第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年寧夏銀川二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球且不放回，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為(

)A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7

C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，52.某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書.從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有(

)A.13種 B.42種 C.67種 D.73.某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ描述一次試驗成功的次數(shù)，則P(ξ=0)等于(

)A.0 B.12 C.13 4.某校要從校廣播站3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出兩人，分別做校史館的參觀路線導(dǎo)引員和校史講解員，則至少有1名女同學(xué)被選中的不同安排方法有(

)A.14種 B.16種 C.18種 D.20種5.某個班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團員，女生中有12名團員．在該班中隨機選取一名學(xué)生，如果選到的是團員，那么選到的是男生的概率為(

)A.411 B.58 C.43556.如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有(

)

A.72種 B.96種 C.108種 D.120種7.已知集合A={0,1,2,3,4}，且a，b，c∈A，用a，b，c組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為(

)A.14 B.17 C.20 D.238.22024+1除以15A.9 B.8 C.3 D.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知離散型隨機變量X的分布列為X1246P0.2mn0.1則下列選項正確的是(

)A.m+n=0.7 B.若m=0.3，則P(X>3)=0.5

C.若m=0.9，則n=?0.2 D.P(X=1)=2P(X=6)10.已知(2x?1)7=aA.a0=1 B.a1+a211.從{1,2,3}中隨機取一個數(shù)記為a，從{4,5,6}中隨機取一個數(shù)記為b，則下列說法正確的是(

)A.事件“a+b為偶數(shù)”的概率為49

B.事件“ab為偶數(shù)”的概率為12

C.設(shè)X=a+b，則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=6

D.設(shè)Y=ab，則在Y三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在20件產(chǎn)品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法有______種.(用數(shù)字作答)13.設(shè)隨機變量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3)，則14.已知y=exf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)+f′(x)>0，則滿足ex?2?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

(1)計算：A74+4A73?A84；

(2)計算：16.(本小題15分)

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)分別為7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.3，0.3，b，b．

(1)求ξ，η的分布列；

(2)請根據(jù)射擊環(huán)數(shù)的期望及方差來分析甲、乙的射擊技術(shù)．17.(本小題15分)

已知(2x2?1x)n的二項展開式只有第7項的二項式系數(shù)最大，請完成以下問題：

(1)求展開式中二項式系數(shù)之和；18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax,a∈R．

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值是3219.(本小題17分)

夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是23，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為13，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為12，如此往復(fù).(提示：設(shè)An表示第n天選擇綠豆湯)

(1)求該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率；

(2)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；

(3)記該同學(xué)第n天選擇綠豆湯的概率為P答案解析1.【答案】B

【解析】解：由于取到白球時停止，最優(yōu)的情況X取1，最差的情況X取完所有紅球，即可取到白球，X取7，

故所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為1，2，3，…，7．

故選：B．

由于取到白球時停止，最優(yōu)的情況X取1，最差的情況X取完所有紅球，即可取到白球，X取7，即可求解．

本題主要考查隨機事件變量的求解，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】解：從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有7×6=42種．

故選：B．3.【答案】C

【解析】解：由題意知，“ξ=0”表示試驗失敗，“ξ=1”表示試驗成功．

則P(ξ=1)=2P(ξ=0)

又P(ξ=1)+P(ξ=0)=1，

∴P(ξ=0)=13．

故選C

本題考查的知識點是等可能事件的概率，由該項試驗的結(jié)果只有成功和失敗兩種可能，故實驗成功和實驗失敗為對立事件，即P(ξ=1)+P(ξ=0)=1，又由試驗的成功率是失敗率的2倍，故P(ξ=1)=2P(ξ=0)，解方程組即可得到P(ξ=0)的值．

如果A∩B為不可能事件(A∩B=?)，那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．互斥事件的概念公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，若同時A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B對立，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且只有一件發(fā)生．對事件的概率公式：4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，從5人中選出2人分別做校史館的參觀路線導(dǎo)引員和校史講解員，共有A52=20種選法，

其中都是男生的選法有A32=6種，

故至少有1名女同學(xué)被選中的不同安排方法有20?6=14種，

故選：A．5.【答案】B

【解析】解：設(shè)事件A為選到的是團員，事件B為選到的是男生，

根據(jù)題意可得，P(A)=20+1255=3255，P(AB)=2055=411，

故6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用分步計數(shù)原理，先涂區(qū)域1，再涂區(qū)域2，再涂區(qū)域4，再涂區(qū)域3，最后涂區(qū)域5，涂后面的兩個區(qū)域時注意分類．【解答】

解：由題意知，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；

第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；

第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)；

第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法．

所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×(1×1+1×3)=96種．

故選B．7.【答案】C

【解析】解：∵集合A={0,1,2,3,4}，且a，b，c∈A，

則這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”包含以下三種情況：

①十位數(shù)是4，則百位數(shù)可以是1，2，3中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是0，1，2，3中的一個數(shù)，即3×4=12個；

②十位數(shù)是3，則百位數(shù)可以是1，2中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是0，1，2中的一個數(shù)，即2×3=6個；

