2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-數(shù)列極限求極限值與證明方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.當(dāng)我們談?wù)摂?shù)列的極限時(shí)，就像是在追蹤一個(gè)不斷奔跑的運(yùn)動(dòng)員，他越跑越快，但始終無法觸及終點(diǎn)線，只能無限接近。那么，數(shù)列{a_n}如果存在極限L，意味著什么？是說a_n像個(gè)調(diào)皮的孩子，總在L附近蹦跶，但最終會(huì)停下來變成L嗎？還是說它像個(gè)勤奮的工匠，每次都離L更近一點(diǎn)點(diǎn)，永不停歇地打磨？選項(xiàng)中，哪個(gè)最能抓住這無限接近的精髓呢？A.a_n在L附近無限次跳動(dòng)B.a_n無限次等于LC.|a_n-L|可以變得任意小D.a_n的每一項(xiàng)都嚴(yán)格大于L2.考慮數(shù)列{b_n}，如果它的通項(xiàng)公式是b_n=(-1)^(n+1)/(n+1)，那這個(gè)數(shù)列是像個(gè)搖擺的小板凳，還是像個(gè)逐漸沉靜下來的老者？它的極限是否存在？如果存在，是0嗎？咱們得仔細(xì)看看，當(dāng)n像個(gè)永不停歇的計(jì)數(shù)器一樣越來越大時(shí)，(-1)^(n+1)是在玩過山車，還是只是在原地踏步？分母n+1是越來越大的巨人，還是越來越小的矮子？選項(xiàng)中，哪個(gè)最準(zhǔn)確地描述了b_n走向平靜湖面的過程？A.b_n的極限不存在，因?yàn)樗傇谡?fù)之間跳躍B.b_n的極限是1，因?yàn)?-1)^(n+1)永遠(yuǎn)在變C.b_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)太固執(zhí)D.b_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅木薮罅α孔罱K壓倒了分子的頑皮3.想象一下數(shù)列{c_n}，它的每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的一半，c_1是某個(gè)確定的數(shù)字，比如10，然后c_2就是5，c_3就是2.5，如此往復(fù)。這個(gè)數(shù)列像不像一個(gè)不斷放風(fēng)箏的人，風(fēng)箏線越放越長(zhǎng)，風(fēng)箏越飛越高，但始終系在放風(fēng)箏的人手里？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像風(fēng)箏一樣飛向無窮遠(yuǎn)，還是最終會(huì)停留在某個(gè)觸手可及的高度？選項(xiàng)中，哪個(gè)最貼切地描繪了c_n這個(gè)不斷縮小的過程，以及它最終停泊的港灣？A.c_n的極限是負(fù)無窮，因?yàn)榭偸窃跍p半B.c_n的極限是正無窮，因?yàn)橛肋h(yuǎn)在增加C.c_n的極限是0，因?yàn)闊o限次減半最終會(huì)消失D.c_n的極限是10，因?yàn)槌跏贾禌Q定了最終歸宿4.我們?cè)賮砹牧臄?shù)列{d_n}，它的通項(xiàng)公式是d_n=n/(n^2+1)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像不像一個(gè)不斷加速卻又被越來越大的阻力所牽制的賽車？當(dāng)n踩下油門，沖向遠(yuǎn)方時(shí)，分母n^2+1是不是也像一道越來越高的障礙墻，讓賽車的速度越來越慢？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像賽車一樣沖破障礙，飛向無限快，還是最終會(huì)減速到一個(gè)穩(wěn)定的速度？選項(xiàng)中，哪個(gè)最生動(dòng)地比喻了d_n這個(gè)在增長(zhǎng)中又逐漸被拉扯的過程，以及它最終趨于平靜的狀態(tài)？A.d_n的極限是無窮大，因?yàn)榉肿颖确帜冈鲩L(zhǎng)得更快B.d_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子C.d_n的極限是1，因?yàn)閚和n^2+1都很大時(shí)，它們差不多D.d_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)讓整個(gè)數(shù)列變得陰郁5.假設(shè)數(shù)列{e_n}是由兩個(gè)子數(shù)列組成的“混血兒”，其中一個(gè)子數(shù)列{a_n}像個(gè)小太陽，總是變得越來越亮，極限是2；另一個(gè)子數(shù)列{b_n}像個(gè)不斷變暗的燈泡，極限是-1。那這個(gè)“混血兒”{e_n}的極限是多少呢？是會(huì)繼承小太陽的熾熱，還是會(huì)沾染燈泡的昏暗？還是說，它像個(gè)站在分水嶺上的人，一半向著光明，一半向著黑暗，最終會(huì)停留在哪里？選項(xiàng)中，哪個(gè)最巧妙地描繪了e_n這個(gè)由兩個(gè)不同方向力量拉扯的復(fù)雜關(guān)系，以及它最終可能達(dá)到的平衡點(diǎn)？A.e_n的極限是2，因?yàn)檎龜?shù)的力量總是更強(qiáng)B.e_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)數(shù)的力量總是更持久C.e_n的極限是1，因?yàn)?和-1的平均值更“和氣”D.e_n的極限不存在，因?yàn)閮蓚€(gè)子數(shù)列的極限不同，導(dǎo)致e_n無法安定下來6.現(xiàn)在咱們來看一個(gè)稍微有點(diǎn)“小聰明”的數(shù)列{f_n}，它的通項(xiàng)公式是f_n=sin(n)/n。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在正弦波形上跳來跳去的舞者，但每次跳躍的距離都在逐漸減??？當(dāng)n越來越大了，舞者是不是越來越輕盈，跳躍越來越小，最終幾乎停留在原地？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像舞者一樣最終靜止，還是像波浪一樣永遠(yuǎn)在動(dòng)？選項(xiàng)中，哪個(gè)最貼切地形容了f_n這個(gè)在波動(dòng)中又逐漸趨于平緩的過程，以及它最終歸于寧靜的狀態(tài)？A.f_n的極限是1，因?yàn)閟in(n)總是在-1和1之間搖擺B.f_n的極限是0，因?yàn)榉帜竛越來越大，把舞者的跳躍壓得越來越小C.f_n的極限是π，因?yàn)檎液瘮?shù)的周期性讓舞者總在某個(gè)特定點(diǎn)停下D.f_n的極限不存在，因?yàn)槲枵哂肋h(yuǎn)在跳動(dòng)，沒有固定的落腳點(diǎn)7.考慮數(shù)列{g_n}，如果它的通項(xiàng)公式是g_n=(n^2+1)/(2n^2-3)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在平方的世界里不斷奔跑的巨人，numeratorn^2+1像是個(gè)鼓鼓囊囊的背包，而denominator2n^2-3像是個(gè)越來越大的巨人，把背包扛在肩上。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)巨人是不是越來越強(qiáng)壯，背包雖然也在變重，但相對(duì)于巨人的力量來說，已經(jīng)微不足道了？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像巨人一樣越來越強(qiáng)壯，還是像背包一樣越來越重，或者像他們的比例一樣，趨于一個(gè)穩(wěn)定的比率？選項(xiàng)中，哪個(gè)最形象地比喻了g_n這個(gè)在平方的增長(zhǎng)中又逐漸被主導(dǎo)的過程，以及它最終趨于穩(wěn)定的狀態(tài)？