上一點(diǎn)(不同于A,B),且PA=AC,則二面角P?BC?A的平面角為

(

)A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB√解析:∵C是圓上一點(diǎn)(不同于A,B),AB是圓的直徑,∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.而PC?平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定義,得∠PCA為二面角P?BC?A的平面角.2.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AA1的中點(diǎn),則平面CEB1與平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值為

.

題型(二)平面與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用[例2]如圖,斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn),且BC=CA=AA1.(1)求證:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;證明:如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接B1M.因?yàn)辄c(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M,所以B1M⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC,所以B1M⊥AC.又由BC⊥AC,B1M∩BC=M,且B1M,BC?平面B1C1CB,所以AC⊥平面B1C1CB.因?yàn)锳C?平面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)求證:BC1⊥AB1.證明:連接B1C,因?yàn)锳C⊥平面B1C1CB,且BC1?平面B1C1CB,所以AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC?A1B1C1中,因?yàn)锽C=CC1,所以四邊形B1C1CB為菱形.所以B1C⊥BC1.又因?yàn)锽1C∩AC=C,且B1C,AC?平面ACB1,所以BC1⊥平面ACB1.因?yàn)锳B1?平面ACB1,所以BC1⊥AB1.|思|維|建|模|證明面面垂直常用的方法(1)定義法:說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角,其判定的步驟:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個(gè)平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面互相垂直.(2)判定定理法:在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直,即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”,其基本步驟:(3)性質(zhì)法:兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面,則另一個(gè)也垂直于此平面.針對訓(xùn)練證明:如圖,連接OC,因?yàn)镺A=OC,D是AC的中點(diǎn),所以AC⊥OD.又PO⊥底面AOC,AC?底面AOC,所以AC⊥PO.因?yàn)镺D,PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線,所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.題型(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用[例3]如圖所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E為垂足.(1)求證:PA⊥平面ABC;證明:在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D,作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC,且交線為AC,∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC,∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G,同理可證DG⊥AP.∵DG,DF都在平面ABC內(nèi),且DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC.(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí),求證:△ABC是直角三角形.證明:如圖,連接BE并延長,交PC于H.∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.又已知AE⊥平面PBC,PC?平面PBC,∴PC⊥AE.∵BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE.∵AB?平面ABE,∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.∵PC∩PA=P,∴AB⊥平面PAC.∵AC?平面PAC,∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.|思|維|建|模|面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用思路在空間圖形中,如已知條件中有面面垂直,一般需要作輔助線,考慮應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直,繼而可得線線垂直.在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí),找準(zhǔn)兩平面的交線是關(guān)鍵.[提醒]

在證明垂直問題時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.針對訓(xùn)練4.已知長方體ABCD?A1B1C1D1,在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M,作ME⊥AB于點(diǎn)E,則

(

)A.ME⊥平面ABCD B.ME?平面ABCDC.ME∥平面ABCD D.以上都有可能解析:∵M(jìn)E?平面AA1B1B,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,且平面AA1B1B⊥平面ABCD,ME⊥AB,∴ME⊥平面ABCD.√5.如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求證:AA1⊥A1B;解:證明:因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C.又AA1?平面AA1C1C,所以BC⊥AA1.因?yàn)椤螦A1C=90°,所以AA1⊥A1C.又BC∩A1C=C,所以AA1⊥平面A1BC.又A1B?平面A1BC,所以AA1⊥A1B.

題型(四)線面位置關(guān)系的綜合問題[例4]如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(1)PE⊥BC;證明:因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)平面PAB⊥平面PCD;證明:因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.又因?yàn)镻D?平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,且PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.又因?yàn)镻D?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD,DG?平面PCD,所以EF∥平面PCD.|思|維|建|模|(1)在解決垂直問題的過程中,要注意平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意面面垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.(2)在應(yīng)用線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明有關(guān)問題時(shí),除了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,還應(yīng)注意尋找線面平行、垂直所需的條件.平行、垂直的轉(zhuǎn)化針對訓(xùn)練6.如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證:AB∥EF;證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AB∥CD.又AB?平面PDC,CD?平面PDC,所以AB∥平面PDC.又AB?平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF,所以AB∥EF.(2)若AF⊥EF,求證:平面PAD⊥平面ABCD.證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AB⊥AD.因?yàn)锳F⊥EF,(1)中已證AB∥EF,所以AB⊥AF.由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C),所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D.又AF∩AD=A,AF,AD?平面PAD.所以AB⊥平面PAD.又AB?平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.課時(shí)跟蹤檢測134567891011121314152A級——達(dá)標(biāo)評價(jià)1.對于直線m,n和平面α,β,α⊥β的一個(gè)條件是(

)A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊥αC.m∥n,n⊥α,m∥β D.m∥n,m⊥α,n⊥β√134567891011121314152解析:根據(jù)m⊥n,m∥α,n∥β,有可能出現(xiàn)α∥β的情況,A錯(cuò)誤.根據(jù)m⊥n,α∩β=m,n⊥α,不一定得到α⊥β,如圖1,B錯(cuò)誤.過m作平面γ與平面β交于直線p,如圖2,∵m∥β,m?γ,β∩γ=p,∴m∥p.∵m∥n,n⊥α,∴m⊥α.∴p⊥α.又p?β,從而得到α⊥β,C正確.∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α.而n⊥β,∴α∥β,D錯(cuò)誤.故選C.1567891011121314152342.已知平面α⊥平面β,且α∩β=l,要得到直線m⊥平面β,還需要補(bǔ)充以下的條件是

