第十章第57講二項(xiàng)分布與超幾何分布計(jì)數(shù)原理、概率及其分布鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．(人A選必三P76練習(xí)T1(2))將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則E(X)＝_____，D(X)＝_____．【解析】212．(人A選必三P74例1改)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，則恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率是______．【解析】3．(人A選必三P80練習(xí)T1)一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐.從中任意抽取2罐，則這2罐中有獎(jiǎng)券的概率是______．【解析】4．(人A選必三P80練習(xí)T2)學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率是______．【解析】5．(人A選必三P80習(xí)題T2)若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是____________．【解析】0.2916一、

二項(xiàng)分布1．伯努利試驗(yàn)只包含________可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為__________________．兩個(gè)n重伯努利試驗(yàn)2．二項(xiàng)分布3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝______，D(X)＝____________．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝_______，D(X)＝______________．X～B(n，p)pp(1－p)npnp(1－p)二、

超幾何分布1．定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，那么X的分布列為P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1二項(xiàng)分布

(2024·威海二模)市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．(1)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率；1【解答】

(2024·威海二模)市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．(2)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】1(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率；(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，從而求得概率．變式1

(2024·池州二模)學(xué)校組織某項(xiàng)勞動(dòng)技能測(cè)試，每位學(xué)生最多有3次測(cè)試機(jī)會(huì)．一旦某次測(cè)試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測(cè)試，否則就繼續(xù)參加測(cè)試，直到用完3次機(jī)會(huì)．如果每位學(xué)生在3次測(cè)試中通過的概率依次為0.5,0.6,0.8，且每次測(cè)試是否通過相互獨(dú)立．現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測(cè)試，回答下列問題．(1)求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．【解答】由題意知X的所有可能取值為1,2,3，因?yàn)镻(X＝1)＝0.5，P(X＝2)＝(1－0.5)×0.6＝0.3，P(X＝3)＝(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2，所以X的分布列為所以E(X)＝1×0.5＋2×0.3＋3×0.2＝1.7．X123P0.50.30.2變式1

(2024·池州二模)學(xué)校組織某項(xiàng)勞動(dòng)技能測(cè)試，每位學(xué)生最多有3次測(cè)試機(jī)會(huì)．一旦某次測(cè)試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測(cè)試，否則就繼續(xù)參加測(cè)試，直到用完3次機(jī)會(huì)．如果每位學(xué)生在3次測(cè)試中通過的概率依次為0.5,0.6,0.8，且每次測(cè)試是否通過相互獨(dú)立．現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測(cè)試，回答下列問題．(2)規(guī)定：在2次以內(nèi)測(cè)試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書，超過2次測(cè)試通過獲得合格證書．記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y，求使得P(Y＝k)取最大值時(shí)的整數(shù)k．【解答】目標(biāo)2超幾何分布

(2024·九省聯(lián)考)盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，一次隨機(jī)取出3個(gè)小球．(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；2【解答】

(2024·九省聯(lián)考)盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，一次隨機(jī)取出3個(gè)小球．(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．2【解答】(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．變式2

(2024·聊城二模)某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91．分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89．(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；【解答】變式2

(2024·聊城二模)某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91．分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89．(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．(1)若從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．設(shè)取到一等品的件數(shù)為η，求η的分布列及均值．3【解答】二項(xiàng)分布與超幾何分布的識(shí)別新視角在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．(2)若從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．設(shè)取到一等品的件數(shù)為X，求：①X的分布列及均值；3【解答】在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．(2)若從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．設(shè)取到一等品的件數(shù)為X，求：②取到的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．3【解答】設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3．在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布．區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布【解析】D2．

根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，PM2.5日均值(單位：μg/m3)在35以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35～75空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo)．工作人員從某自然保護(hù)區(qū)2024年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(25,35](35,45](45,55]頻數(shù)311PM2.5日均值(55,65](65,75](75,85]頻數(shù)113從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，則X的均值是 (

)【解析】A3．(多選)已知隨機(jī)變量X～B(4，p)，E(X)＝2，則 (

)【解析】AD4．現(xiàn)有高三年級(jí)學(xué)生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的學(xué)生人數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是______；設(shè)事件A＝“抽取的3人中，既有睡眠充足的學(xué)生，也有睡眠不足的學(xué)生”，則事件A發(fā)生的概率為______．【解析】配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題【解析】D2．一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，則下列說法錯(cuò)誤的是 (

)A．若事件A“試驗(yàn)成功”的概率為p(0＜p＜1)，則事件A在第k次試驗(yàn)中才首次發(fā)生的概率為p(1－p)k－1B．集合A內(nèi)的元素個(gè)數(shù)不確定

D．該n重伯努利試驗(yàn)共做了n次互相獨(dú)立的試驗(yàn)【解析】【答案】B【解析】A【解析】【答案】B【解析】【答案】BCD【解析】【答案】ABC三、填空題7．已知隨機(jī)變量X～B(6，p)，且E(X)＝3，則P(X＝1)＝______．【解析】8．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為_________．【解析】0.648【解析】四、解答題10．(2025·蘇州期初)2024年7月26日第33屆夏季奧