A.g_n的極限是無窮大，因?yàn)榉肿颖确帜冈鲩L(zhǎng)得更快B.g_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子C.g_n的極限是1/2，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，n^2在分子和分母中都占了主導(dǎo)地位，它們的比值接近1/2D.g_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)讓整個(gè)數(shù)列變得陰郁8.我們?cè)賮砹牧臄?shù)列{h_n}，它的通項(xiàng)公式是h_n=log(n)/n。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在數(shù)軸上不斷奔跑的馬拉松選手，log(n)像是個(gè)緩慢但堅(jiān)定的爬坡，而n像是個(gè)越來越快的沖刺。當(dāng)n越來越大時(shí)，沖刺的速度是不是越來越快，而爬坡的速度雖然也在增加，但相對(duì)于沖刺來說，已經(jīng)越來越慢了？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像沖刺一樣飛向無限快，還是像爬坡一樣越來越慢，或者像他們的比例一樣，趨于一個(gè)穩(wěn)定的速度？選項(xiàng)中，哪個(gè)最生動(dòng)地比喻了h_n這個(gè)在增長(zhǎng)中又逐漸被拉扯的過程，以及它最終趨于平靜的狀態(tài)？A.h_n的極限是無窮大，因?yàn)閚的增長(zhǎng)速度最終會(huì)超過log(n)B.h_n的極限是0，因?yàn)閘og(n)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于nC.h_n的極限是1，因?yàn)閘og(n)和n都很大時(shí)，它們差不多D.h_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)讓整個(gè)數(shù)列變得陰郁9.假設(shè)數(shù)列{i_n}是由數(shù)列{a_n}和{b_n}“合作”產(chǎn)生的，具體來說，i_n=a_n*b_n，其中{a_n}的極限是3，{b_n}的極限是0。那這個(gè)“合作”產(chǎn)生的{i_n}的極限是多少呢？是會(huì)像{a_n}一樣充滿活力，還是像{b_n}一樣趨于平靜？還是說，它們會(huì)像兩個(gè)相互吸引又相互排斥的力量，最終產(chǎn)生一種奇妙的共振，讓{i_n}的極限既不是3也不是0，而是某個(gè)其他的數(shù)字？選項(xiàng)中，哪個(gè)最巧妙地描繪了i_n這個(gè)由兩個(gè)不同方向力量合作產(chǎn)生的復(fù)雜關(guān)系，以及它最終可能達(dá)到的平衡點(diǎn)？A.i_n的極限是3，因?yàn)檎龜?shù)的力量總是更強(qiáng)B.i_n的極限是0，因?yàn)?乘以任何數(shù)都是0C.i_n的極限是0，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)列趨于0，無論另一個(gè)數(shù)列趨于多少，它們的乘積都趨于0D.i_n的極限是9，因?yàn)?乘以3等于910.最后，咱們來看一個(gè)稍微有點(diǎn)“哲學(xué)思辨”意味的數(shù)列{j_n}，它的通項(xiàng)公式是j_n=(-1)^n*(1+1/n)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在正負(fù)之間不斷切換的思考者，每次切換時(shí)，都離某個(gè)目標(biāo)（1+1/n）更近一點(diǎn)點(diǎn)，但始終無法完全到達(dá)，因?yàn)榍袚Q本身帶來了“負(fù)”的影響。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)思考者是不是越來越頻繁地切換，但每次切換的幅度越來越?。ㄒ?yàn)?/n越來越?。磕沁@個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像思考者一樣最終安定下來，還是像切換一樣永遠(yuǎn)在變動(dòng)？選項(xiàng)中，哪個(gè)最貼切地形容了j_n這個(gè)在波動(dòng)中又逐漸趨于平緩的過程，以及它最終歸于寧靜的狀態(tài)？A.j_n的極限是1，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，1/n接近0，(-1)^n的影響微乎其微B.j_n的極限是-1，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，1/n接近0，(-1)^n的影響仍然很大C.j_n的極限不存在，因?yàn)?-1)^n永遠(yuǎn)在切換，導(dǎo)致j_n無法安定下來D.j_n的極限是0，因?yàn)樨?fù)號(hào)的影響最終壓倒了正號(hào)二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.想象一下數(shù)列{k_n}，它的通項(xiàng)公式是k_n=1/(n+sqrt(n))。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)不斷靠近原點(diǎn)的探針，但總是帶著一點(diǎn)“小尾巴”（sqrt(n)）。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)“小尾巴”是不是越來越短，探針越來越接近原點(diǎn)？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像探針一樣最終停留在原點(diǎn)，還是像“小尾巴”一樣永遠(yuǎn)存在？選項(xiàng)中，哪個(gè)最貼切地形容了k_n這個(gè)在接近中又逐漸擺脫束縛的過程，以及它最終歸于寧靜的狀態(tài)？A.k_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子B.k_n的極限是1，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，sqrt(n)在分母中占比越來越小C.k_n的極限是負(fù)無窮，因?yàn)榉帜缚偸钦模肿邮?D.k_n的極限是正無窮，因?yàn)榉帜缚偸钦模肿邮?2.考慮數(shù)列{l_n}，如果它的通項(xiàng)公式是l_n=(2n+3)/(n-1)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在直線坐標(biāo)系上不斷奔跑的賽車，numerator2n+3像是個(gè)不斷變重的背包，而denominatorn-1像是個(gè)越來越大的障礙墻。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)賽車是不是越來越強(qiáng)壯，背包雖然也在變重，但相對(duì)于障礙墻來說，已經(jīng)微不足道了？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像賽車一樣越來越強(qiáng)壯，還是像背包一樣越來越重，或者像他們的比例一樣，趨于一個(gè)穩(wěn)定的比率？選項(xiàng)中，哪個(gè)最形象地比喻了l_n這個(gè)在增長(zhǎng)中又逐漸被主導(dǎo)的過程，以及它最終趨于穩(wěn)定的狀態(tài)？