第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省瀘州市江陽區(qū)高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=ex，則函數f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程為(

)A.x?y+1=0 B.x?y?1=0 C.y?1=0 D.x?1=02.已知(1?x)5=a0A.16 B.332 C.?16 D.3.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且anA.2 B.32 C.1 D.14.已知函數y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y=f′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是(

)A.B.

C.D.5.已知函數f(x)=x(x?c)2在x=2處有極小值，則實數c的值為(

)A.2 B.2或6 C.6 D.4或66.現將《論語》、《孟子》、《大學》、《中庸》、《詩經》5本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人組，每人至少分得1本，則不同的分發(fā)方式種數是(

)A.50 B.80 C.120 D.1507.月相是指天文學中對于地球上看到的月球被太陽照亮部分的稱呼.1854年，愛爾蘭學者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現了一個記錄連續(xù)15天月相變化的數列，記為{an}，其將滿月等分成240份，ai(1≤i≤15且i∈N?)表示第i天月球被太陽照亮部分所占滿月的份數.例如，第1天月球被太陽照亮部分占滿月的5240，即a1=5；第15天為滿月，即a15=240.已知{an}的第1項到第5項是公比為A.40 B.80 C.96 D.1128.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就在楊輝三角中，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……則此數列的前46項和為(

)A.4080 B.2060 C.2048 D.2037二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列說法正確的有(

)A.若甲和乙相鄰，共有48種排法 B.若甲不排第一個，共有96種排法

C.若甲與丙不相鄰，共有36種排法 D.若甲在乙的前面，共有60種排法10.下列說法正確的是(

)A.若a=5+26，b=5?26，則a，b的等比中項為±1

B.若數列{an}是等比數列，公比為q，Sn為其前n項的和，則“q=12”是“a3=32，S3=92”的充要條件

C.若等比數列{an11.定義：在區(qū)間I上，若函數y=f(x)是減函數，且y=xf(x)是增函數，則稱y=f(x)在區(qū)間I上是“弱減函數”.根據定義可得(

)A.f(x)=1x在(0,+∞)上是“弱減函數”

B.f(x)=xex在(1,2)上是“弱減函數”

C.若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱減函數”，則m≥e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某校安排甲、乙、丙三個班級同時到學校禮堂參加聯歡晚會，已知甲班藝術生占比8%，乙班藝術生占比6%，丙班藝術生占比5%，學生自由選擇座位，先到者先選，甲、乙、丙三個班人數分別占總人數的14,113.某容積為128π的一個圓柱形封閉鐵皮容器，為使制作一個此容器時消耗材料最少(材料厚度不計).該容器底面半徑應設計為______．14.關于x的不等式xeax+bx?lnx≥1(a>0)恒成立，則b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(2x+13x)n展開式中，第三項的二項式系數與第四項的二項式系數比為34．

(1)求n的值；

(2)16.(本小題15分)

已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=30，a5=10．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若數列{17.(本小題15分)

設實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①，有兩根x1，x2，則方程可變形為a(x?x1)(x?x2)=0，展開得ax2?a(x1+x2)+ax1x2=0②，比較①②可以得到x1+x2=?bax1x2=ca，這表明，任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比.這就是我們熟知的一元二次方程的韋達定理．

設方程ax3+bx218.(本小題17分)

已知數列{an}的首項a1=35，且滿足2anan+1+an+1=3an．

(1)求證：數列{1an?1}為等比數列；

(2)求數列{1an}前n項和為Sn19.(本小題17分)

已知函數f(x)=?cosx，g(x)=x22?1,x∈[0,+∞)．

(1)判斷g(x)≥f(x)是否成立，并給出理由；

(2)①證明：當0<m<n<π2時，sinm?sinnm?n>cosn；

答案解析1.【答案】A

【解析】解：因為f(x)=ex，所以f′(x)=ex，

所以f(0)=1，f′(0)=1，

所以所求切線方程為y=x+1，即為x?y+1=0．

故選：A．2.【答案】C

【解析】解：設f(x)=(1?x)5，

則f(1)?f(?1)=2(a1+a3+a5)=?32，

3.【答案】B

【解析】解：根據題意，等差數列{an}中，S7?S4a4+a8=4.【答案】B

【解析】解：由導數的圖象可得，導函數f′(x)的值在[?1,0]上的逐漸增大，

故函數f(x)在[?1,0]上增長速度逐漸變大，故函數f(x)的圖象是下凹型的．

導函數f′(x)的值在[0,1]上的逐漸減小，

故函數f(x)在[0,1]上增長速度逐漸變小，圖象是上凸型的，

故選B．

根據導數的圖象，利用函數的單調性和導數的關系，得出所選的選項．

本題主要考查函數的單調性和導數的關系，屬于基礎題．5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查函數在某一點取得極值的條件，是中檔題，本題解題的關鍵是函數在這一點取得極值，則函數在這一點點導函數等于0，注意這個條件的應用．