(

)A.m?α B.m∥αC.m⊥l D.m?α且m⊥l解析:選項(xiàng)A、B、C的條件都不能得到直線m⊥平面β.而補(bǔ)充選項(xiàng)D后,可以得到直線m⊥平面β.理由是若兩平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線垂直于另一個(gè)平面.故選D.√1567891011121314153423.已知三棱錐A?BCD中,AD⊥BC,AD⊥CD,則有

(

)A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADB解析:如圖所示,因?yàn)锳D⊥BC,AD⊥CD,BC∩CD=C,所以AD⊥平面BCD.而AD?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.√1567891011121314153424.如圖,在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,若DH⊥平面ABC于H,那么點(diǎn)H必在

(

)A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC內(nèi)部√156789101112131415342解析:在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,∴AC⊥平面ABD.又∵AC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABD.∵平面ABC∩平面ABD=AB,∴點(diǎn)H必在AB上.故選A.1567891011121314153425.如圖,三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,則二面角A?BB1?C的大小是

(

)A.30° B.45°C.60° D.90°解析:在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中,B1C1∥BC,且B1C1⊥BB1,則BC⊥BB1.又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,所以B1B⊥平面ABC.所以∠ABC為二面角A?BB1?C的平面角.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以∠ABC=60°.√1567891011121314153426.空間四邊形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E是AC的中點(diǎn),則平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是

.解析:如圖,∵AB=BC,CD=DA,E是AC的中點(diǎn),∴AC⊥BE,AC⊥DE.又BE∩DE=E,BE,DE?平面BDE,∴AC⊥平面BDE.∵AC?平面ABC,∴平面BDE⊥平面ABC.垂直1567891011121314153427.如圖,正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長都相等,則二面角A1?BC?A的余弦值為

.

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1567891011121314153429.(10分)如圖,四棱錐P?ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.(1)求證:CD⊥AP;證明:因?yàn)锳D⊥平面PAB,AP?平面PAB,所以AD⊥AP.又AP⊥AB,AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD.因?yàn)镃D?平面ABCD,所以CD⊥AP.156789101112131415342(2)若CD⊥PD,求證:CD∥平面PAB.證明:由(1)知CD⊥AP,又因?yàn)镃D⊥PD,PD∩AP=P,PD?平面PAD,AP?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.①因?yàn)锳D⊥平面PAB,AB?平面PAB,所以AB⊥AD.又AP⊥AB,AP∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD.②由①②得,AB∥CD.因?yàn)锳B?平面PAB,CD?平面PAB,所以CD∥平面PAB.156789101112131415342

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156789101112131415342(2)求證:平面B1AE⊥平面A1B1BA.證明:連接AC,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,則∠ADC=60°.所以△ACD是等邊三角形.所以AE⊥CD,即AE⊥AB.又AA1⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以AA1⊥AE.又AB∩AA1=A,AB,AA1?平面A1B1BA,所以AE⊥平面A1B1BA.因?yàn)锳E?平面B1AE,所以平面B1AE⊥平面A1B1BA.156789101112131415342B級——重點(diǎn)培優(yōu)11.(多選)如圖,在梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折.在翻折的過程中,可能成立的結(jié)論是(

)A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面DCF⊥平面BCF√√156789101112131415342解析:因?yàn)锽C∥AD,AD與DF相交不垂直,所以BC與DF不垂直,故A錯(cuò)誤;設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP⊥CF時(shí),有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4,∠BCF為銳角,所以可作出BP⊥CF,從而滿足條件,故B正確;當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí),DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,故C正確;因?yàn)锳D∶BC=2∶3,AD∶EF=4∶5,所以點(diǎn)D的投影不可能在CF上,所以平面DCF⊥平面BCF不成立,故D錯(cuò)誤.156789101112131415342√

156789101112131415342解析:取AB的中點(diǎn)E,連接CE,DE,因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,且AB為斜邊,所以CE⊥AB.又△ABD是等邊三角形,所以DE⊥AB.從而∠CED為二面角C?AB?D的平面角,即∠CED=150°.顯然CE∩DE=E,CE,DE?平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又AB?平面ABC,因此平面CDE⊥平面ABC,顯然平面CDE∩平面ABC=CE,直線CD?平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,156789101112131415342

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15678910111213141534213.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩條不同的直線,給出下列四個(gè)論斷:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:

.(用序號(hào)表示)①③④?②(或②③④?①)解析:若m⊥n,n⊥β,m⊥α,則α⊥β.證明:如圖,過平面α和平面β外一點(diǎn)P,作PA∥m,PA交α于A,作PB∥n,PB交β于B,156789101112131415342則PA⊥α,PB⊥β,PA⊥PB,顯然α與β不平行,設(shè)α∩β=l,則PA⊥l,PB⊥l.因?yàn)镻A∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以l⊥平面PAB.延展平面PAB交l于點(diǎn)M,連接AM,BM,則l⊥AM,l⊥BM,則∠AMB是二面角α?l?β的一個(gè)平面角.因?yàn)镻A⊥α,AM?α,所以PA⊥AM.156789101112131415342同理有PB⊥BM.又PA⊥PB,所以四邊形PAMB為矩形,則AM⊥BM,則平面α和平面β所成的二面角的平面角是直二面角,故α⊥β.若α⊥β,n⊥β,m⊥α,則m⊥n.156789101112131415342證明:因?yàn)?/p>