A.l_n的極限是無窮大，因?yàn)榉肿颖确帜冈鲩L(zhǎng)得更快B.l_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子C.l_n的極限是2，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，2n和n在分子和分母中都占了主導(dǎo)地位，它們的比值接近2D.l_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)讓整個(gè)數(shù)列變得陰郁3.我們?cè)賮砹牧臄?shù)列{m_n}，它的通項(xiàng)公式是m_n=cos(n)/n^2。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在余弦波形上跳來跳去的舞者，但每次跳躍的距離都在逐漸減?。慨?dāng)n越來越大了，舞者是不是越來越輕盈，跳躍越來越小，最終幾乎停留在原地？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像舞者一樣最終靜止，還是像波浪一樣永遠(yuǎn)在動(dòng)？選項(xiàng)中，哪個(gè)最貼切地形容了m_n這個(gè)在波動(dòng)中又逐漸趨于平緩的過程，以及它最終歸于寧靜的狀態(tài)？A.m_n的極限是1，因?yàn)閏os(n)總是在-1和1之間搖擺B.m_n的極限是0，因?yàn)榉帜竛^2越來越大，把舞者的跳躍壓得越來越小C.m_n的極限是π，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期性讓舞者總在某個(gè)特定點(diǎn)停下D.m_n的極限不存在，因?yàn)槲枵哂肋h(yuǎn)在跳動(dòng)，沒有固定的落腳點(diǎn)4.假設(shè)數(shù)列{p_n}是由數(shù)列{a_n}和{b_n}“合作”產(chǎn)生的，具體來說，p_n=a_n/(b_n+1)，其中{a_n}的極限是5，{b_n}的極限是-3。那這個(gè)“合作”產(chǎn)生的{p_n}的極限是多少呢？是會(huì)像{a_n}一樣充滿活力，還是像{b_n}一樣趨于平靜？還是說，它們會(huì)像兩個(gè)相互吸引又相互排斥的力量，最終產(chǎn)生一種奇妙的共振，讓{p_n}的極限既不是5也不是某個(gè)與-3相關(guān)的數(shù)字，而是某個(gè)其他的數(shù)字？選項(xiàng)中，哪個(gè)最巧妙地描繪了p_n這個(gè)由兩個(gè)不同方向力量合作產(chǎn)生的復(fù)雜關(guān)系，以及它最終可能達(dá)到的平衡點(diǎn)？A.p_n的極限是5，因?yàn)檎龜?shù)的力量總是更強(qiáng)B.p_n的極限是-5/2，因?yàn)閍_n和b_n的比值趨于5/(-3+1)C.p_n的極限是0，因?yàn)榉帜岗呌?2，而分子趨于5D.p_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)讓整個(gè)數(shù)列變得陰郁5.最后，咱們來看一個(gè)稍微有點(diǎn)“哲學(xué)思辨”意味的數(shù)列{q_n}，它的通項(xiàng)公式是q_n=n^2/(n^2+n)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在平方的世界里不斷奔跑的巨人，numeratorn^2像是個(gè)鼓鼓囊囊的背包，而denominatorn^2+n像是個(gè)越來越大的巨人，把背包扛在肩上。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)巨人是不是越來越強(qiáng)壯，背包雖然也在變重，但相對(duì)于巨人的力量來說，已經(jīng)微不足道了？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像巨人一樣越來越強(qiáng)壯，還是像背包一樣越來越重，或者像他們的比例一樣，趨于一個(gè)穩(wěn)定的比率？選項(xiàng)中，哪個(gè)最形象地比喻了q_n這個(gè)在增長(zhǎng)中又逐漸被主導(dǎo)的過程，以及它最終趨于穩(wěn)定的狀態(tài)？A.q_n的極限是無窮大，因?yàn)榉肿颖确帜冈鲩L(zhǎng)得更快B.q_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子C.q_n的極限是1，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，n^2在分子和分母中都占了主導(dǎo)地位，它們的比值接近1D.q_n的極限是-1，因?yàn)樨?fù)號(hào)讓整個(gè)數(shù)列變得陰郁三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.咱們來看一個(gè)數(shù)列{r_n}，它的通項(xiàng)公式是r_n=n/(n+sqrt(n))。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)不斷靠近原點(diǎn)的探針，但總是帶著一點(diǎn)“小尾巴”（sqrt(n)）。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)“小尾巴”是不是越來越短，探針越來越接近原點(diǎn)？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像探針一樣最終停留在原點(diǎn)，還是像“小尾巴”一樣永遠(yuǎn)存在？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以把分子和分母同時(shí)除以n，得到r_n=1/(1+sqrt(n)/n)。注意到當(dāng)n越來越大時(shí)，sqrt(n)/n就像是一個(gè)不斷縮小的分?jǐn)?shù)，因?yàn)閟qrt(n)的增長(zhǎng)速度雖然比n慢，但仍然在增長(zhǎng)。所以，sqrt(n)/n就像是一個(gè)越來越小的正數(shù)，最終會(huì)趨近于0。因此，r_n=1/(1+sqrt(n)/n)就像是一個(gè)越來越接近1的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉帜钢械膕qrt(n)/n越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，r_n的極限是1。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)r_n=1。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|r_n-1|<ε。咱們來計(jì)算|r_n-1|=|1/(1+sqrt(n)/n)-1|=|1-(1+sqrt(n)/n)|/|1+sqrt(n)/n|=|sqrt(n)/n|/|1+sqrt(n)/n|。因?yàn)閟qrt(n)/n>0，所以|sqrt(n)/n|=sqrt(n)/n。所以，|r_n-1|=sqrt(n)/n/(1+sqrt(n)/n)=1/(n/sqrt(n)+1)=1/(sqrt(n)+1)。咱們要使|r_n-1|<ε，就相當(dāng)于要使1/(sqrt(n)+1)<ε。因?yàn)閟qrt(n)+1>0，所以這個(gè)不等式相當(dāng)于要使sqrt(n)+1>1/ε。因此，咱們需要sqrt(n)>1/ε-1。因?yàn)閟qrt(n)>0，所以咱們需要1/ε-1>0，即1/ε>1，也就是ε<1。所以，對(duì)于任意給定的ε<1，都存在一個(gè)正整數(shù)N=ceil((1/ε-1)^2)，使得當(dāng)n>N時(shí)，|r_n-1|<ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)r_n=1。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是1。2.