③十位數(shù)是2，則百位數(shù)只能是1，個位數(shù)可以是0，1中的一個數(shù)，即2個；

綜上，符合條件的共有12+6+2=20個．

故選：C．

分類求解符合條件的三位數(shù)的個數(shù)即可．

本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．8.【答案】D

【解析】解：由題意得22024+1=16506+1=(15+1)506+1，

根據(jù)(15+1)506=a506?15506+a505?15505+?+a19.【答案】ABD

【解析】解：對于A中，由分布列的性質(zhì)，可得0.2+m+n+0.1=1，解得m+n=0.7，所以A正確；

對于B中，若m=0.3，可得n=0.4，則P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5，故B正確；

對于C中，由概率的定義知m≥0，n≥0，所以C不正確；

對于D中，由P(X=1)=0.2，P(X=6)=0.1，則P(X=1)=2P(X=6)，所以D正確．

故選：ABD．

根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的定義與互斥事件概率的加法公式，逐項判定，即可求解．

本題主要考查了離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABD

【解析】解：(2x?1)7=a0+a1(x?1)+a2(x?1)2+…+a6(x?1)6+a7(x?1)7，

令x=1時，解得a0=1，故A正確；

令x=2，解得a0+a1+a2+…+a6+a7=37，

故a0+a1+a11.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，從{1,2,3}中隨機取一個數(shù)記為a，在{4,5,6}中隨機取一個數(shù)記為b，共有3×3=9種可能，

依次分析選項：

對于A，若a+b為偶數(shù)，包含a=1，b=5；a=3，b=5；a=2，b=4；a=2，b=6；共4種情況，

則事件“a+b為偶數(shù)”的概率P=49，故A正確；

對于B，若ab為偶數(shù)，則a和b中至少有1個為偶數(shù)，有9?2×1=7種情況，

則事件“ab為偶數(shù)”的概率為79，故B錯誤；

對于C，X=a+b的取值可能為5，6，7，8，9，

則P(X=5)=19，P(X=6)=29，P(X=7)=39，P(X=8)=29，P(X=9)=19，

所以E(X)=5×19+6×29+7×39+8×29+9×19=7，故C錯誤；

對于D，Y=ab的取值可能為4，5，6，8，10，12，15，18，P(Y=4)=19，P(Y=5)=19，P(Y=6)=19，

P(Y=8)=19，P(Y=10)=19，12.【答案】2176

【解析】解：在20件產(chǎn)品中有3件次品，任取5件，

則“至少有2件次品”分有2件次品和3件次品兩種情況，

有2件次品的取法為C32?C173，

有3件次品的取法為C33?C172，

則至少有2件次品的取法共有C32?13.【答案】37【解析】解：∵隨機變量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3)，

∴k2+k4+k8=1，解得k=87，

∴P(X≥2)=8714.【答案】(?∞,4【解析】解：設(shè)g(x)=exf(x)，則g′(x)=ex(f(x)+f′(x))．

當(dāng)x>0時，f(x)+f′(x)>0，得g′(x)=ex(f(x)+f′(x))>0，故g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增．

又ex?2f(2x?3)>f(x?1)，所以e2x?3f(2x?3)>ex?1f(x?1)，即g(2x?3)>g(x?1)．

因為g(x)為R上的偶函數(shù)，所以g(|2x?3|)>g(|x?1|)，

即|2x?3|>|x?1|，整理得(2x?3)2>(x?115.【答案】0；

252；

n=6．

【解析】(1)A74+4A73?A84=4A73+4A73?A84=8A73?A84=A84?A84=0；

(2)C44+C516.【答案】解：(1)因為0.2+2a+a+0.2=1，

解得a=0.2；

因為0.3+0.3+2b=1，

解得b=0.2，

則ξ的分布列為：ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列為：η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得E(ξ)=10×0.4+9×0.2+8×0.2+7×0.2=8.8，

D(ξ)=(10?8.8)2×0.4+(9?8.8)2×0.2+(8?8.8)2×0.2+(7?8.8)2×0.2=1.36；

E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，【解析】(1)根據(jù)概率和為1求a，b，進而可得分布列；

(2)根據(jù)分布列分別為期望和方差，對比分析即可．

本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】4096；

存在，7920；

?7919．

【解析】(1)由題意知(2x2?1x)n的二項展開式只有第7項的二項式系數(shù)最大，

故(2x2?1x)n的展開式一共有13項，

得n=12；

所以(2x2?1x)12得展開式中二項式系數(shù)之和為212=4096；

(2)由(2x2?1x)12得展開式的通項為Tk+1=(?1)kC12k(2x2)12?k?(1x)k

=(?118.【答案】極小值為1+ln2，無極大值；

答案見解析；

a=e【解析】解：(1)根據(jù)題目：已知函數(shù)f(x)=lnx+ax,a∈R，

當(dāng)a=2時，f(x)=lnx+2x，

f′(x)=1x?2x2=x?2x2，令f′(x)=0，則x=1，

當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時，f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)a=2時，則f(x)的極小值為f(2)=1+ln2，無極大值．

(2)f′(x)=1x?ax2=x?ax2，x>0，

若a≤0，則f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時，令f′(x)>0，解得x>a，