第19講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用202X/01/01匯報(bào)人：研題型·能力養(yǎng)成01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；1【解答】(2)討論方程f(x)＝a的根的個(gè)數(shù)．【解答】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(或方程根的個(gè)數(shù))問(wèn)題的一般思路：(1)可轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；(2)涉及兩函數(shù)的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想方法，通過(guò)圖象可清楚地?cái)?shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù))或者確定參數(shù)的取值范圍．變式1

(2025·蘇州期初)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋ex－4x，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g(x)＝x3－ax＋3．(1)若f(x)在(0,1)處的切線也是g(x)的切線，求實(shí)數(shù)a的值；【解答】變式1

(2025·蘇州期初)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋ex－4x，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g(x)＝x3－ax＋3．(2)求f(x)在(－π，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】

f′(x)＝cosx＋ex－4，當(dāng)－π＜x≤0時(shí)，cosx≤1，ex≤1，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)≥f(0)＝1，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h(x)＝f′(x)＝cosx＋ex－4，則h′(x)＝－sinx＋ex＞0，h(x)即f′(x)單調(diào)遞增，f′(0)＝－2，f′(2)＝cos2＋e2－4＞0，因此f′(x)在(0,2)上有唯一零點(diǎn)，記零點(diǎn)為m，即f′(m)＝0，在(0，m)上，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，在(m，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．又f(0)＝1＞0，f(1)＝sin1＋e－4＜0，f(2)＝sin2＋e2－4＞0，所以f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，在(1,2)上有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f(x)在(－π，＋∞)上有2個(gè)零點(diǎn)．目標(biāo)2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況確定參數(shù)

(2024·南通期初)已知函數(shù)f(x)＝aex－cosx－x(a∈R)．(1)若a＝1，求證：f(x)≥0；2【解答】當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－cosx－x，令g(x)＝ex－x，則g′(x)＝ex－1，當(dāng)x＜0時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以g(x)≥g(0)＝1，而cosx≤1，所以ex－x≥cosx，即f(x)≥0．

(2024·南通期初)已知函數(shù)f(x)＝aex－cosx－x(a∈R)．(2)若f(x)在(0，π)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2【解答】已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍(1)分離參數(shù)法：從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，確定參數(shù)的取值范圍；(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)的取值范圍．變式2

(2024·阜陽(yáng)一測(cè)節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝3lnx－ax．(1)討論f(x)的單調(diào)性；【解答】變式2

(2024·阜陽(yáng)一測(cè)節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝3lnx－ax．(2)已知x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)(x1＜x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】1．若函數(shù)f(x)＝2x3－6x＋m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (

)A．[－4,4] B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】B【解析】【答案】BCD【解答】當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，因?yàn)閟inx＜0，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(π，2π)上單調(diào)遞增，又g(π)＝－π＜0，g(2π)＝2π＞0，所以g(x)在(π，2π)上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)x∈(2π，3π)時(shí)，因?yàn)閟inx＞0，所以g′(x)＜0，所以g(x)在(2π，3π)上單調(diào)遞減．又因?yàn)間(2π)＞0，g(3π)＜0，所以g(x)在(2π，3π)上有唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3π)上有兩個(gè)零點(diǎn)且在零點(diǎn)左右函數(shù)符號(hào)發(fā)生改變，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3π)內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．配套精練02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)f(x)＝ex與g(x)＝x＋1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (

)A．0 B．1C．2 D．不確定【解析】令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1，令h′(x)＝ex－1＝0，得x＝0．當(dāng)x＜0時(shí)，h′(x)＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，h′(x)＞0．所以當(dāng)x＝0時(shí)，h(x)取得最小值h(0)＝0，即h(x)＝ex－x－1只有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)與g(x)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)．B【解析】B【解析】C4．(2023·全國(guó)乙卷文)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2存在3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

)A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3,0)【解析】【答案】B二、多項(xiàng)選擇題5．(2024·隨州5月模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，則 (

)A．函數(shù)f(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－3,1)C．函數(shù)f(x)存在最大值和最小值D．若方程f(x)＝a有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則a∈(－2e,6e－3)【解析】由函數(shù)f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，得f′(x)＝(x－1)(x＋3)ex，令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1；令f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1，所以函數(shù)f(x)在(－3,1)上單調(diào)遞減，在(－∞，－3)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(－3)＝6e－3，f(1)＝－2e，當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→0＋，作出函數(shù)y＝f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知A，B正確；f(x)min＝f(1)＝－2e，無(wú)最大值，所以C錯(cuò)誤；若方程f(x)＝a有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即y＝a與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得a∈(0,6e－3)，所以D錯(cuò)誤．【答案】AB6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則 (

)A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線y＝f(x)的對(duì)稱中心

D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線【解析】【答案】AC【解析】【答案】AC三、填空題8．函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_____．【解析】因?yàn)閒′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．又因?yàn)閒(0)＝0，所以f(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．19．(2024·全國(guó)甲卷文)若曲線y＝x3－3x與y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________．【解析】令x3－3x＝－(x－1)2＋a，得a＝x3－3x＋(x－1)2．令φ(x)＝x3－3x＋(x－1)2，x＞0，則φ′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(x－1)(3x＋5)，當(dāng)x＞1時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′(x)＜0，φ(x)單調(diào)遞減．因?yàn)棣?0)＝1，φ(1)＝－2，當(dāng)x→＋∞時(shí)，φ(x)→＋∞，由題知y＝a與y＝x3－3x＋(x－1)2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍為(－2,1)．(－2,1)10．已知函數(shù)f(x)＝3xlnx－ax3＋6x(a＞0)．若y＝f′(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值為_________．【解析】【答案】四、解答題【解答】(1)求實(shí)數(shù)a的值；【解答】(2)若函數(shù)f(x)在[1，e]上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．12．(2024·鄭州三模)已知函數(shù)f(x)＝eax－x．(1)若a＝2，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；【解答】若a＝2，則f(x)＝e2x－x，f′(x)＝2e2x－1．又f(1)