現(xiàn)在咱們?cè)賮砜匆粋€(gè)數(shù)列{s_n}，它的通項(xiàng)公式是s_n=(2n+3)/(n-1)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在直線坐標(biāo)系上不斷奔跑的賽車，numerator2n+3像是個(gè)不斷變重的背包，而denominatorn-1像是個(gè)越來越大的障礙墻。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)賽車是不是越來越強(qiáng)壯，背包雖然也在變重，但相對(duì)于障礙墻來說，已經(jīng)微不足道了？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像賽車一樣越來越強(qiáng)壯，還是像背包一樣越來越重，或者像他們的比例一樣，趨于一個(gè)穩(wěn)定的比率？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以把分子和分母同時(shí)除以n，得到s_n=(2+3/n)/(1-1/n)。注意到當(dāng)n越來越大時(shí)，3/n和1/n都像是一個(gè)不斷縮小的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉帜竛越來越大，分子都是常數(shù)。所以，3/n和1/n都像是一個(gè)越來越小的正數(shù)，最終會(huì)趨近于0。因此，s_n=(2+3/n)/(1-1/n)就像是一個(gè)越來越接近2/1的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉肿又械?/n越來越小，分母中的1/n越來越小，最終都趨近于0。所以，s_n的極限是2。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)s_n=2。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|s_n-2|<ε。咱們來計(jì)算|s_n-2|=|(2+3/n)/(1-1/n)-2|=|(2+3/n-2(1-1/n))/(1-1/n)|=|(3/n+2/n)/(1-1/n)|=|5/n/(1-1/n)|。因?yàn)?/n>0，所以|5/n|=5/n。所以，|s_n-2|=5/n/(1-1/n)=5/(n(1-1/n))=5/(n-1)。咱們要使|s_n-2|<ε，就相當(dāng)于要使5/(n-1)<ε。因?yàn)閚-1>0，所以這個(gè)不等式相當(dāng)于要使5<ε(n-1)。因此，咱們需要n-1>5/ε。因?yàn)閚-1>0，所以咱們需要5/ε>0，即ε>0。所以，對(duì)于任意給定的ε>0，都存在一個(gè)正整數(shù)N=ceil(5/ε+1)，使得當(dāng)n>N時(shí)，|s_n-2|<ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)s_n=2。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是2。3.咱們?cè)賮砹牧臄?shù)列{t_n}，它的通項(xiàng)公式是t_n=cos(n)/n^2。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在余弦波形上跳來跳去的舞者，但每次跳躍的距離都在逐漸減小？當(dāng)n越來越大了，舞者是不是越來越輕盈，跳躍越來越小，最終幾乎停留在原地？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像舞者一樣最終靜止，還是像波浪一樣永遠(yuǎn)在動(dòng)？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們注意到cos(n)的值總是在-1和1之間波動(dòng)，不管n多大，cos(n)的值永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以，cos(n)/n^2的值總是在-1/n^2和1/n^2之間波動(dòng)。因?yàn)閚^2越來越大，所以1/n^2越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，-1/n^2也越來越小，最終會(huì)趨近于0。因此，無論cos(n)的值是多少，cos(n)/n^2的值都會(huì)越來越接近0。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用夾逼定理。因?yàn)?1≤cos(n)≤1，所以-1/n^2≤cos(n)/n^2≤1/n^2。因?yàn)閘im(n→∞)(-1/n^2)=0，且lim(n→∞)(1/n^2)=0，根據(jù)夾逼定理，lim(n→∞)(cos(n)/n^2)=0。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是0。4.假設(shè)數(shù)列{u_n}是由數(shù)列{a_n}和{b_n}“合作”產(chǎn)生的，具體來說，u_n=a_n*b_n，其中{a_n}的極限是3，{b_n}的極限是0。那這個(gè)“合作”產(chǎn)生的{u_n}的極限是多少呢？是會(huì)像{a_n}一樣充滿活力，還是像{b_n}一樣趨于平靜？還是說，它們會(huì)像兩個(gè)相互吸引又相互排斥的力量，最終產(chǎn)生一種奇妙的共振，讓{u_n}的極限既不是3也不是0，而是某個(gè)其他的數(shù)字？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們知道{a_n}的極限是3，意味著當(dāng)n越來越大時(shí)，a_n的值越來越接近3。同樣，{b_n}的極限是0，意味著當(dāng)n越來越大時(shí)，b_n的值越來越接近0。所以，u_n=a_n*b_n就像是一個(gè)越來越接近3*0=0的數(shù)。因?yàn)閎_n越來越接近0，所以a_n*b_n的值也會(huì)越來越接近0，無論a_n的值是多少。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)u_n=0。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|u_n-0|<ε。因?yàn)閡_n=a_n*b_n，所以|u_n-0|=|a_n*b_n|=|a_n|*|b_n|。因?yàn)閘im(n→∞)a_n=3，所以對(duì)于任意給定的正數(shù)δ，都存在一個(gè)正整數(shù)N_1，使得當(dāng)n>N_1時(shí)，|a_n-3|<δ。咱們可以選擇δ=1，那么就存在一個(gè)正整數(shù)N_1，使得當(dāng)n>N_1時(shí)，2<a_n<4。因?yàn)閘im(n→∞)b_n=0，所以對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N_2，使得當(dāng)n>N_2時(shí)，|b_n|<ε/4。所以，當(dāng)n>max(N_1,N_2)時(shí)，|a_n|*|b_n|<4*(ε/4)=ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)u_n=0。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是0。5.最后，咱們來看一個(gè)稍微有點(diǎn)“哲學(xué)思辨”意味的數(shù)列{v_n}，它的通項(xiàng)公式是v_n=(-1)^n*(1+1/n)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)什么？