專題3.1不等式的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)(1)通過具體情況，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著的大量的不等關(guān)系;(2)了解不等式（組）的實(shí)際背景；(3)理解不等式的性質(zhì).(4)會(huì)利用數(shù)軸求無限集的交集、并集的運(yùn)算，體會(huì)數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用．教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1)比較兩個(gè)數(shù)的大小；(2)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．2.難點(diǎn)(1)對不等式的性質(zhì)的理解；(2)證明不等式．知識(shí)點(diǎn)01不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號語言【即學(xué)即練】1.用不等式表示下列不等關(guān)系：（1）某段高速公路規(guī)定機(jī)動(dòng)車限速80km/h至120km/h.（2）x的5倍與7的差大于3.（3）糖水中有糖，若再添上糖，則糖水變甜了.【分析】根據(jù)題意結(jié)合實(shí)際情況列出關(guān)系式即可【點(diǎn)睛】實(shí)際問題列不等式最容易忽略每一個(gè)參數(shù)的限定條件，列式時(shí)要尤為注意知識(shí)點(diǎn)02比較大小1.作差法比較兩實(shí)數(shù)大小依據(jù)如果a－b＞0，那么a＞b.如果a－b＜0，那么a＜b.如果a－b＝0，那么a＝b.結(jié)論確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系.2.作商法比較兩實(shí)數(shù)大小依據(jù)結(jié)論確定任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的商a－與1的大小關(guān)系.【即學(xué)即練】【分析】（1）作差法得出差值為負(fù)；知識(shí)點(diǎn)03不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)可開方性【即學(xué)即練】1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正確的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＜eq\r(b)C．a(chǎn)2＜b2 D．|a|＞|b|【答案】A【解析】A正確，B、C、D可舉反例排除，如對B、C，設(shè)a＝－9，b＝1，對D，設(shè)a＝－1，b＝2即可．【答案】ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)推理判斷AC；舉例說明判斷B，作差判斷D.故選：ACD知識(shí)點(diǎn)04不等式的拓展性質(zhì)（拓展）1.取倒數(shù)性質(zhì)（巧記：同號兩數(shù)，大數(shù)的倒數(shù)反而?。?.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)【即學(xué)即練】【答案】D【分析】應(yīng)用不等式的性質(zhì)及作差法判斷A，B，C，再應(yīng)用特殊值法判斷D.故選：D.題型01用不等式（組）表示不等關(guān)系【典例1】某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛，y輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組.【分析】根據(jù)題意列式即可.用不等式（組）表示不等關(guān)系時(shí)，要注意提取題中所有不等關(guān)系的信息，再將它們“翻譯”成數(shù)學(xué)語言，即得不等式（組）.【變式】咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為9g，4g，3g，乙種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為4g，5g，5g．已知每天使用原料分別為奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，設(shè)每天配制甲種飲料x杯，乙種飲料y杯，則滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組為．【分析】根據(jù)題意，列出一元一次不等式組，即可得到答案.題型02由己知條件判斷所給不等式是否正確【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)或反例可得選項(xiàng).故選：D【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AC，舉例說明判斷BD.故選：C對于這類題型，一般有以下兩種方法：(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．【答案】D【分析】利用不等式性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.故選：D【變式2】（2025春?大名縣校級期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（）A．若a＞b，則1a＜1b B．若a＞b，則ac2C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解析】對于A，令a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a＞1對于B，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故B錯(cuò)誤，對于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正確，對于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，滿足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式3】（2022?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【解題思路】由1a＜1b＜0得【解答過程】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項(xiàng)B正確，故選：B．【變式4】（2025春?包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則1【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接判斷．【解析】選項(xiàng)A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B，如c＝0，不等式不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C，根據(jù)不等式兩邊同除以﹣3，不等號改變，∴選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C．題型03由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)大小【答案】C【分析】舉反例排除ABD，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可得解.故選：C.利用不等式的性質(zhì)比較兩式的大小時(shí)，往往利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行多次變形，從而得到所比較的兩個(gè)式子的大小.【變式1】（2025?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【答案】B【分析】由1a＜1b＜0得【解析】∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項(xiàng)B正確，故選：B．【答案】答案見解析.【分析】討論的符號，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明.題型04作差法比較大小【典例】（2324高一上·貴州六盤水·期中）比較大?。?1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．【分析】利用作差法比較大小即可.題型05作商法比較大小【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.