像個(gè)在正負(fù)之間不斷切換的思考者，每次切換時(shí)，都離某個(gè)目標(biāo)（1+1/n）更近一點(diǎn)點(diǎn)，但始終無法完全到達(dá)，因?yàn)榍袚Q本身帶來了“負(fù)”的影響。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)思考者是不是越來越頻繁地切換，但每次切換的幅度越來越小（因?yàn)?/n越來越?。?？那這個(gè)數(shù)列的極限是多少呢？是像思考者一樣最終安定下來，還是像切換一樣永遠(yuǎn)在變動(dòng)？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以把v_n分成兩部分來看，一部分是(-1)^n，另一部分是(1+1/n)。注意到(-1)^n的值總是在-1和1之間波動(dòng)，不管n多大，(-1)^n的值永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以，(-1)^n*(1+1/n)的值總是在-1-1/n和1+1/n之間波動(dòng)。因?yàn)閚^2越來越大，所以1/n越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，-1/n也越來越小，最終會(huì)趨近于0。因此，無論(-1)^n的值是多少，(-1)^n*(1+1/n)的值都會(huì)越來越接近0。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用夾逼定理。因?yàn)?1-1/n≤(-1)^n*(1+1/n)≤1+1/n。因?yàn)閘im(n→∞)(-1-1/n)=-1，且lim(n→∞)(1+1/n)=1，根據(jù)夾逼定理，lim(n→∞)((-1)^n*(1+1/n))=0。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是0。四、證明題（本大題共2小題，共30分。請(qǐng)將證明過程寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.咱們要證明一個(gè)數(shù)列{w_n}的極限是L。這個(gè)數(shù)列{w_n}的通項(xiàng)公式是w_n=(n^2+n)/(2n^2-3)。咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以把分子和分母同時(shí)除以n^2，得到w_n=(1+1/n)/(2-3/n^2)。注意到當(dāng)n越來越大時(shí)，1/n和3/n^2都像是一個(gè)不斷縮小的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉帜竛^2越來越大，分子都是常數(shù)。所以，1/n和3/n^2都像是一個(gè)越來越小的正數(shù)，最終會(huì)趨近于0。因此，w_n=(1+1/n)/(2-3/n^2)就像是一個(gè)越來越接近1/2的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉肿又械?/n越來越小，分母中的3/n^2越來越小，最終都趨近于0。所以，w_n的極限是1/2。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)w_n=1/2。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|w_n-1/2|<ε。咱們來計(jì)算|w_n-1/2|=|(1+1/n)/(2-3/n^2)-1/2|=|(2(1+1/n)-(2-3/n^2))/(2(2-3/n^2))|=|(2+2/n-2+3/n^2)/(4-6/n^2)|=|(2/n+3/n^2)/(4-6/n^2)|。因?yàn)?/n+3/n^2>0，所以|2/n+3/n^2|=2/n+3/n^2。所以，|w_n-1/2|=(2/n+3/n^2)/(4-6/n^2)。咱們要使|w_n-1/2|<ε，就相當(dāng)于要使(2/n+3/n^2)/(4-6/n^2)<ε。因?yàn)?-6/n^2>0，所以這個(gè)不等式相當(dāng)于要使2/n+3/n^2<ε(4-6/n^2)。因此，咱們需要2/n+3/n^2<4ε-6ε/n^2。因?yàn)閚^2越來越大，所以6ε/n^2越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，咱們需要2/n+3/n^2<4ε。因此，咱們需要n>2/(4ε)。因?yàn)閚需要是正整數(shù)，所以咱們需要N=ceil(2/(4ε))。所以，對(duì)于任意給定的ε>0，都存在一個(gè)正整數(shù)N=ceil(2/(4ε))，使得當(dāng)n>N時(shí)，|w_n-1/2|<ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)w_n=1/2。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是1/2。2.咱們要證明一個(gè)數(shù)列{x_n}的極限是L。這個(gè)數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式是x_n=n*sin(1/n)。咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)，知道sin(1/n)的值總是在-1和1之間波動(dòng)，不管n多大，sin(1/n)的值永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以，n*sin(1/n)的值總是在-n和n之間波動(dòng)。但是，咱們注意到當(dāng)n越來越大時(shí)，1/n越來越小，所以sin(1/n)越來越接近0。因此，n*sin(1/n)的值也會(huì)越來越接近0，因?yàn)閚雖然在變大，但sin(1/n)的變小速度更快。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用夾逼定理。因?yàn)?1≤sin(1/n)≤1，所以-n≤n*sin(1/n)≤n。因?yàn)閘im(n→∞)(-n)=0，且lim(n→∞)(n)=0，根據(jù)夾逼定理，lim(n→∞)(n*sin(1/n))=0。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是0。本次試卷答案如下一、選擇題1.C.|a_n-L|可以變得任意小解析思路：數(shù)列{a_n}的極限L是指當(dāng)n無限增大時(shí)，a_n無限接近L。這意味著a_n與L之間的距離|a_n-L|可以變得任意小，即對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|a_n-L|<ε。選項(xiàng)A描述的是a_n在L附近無限次跳動(dòng)，這并不符合極限的定義，因?yàn)闃O限要求a_n無限接近L而不是在L附近跳動(dòng)。選項(xiàng)B描述的是a_n無限次等于L，這只有在a_n是一個(gè)常數(shù)列時(shí)才成立，而題目中并沒有給出這樣的信息。選項(xiàng)D描述的是a_n的每一項(xiàng)都嚴(yán)格大于L，這顯然與極限的定義相悖，因?yàn)闃O限允許a_n無限接近L，但并不要求a_n總是大于L。2.D.b_n的極限是0，因?yàn)榉帜竛+1像是個(gè)越來越大的巨人，把背包(分子)扛在肩上解析思路：數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=(-1)^(n+1)/(n+1)。這里的關(guān)鍵在于分母(n+1)隨著n的增大而無限增大，而分子(-1)^(n+1)在-1和1之間交替變化，但其絕對(duì)值始終為1。因此，分母的無限增大使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然分子在正負(fù)之間交替，但分母的增大速度更快，導(dǎo)致整個(gè)分?jǐn)?shù)的極限為0。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)榉肿拥慕^對(duì)值始終為1，而分母無限增大，所以極限為0。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)榉肿拥恼?fù)交替并不影響極限的存在性，極限仍然是0。3.C.c_n的極限是0，因?yàn)闊o限次減半最終會(huì)消失解析思路：數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式是c_n=1/(n+sqrt(n))。這里的關(guān)鍵在于分母(n+sqrt(n))隨著n的增大而無限增大，而分子始終為1。因此，分母的無限增大使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然分母在增大，但分子的存在使得分?jǐn)?shù)的值不為0。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)榉帜傅脑龃笏俣雀?，?dǎo)致整個(gè)分?jǐn)?shù)的極限為0。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)槌跏贾挡⒉粵Q定極限，極限取決于數(shù)列項(xiàng)隨著n的增大而變化的趨勢(shì)。4.B.d_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子解析思路：數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式是d_n=n/(n^2+1)。這里的關(guān)鍵在于分母(n^2+1)隨著n的增大而以二次方的速度增長(zhǎng)，而分子n是一次方的速度增長(zhǎng)。因此，分母的增長(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子，使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然分子在增大，但分母的增大速度更快，導(dǎo)致整個(gè)分?jǐn)?shù)的極限為0。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，n^2在分子和分母中都占了主導(dǎo)地位，但分母的增長(zhǎng)速度更快，所以比值接近0。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)榉帜甘冀K為正，所以整個(gè)數(shù)列的值始終為正，不可能趨于-1。5.D.e_n的極限不存在，因?yàn)閮蓚€(gè)子數(shù)列的極限不同，導(dǎo)致e_n無法安定下來解析思路：數(shù)列{e_n}是由兩個(gè)子數(shù)列{a_n}和{b_n}組成的“混血兒”，其中{a_n}的極限是2，{b_n}的極限是-1。這里的關(guān)鍵在于兩個(gè)子數(shù)列的極限不同，這意味著e_n的值會(huì)隨著n的增大而在2和-1之間波動(dòng)，無法穩(wěn)定在一個(gè)確定的值。因此，e_n的極限不存在。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)檎龜?shù)的力量并不總是更強(qiáng)，兩個(gè)子數(shù)列的極限不同會(huì)導(dǎo)致e_n無法安定下來。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)樨?fù)數(shù)的力量也并不總是更持久，兩個(gè)子數(shù)列的極限不同會(huì)導(dǎo)致e_n無法安定下來。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)子數(shù)列的極限不同，所以e_n的極限不可能是一個(gè)具體的數(shù)值。6.B.f_n的極限是0，因?yàn)榉帜竛^2越來越大，把舞者的跳躍壓得越來越小解析思路：數(shù)列{f_n}的通項(xiàng)公式是f_n=sin(n)/n^2。這里的關(guān)鍵在于分母n^2隨著n的增大而以二次方的速度增長(zhǎng)，而分子sin(n)的絕對(duì)值始終小于或等于1。因此，分母的無限增大使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然分子在-1和1之間搖擺，但分母的增大速度更快，導(dǎo)致整個(gè)分?jǐn)?shù)的極限為0。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期性并不影響極限的存在性，極限仍然是0。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)槲枵哂肋h(yuǎn)在跳動(dòng)并不代表極限不存在，極限取決于數(shù)列項(xiàng)隨著n的增大而變化的趨勢(shì)。7.B.g_n的極限是0，因?yàn)榉帜傅脑鲩L(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子解析思路：數(shù)列{g_n}的通項(xiàng)公式是g_n=(n^2+1)/(2n^2-3)。這里的關(guān)鍵在于分母(2n^2-3)隨著n的增大而以二次方的速度增長(zhǎng)，而分子(n^2+1)也是以二次方的速度增長(zhǎng)。雖然分子和分母都以二次方的速度增長(zhǎng)，但分母的增長(zhǎng)速度更快，因?yàn)榉帜傅南禂?shù)更大。因此，分母的增長(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子，使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然分子在增大，但分母的增大速度更快，導(dǎo)致整個(gè)分?jǐn)?shù)的極限為0。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)n非常大時(shí)，n^2在分子和分母中都占了主導(dǎo)地位，但分母的增長(zhǎng)速度更快，所以比值接近0。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)榉帜甘冀K為正，所以整個(gè)數(shù)列的值始終為正，不可能趨于-1。8.B.h_n的極限是0，因?yàn)閘og(n)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于n解析思路：數(shù)列{h_n}的通項(xiàng)公式是h_n=log(n)/n。這里的關(guān)鍵在于分子log(n)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于分母n的增長(zhǎng)速度。因此，分母的無限增大使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然分子在增長(zhǎng)，但分母的增大速度更快，導(dǎo)致整個(gè)分?jǐn)?shù)的極限為0。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)閘og(n)和n都很大時(shí)，它們的比值接近0，而不是1。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)樨?fù)號(hào)的影響并不改變極限的存在性，極限仍然是0。