當(dāng)所比較的兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式含有冪、指數(shù)式或分式時(shí)，?？紤]作商法.【分析】利用作商法，分類討論即可；題型06利用不等式性質(zhì)求值或取值范圍【分析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求解.利用性質(zhì)求范圍問題的基本要求(1)利用不等式性質(zhì)時(shí)，要特別注意性質(zhì)成立的條件，如同向不等式相加，不等號方向不變，兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能相乘等.(2)要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價(jià)性.【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得.【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算即可求解.【分析】利用換元法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案.題型07證明不等式【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【答案】證明見解析【分析】利用濃度不等式進(jìn)行放縮，即可證明.【答案】證明見解析；證明見解析【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)證明；（2）利用基本不等式“1”的妙用證明不等式.題型08等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用A．8 B．10 C．11 D．12【答案】B故選：B.不等式的性質(zhì)常與方程綜合，判斷方程根的個(gè)數(shù)的問題，在解題的過程中，注意結(jié)合不等式的性質(zhì)，求得某個(gè)變量的取值，分類討論求得結(jié)果.【答案】D故選：D【分析】（1）作差法比較大??；所以三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立.題型09不等式性質(zhì)與充分必要性的綜合A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D故選：D對于不等式與充分性、必要性綜合的問題，一般利用不等式的性質(zhì)推證充分性或必要性是否成立，即不等式的性質(zhì)在解題中取到解題工具的作用.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必聚條件【答案】A故選：AA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合舉反例說明.故選：D.題型10不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【典例】（2025春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定【答案】B【分析】比較走完路程所用時(shí)間大小來確定誰先到教室，故應(yīng)把兩人到教室的時(shí)間用所給的量表示出來，作差比較【解析】設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1，v2，顯然v1＜v2，總路程為2s，則甲用時(shí)間為sv1+而s=s(v故sv故選：B．實(shí)際問題中的比較兩個(gè)量的大小問題，往往能轉(zhuǎn)化為不等式中的比較兩個(gè)數(shù)（或式）的大小問題，再作差或作商得到結(jié)果.【變式1】某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（）A．甲先到達(dá)終點(diǎn) B．乙先到達(dá)終點(diǎn) C．甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn) D．無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，用s、a、b表示甲、乙的時(shí)間，用作差法分析可得答案．【解析】根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，對于甲，前半程s的時(shí)間為sa，后半程的時(shí)間為sb，則甲的時(shí)間t1對于乙，前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑，則有a×t22+b變形可得t2=4s則有t1﹣t2=s(a+b)ab-4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]又由a≠b，則t1﹣t2＞0，故乙先到達(dá)終點(diǎn)，故選：B．【變式2】（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個(gè)長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【答案】見解析【分析】當(dāng)x＞y時(shí)，利用不等式的性質(zhì)可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；當(dāng)x＜y時(shí)，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解析】①當(dāng)x＞y時(shí)，則x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此種條件下取A，B能夠穩(wěn)操勝券．②當(dāng)x＜y時(shí)，則y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此種條件下取D，C能夠穩(wěn)操勝券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握．故可能有1種，就是取A，D．【變式3】（2425?懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．【答案】當(dāng)單位去的人數(shù)為5時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠．【分析】根據(jù)兩家的政策，求出坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，作差，即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)該單位有職工n人（n∈N*），全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+3=14x=14x（1當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n＞5時(shí)，y1＜y2；當(dāng)0＜n＜5時(shí)，y1＞y2．因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠．題型11與不等式有關(guān)的新定義題【答案】2故答案為：2.與不等式有關(guān)的新定義題求解的關(guān)鍵是：通過讀題、審題，充分挖掘問題中所隱含的信息，弄懂新定義的含義，再借助新定義及不等式的性質(zhì)去解決問題．【答案】4如圖，函數(shù)y的最低點(diǎn)為，所以y的最小值為4.題型12與不等式有關(guān)的開放探究題【答案】①③推出⑤(答案不唯一還可以①⑤推出③等)【分析】選擇兩個(gè)條件根據(jù)不等式性質(zhì)推出第三個(gè)條件即可，答案不唯一.故答案為：①③推出⑤此題考查根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小，在已知條件中選擇兩個(gè)條件推出第三個(gè)條件，屬于開放性試題，寫出一個(gè)符合要求的答案即可.一、單選題1.為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；②人跑開的速度為每秒4米；③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6≥50 【答案】B【解析】直接由題意可列出不等關(guān)系式即可．由題意可得4×x0.6故選：B．【答案】A【分析】運(yùn)用作差法比較大小即可.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.故選：D【答案】C【分析】舉反例說明ABD是錯(cuò)誤的，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C的真假.故選：C【答案】AA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A7．（212