9.C.p_n的極限是0，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)列趨于0，無論另一個(gè)數(shù)列趨于多少，它們的乘積都趨于0解析思路：數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式是p_n=a_n/(b_n+1)，其中{a_n}的極限是5，{b_n}的極限是-3。這里的關(guān)鍵在于{b_n}的極限是-3，這意味著當(dāng)n足夠大時(shí)，b_n的值會(huì)無限接近-3。因此，b_n+1的值會(huì)無限接近-3+1=-2。所以，p_n=a_n/(b_n+1)就像是一個(gè)越來越接近5/(-2)=-5/2的數(shù)。但是，由于{b_n}的極限是-3，而不是0，所以p_n的極限是-5/2，而不是0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)檎龜?shù)的力量并不總是更強(qiáng)，{b_n}的極限是-3會(huì)導(dǎo)致p_n的極限是負(fù)數(shù)。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)閍_n和b_n的比值并不趨于5/(-3+1)=-5/2，因?yàn)閎_n的極限是-3，而不是-2。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)樨?fù)號(hào)的影響并不改變極限的存在性，極限仍然是-5/2。10.B.j_n的極限是0，因?yàn)?-1)^(n+1)是在玩過山車，但每次切換的幅度越來越小解析思路：數(shù)列{j_n}的通項(xiàng)公式是j_n=(-1)^(n+1)*(1+1/n)。這里的關(guān)鍵在于(-1)^(n+1)在-1和1之間交替變化，但其絕對(duì)值始終為1/n，隨著n的增大而無限趨近于0。因此，無論(-1)^(n+1)的值是多少，j_n的值都會(huì)越來越接近0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，因?yàn)殡m然(-1)^(n+1)在1和-1之間搖擺，但1+1/n的值始終在1和2之間，所以j_n的極限不是1。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)樨?fù)號(hào)的影響并不改變極限的存在性，極限仍然是0。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，因?yàn)槲枵哂肋h(yuǎn)在跳動(dòng)并不代表極限不存在，極限取決于數(shù)列項(xiàng)隨著n的增大而變化的趨勢(shì)。二、填空題1.答案：1解析思路：數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式是k_n=1/(n+sqrt(n))。這里的關(guān)鍵在于分母(n+sqrt(n))隨著n的增大而無限增大，而分子始終為1。因此，分母的無限增大使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。但是，題目要求我們填寫k_n的極限，而k_n的極限實(shí)際上是1，因?yàn)楫?dāng)n足夠大時(shí)，sqrt(n)在分母中占比越來越小，所以k_n越來越接近1。所以，k_n的極限是1。2.答案：2解析思路：數(shù)列{s_n}的通項(xiàng)公式是s_n=(2n+3)/(n-1)。這里的關(guān)鍵在于分母(n-1)隨著n的增大而無限增大，而分子(2n+3)也隨著n的增大而無限增大。但是，分子的增長(zhǎng)速度是2n，而分母的增長(zhǎng)速度是n，所以分母的增長(zhǎng)速度最終會(huì)超過分子，使得整個(gè)分?jǐn)?shù)的值無限趨近于0。但是，題目要求我們填寫s_n的極限，而s_n的極限實(shí)際上是2，因?yàn)楫?dāng)n足夠大時(shí)，2n在分子中占比越來越大，所以s_n越來越接近2。所以，s_n的極限是2。3.答案：0解析思路：數(shù)列{t_n}的通項(xiàng)公式是t_n=cos(n)/n^2。這里的關(guān)鍵在于分子cos(n)的值總是在-1和1之間波動(dòng)，不管n多大，cos(n)的值永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以，t_n的值總是在-1/n^2和1/n^2之間波動(dòng)。因?yàn)閚^2越來越大，所以1/n^2越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，-1/n^2也越來越小，最終會(huì)趨近于0。因此，無論cos(n)的值是多少，t_n的值都會(huì)越來越接近0。所以，t_n的極限是0。4.答案：0解析思路：數(shù)列{u_n}的通項(xiàng)公式是u_n=a_n*b_n，其中{a_n}的極限是3，{b_n}的極限是0。這里的關(guān)鍵在于{b_n}的極限是0，這意味著當(dāng)n足夠大時(shí)，b_n的值會(huì)無限接近0。因此，a_n*b_n就像是一個(gè)越來越接近3*0=0的數(shù)。因?yàn)閎_n越來越接近0，所以a_n*b_n的值也會(huì)越來越接近0，無論a_n的值是多少。所以，u_n的極限是0。5.答案：0解析思路：數(shù)列{v_n}的通項(xiàng)公式是v_n=(-1)^n*(1+1/n)。這里的關(guān)鍵在于(-1)^n的值總是在-1和1之間波動(dòng)，不管n多大，(-1)^n的值永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以，v_n的值總是在-1-1/n和1+1/n之間波動(dòng)。因?yàn)閚^2越來越大，所以1/n越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，-1/n也越來越小，最終會(huì)趨近于0。因此，無論(-1)^n的值是多少，v_n的值都會(huì)越來越接近0。所以，v_n的極限是0。三、解答題1.解析思路：數(shù)列{r_n}的通項(xiàng)公式是r_n=n/(n+sqrt(n))。這個(gè)數(shù)列像個(gè)不斷靠近原點(diǎn)的探針，但總是帶著一點(diǎn)“小尾巴”（sqrt(n)）。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)“小尾巴”是不是越來越短，探針越來越接近原點(diǎn)？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以把分子和分母同時(shí)除以n，得到r_n=1/(1+sqrt(n)/n)。注意到當(dāng)n越來越大時(shí)，sqrt(n)/n就像是一個(gè)不斷縮小的分?jǐn)?shù)，因?yàn)閟qrt(n)的增長(zhǎng)速度雖然比n慢，但仍然在增長(zhǎng)。所以，sqrt(n)/n就像是一個(gè)越來越小的正數(shù)，最終會(huì)趨近于0。因此，r_n=1/(1+sqrt(n)/n)就像是一個(gè)越來越接近1的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉帜钢械膕qrt(n)/n越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，r_n的極限是1。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)r_n=50。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|r_n-51|<ε。咱們來計(jì)算|r_n-50|=|1/(1+sqrt(n)/n)-50|=|1-50*(1+sqrt(n)/n)|/|1+sqrt(n)/n|=|1-50-50*sqrt(n)/n|/|1+sqrt(n)/n|。因?yàn)閟qrt(n)/n>50，所以|50*sqrt(n)/n|=50*sqrt(n)/n。所以，|r_n-50|=50*sqrt(n)/n/(1+sqrt(n)/n)=50/(n/sqrt(n)+1)=50/(sqrt(n)+1)。咱們要使|r_n-50|<ε，就相當(dāng)于要使50/(sqrt(n)+51)<ε。因?yàn)閟qrt(n)+51>0，所以這個(gè)不等式相當(dāng)于要使50<ε*(sqrt(n)+51)。因此，咱們需要sqrt(n)+51>50/ε。因?yàn)閟qrt(n)+51>0，所以咱們需要50/ε>50/51，即ε<51/50。所以，對(duì)于任意給定的ε<51/50，都存在一個(gè)正整數(shù)N=ceil(50/ε-50)，使得當(dāng)n>N時(shí)，|r_n-50|<ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)r_n=50。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是50。2.解析思路：數(shù)列{s_n}的通項(xiàng)公式是s_n=(2n+51)/(n-51)。這個(gè)數(shù)列像個(gè)在直線坐標(biāo)系上不斷奔跑的賽車，numerator2n+51像是個(gè)不斷變重的背包，而denominatorn-51像是個(gè)越來越大的障礙墻。當(dāng)n越來越大時(shí)，這個(gè)賽車是不是越來越強(qiáng)壯，背包雖然也在變重，但相對(duì)于障礙墻來說，已經(jīng)微不足道了？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們可以把分子和分母同時(shí)除以n，得到s_n=(2+51/n)/(1-51/n)。注意到當(dāng)n越來越大時(shí)，51/n就像是一個(gè)不斷縮小的分?jǐn)?shù)，因?yàn)?1是一個(gè)常數(shù)，而n越來越大。所以，51/n就像是一個(gè)越來越小的正數(shù)，最終會(huì)趨近于0。因此，s_n=(2+51/n)/(1-51/n)就像是一個(gè)越來越接近2/1的分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉肿又械?1/n越來越小，分母中的51/n越來越小，最終都趨近于0。所以，s_n的極限是2。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)s_n=2。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|s_n-2|<ε。咱們來計(jì)算|s_n-2|=|(2+51/n)/(1-51/n)-51|=|(2+51/n-51*(1-51/n))/(1-51/n)|=|(2+51/n-51+51*51/n|/(1-51/n)|。因?yàn)?1/n>0，所以|51*51/n|=51*51/n。所以，|s_n-51|=51*51/n/(1-51/n)=51/(n/sqrt(n)-51/n)=51/(sqrt(n)-51)。咱們要使|s_n-51|<ε，就相當(dāng)于要使51/(sqrt(n)-51)<ε。因?yàn)閟qrt(n)-51>0，所以這個(gè)不等式相當(dāng)于要使51<ε*(sqrt(n)-51)。因此，咱們需要sqrt(n)-51>51/ε。因?yàn)閟qrt(n)-51>0，所以咱們需要sqrt(n)>51/ε+51。因?yàn)閚需要是正整數(shù)，所以咱們需要N=ceil((51/ε+51)^2)。所以，對(duì)于任意給定的ε>51/51，都存在一個(gè)正整數(shù)N=ceil((51/ε+51)^2)，使得當(dāng)n>N時(shí)，|s_n-51|<ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)s_n=51。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是51。3.解析思路：數(shù)列{t_n}的通項(xiàng)公式是t_n=cos(n)/n^2。這個(gè)數(shù)列像個(gè)在余弦波形上跳來跳去的舞者，但每次跳躍的距離都在逐漸減小？當(dāng)n越來越大了，舞者是不是越來越輕盈，跳躍越來越小，最終幾乎停留在原地？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們注意到cos(n)的值總是在-1和1之間波動(dòng)，不管n多大，cos(n)的值永遠(yuǎn)不會(huì)超出這個(gè)范圍。所以，t_n的值總是在-1/n^2和1/n^2之間波動(dòng)。因?yàn)閚^2越來越大，所以1/n^2越來越小，最終會(huì)趨近于0。所以，-1/n^2也越來越小，最終會(huì)趨近于0。因此，無論cos(n)的值是多少，t_n的值都會(huì)越來越接近0。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用夾逼定理。因?yàn)?1≤cos(n)≤51，所以-1/n^2≤t_n≤51/n^2。因?yàn)閘im(n→∞)(-1/n^2)=0，且lim(n→∞)(51/n^2)=0，根據(jù)夾逼定理，lim(n→∞)(cos(n)/n^2)=0。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是0。4.解析思路：數(shù)列{u_n}是由數(shù)列{a_n}和{b_n}“合作”產(chǎn)生的，具體來說，u_n=a_n*b_n，其中{a_n}的極限是51，{b_n}的極限是-1。那這個(gè)“合作”產(chǎn)生的{u_n}的極限是多少呢？是會(huì)像{a_n}一樣充滿活力，還是像{b_n}一樣趨于平靜？還是說，它們會(huì)像兩個(gè)相互吸引又相互排斥的力量，最終產(chǎn)生一種奇妙的共振，讓{u_n}的極限既不是51也不是-1，而是某個(gè)其他的數(shù)字？咱們得一步一步地推導(dǎo)，看看這個(gè)極限到底是什么。首先，咱們知道{a_n}的極限是51，這意味著當(dāng)n越來越大時(shí)，a_n的值越來越接近51。同樣，{b_n}的極限是-1，意味著當(dāng)n越來越大時(shí)，b_n的值越來越接近-1。所以，u_n=a_n*b_n就像是一個(gè)越來越接近51*(-1)=-51的數(shù)。因?yàn)閎_n越來越接近-1，所以a_n*b_n的值也會(huì)越來越接近-51，無論a_n的值是多少。所以，u_n的極限是-51。咱們可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明這一點(diǎn)，使用極限的定義。咱們要證明lim(n→∞)u_n=-51。根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|u_n-(-51)|<ε。因?yàn)閡_n=a_n*b_n，所以|u_n-(-51)|=|a_n*b_n-(-51)|=|a_n*b_n+51|。因?yàn)閘im(n→∞)a_n=51，所以|a_n*b_n|=51*|b_n|。因?yàn)閘im(n→∞)b_n=-1，所以|b_n|=1。所以，|u_n-(-51)|=51*1=51。咱們要使51<ε。因?yàn)棣?gt;51/51，所以對(duì)于任意給定的ε>51/51，都存在一個(gè)正整數(shù)N=ceil(51/ε)，使得當(dāng)n>N時(shí)，|u_n-(-51)|<ε。因此，根據(jù)極限的定義，lim(n→∞)u_n=-51。所以，這個(gè)數(shù)列的極限是-51。5.解析思路：數(shù)列{v_n}的通項(xiàng)公式是v_n=(-1)^n*(1+1/n)。這個(gè)數(shù)列