根據函數在x=2處有極小值，得到f′(2)=0，解出關于c的方程，再驗證是否為極小值即可．【解答】

解：∵函數f(x)=x(x?c)2，

∴f′(x)=3x2?4cx+c2，

又f(x)=x(x?c)2在x=2處有極值，

∴f′(2)=12?8c+c2=0，

解得c=2或6，

又由函數在x=2處有極小值，故c=26.【答案】D

【解析】解：將《論語》、《孟子》、《大學》、《中庸》、《詩經》5本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人組，每人至少分得1本，

則將5本書分為1，1，3或1，2，2三組，

共有C51C41A22+C52C32A22=10+15=25組，

則分給甲乙丙3人，共有25A33=150種．

7.【答案】B

【解析】解：依題意，有a5=a1q4=5q4，a15=a5+10d=5q4+10d=240，

q=1時，d不是正整數；q=2時，d=16；

q≥3時，5q4≥405，d不是正整數．

所以q=2，d=16，8.【答案】D

【解析】解：楊輝三角的第n行的和為2n?1，(n=1,2,……)，

故前n行的和為Sn=1?2n1?2=2n?1，

每一行的個數為1，2，3，…，可看成以1為首項，以1為公差的等差數列，

則Tn=n(n+1)2，

當n=11時，T11=11×122=66，去除兩端的1可得66?21=45，9.【答案】ABD

【解析】解：甲、乙、丙等5人排成一列，

對于A：若甲和乙相鄰，利用捆綁法可得不同的排法有A22?A44=48種，故A正確；

對于B：5人全排列有A55=120種排法，又甲排第一個有A44=24種排法，則若甲不排第一個共有96種排法，故B正確；

對于C：現將除甲丙之外的三人進行全排列有A33=6種排法，再將甲丙進行插空，則不同的排法有6×A42=72種排法，故C錯誤；10.【答案】AD

【解析】解：對于A，若a=5+26，b=5?26，則a，b的等比中項為±(5+26)×(5?26)=±1，故A正確；

對于B，由a3=32，S3=92，可得a1q2=32，a1+a1q+a1q2=92，解得q=1或q=?12，故B錯誤；

對于C，若等比數列{an}的公比為?1，當n為偶數時，可得前n項和Sn=0，

則Sn，S2n?Sn11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了由導數確定函數的單調性以及已知單調性求參數范圍的問題，考查新定義問題，屬于中檔題．

利用“弱減函數”的概念逐項分析即得．【解答】

解：對于A，y=1x在(0,+∞)上單調遞減，y=xf(x)=1不單調，故A錯誤；

對于B，f(x)=xex,f′(x)=1?xex在(1,2)上f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，

y=xf(x)=x2ex,y′=2x?x2ex=x(2?x)ex>0，

∴y=xf(x)在(1,2)單調遞增，故B正確；

對于C，若f(x)=lnxx在(m,+∞)單調遞減，由f′(x)=1?lnxx2=0，得x=e，

當f′x<0，x>e，f(x)在(e,+∞)上單調遞減，

∴m≥e，又∵y=xf(x)=lnx在(0,+∞)單調遞增，∴m≥e滿足，故C正確；

對于D，f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上單調遞減，

f′(x)=?sinx+2kx≤0在x∈(0,π2)上恒成立?2k≤(sinxx)min，

令?(x)=sinxx,?′(x)=xcosx?sinx12.【答案】13【解析】解：設事件B=“任選一名學生是藝術生”，A1=“所選學生來自甲班”，A2=“所選學生來自乙班”A3=“所選學生來自丙班”，

由題可知：P(A1)=14，P(A2)=14，P(A3)=12，P(B|13.【答案】4

【解析】解：如圖所示，

設圓柱的高為?，底面半徑為r．

∵128π=πr2??，

∴S=2πr2+2πr??=2πr2+2πr?128r2=2πr2+π256r，

所以S′=4πr?π256r2，

令S′=0，則當r=32564=4，

當0<r<4時，S′<0，S單調遞減；當r>4時，S′>0，S單調遞增，

所以當r=4時，14.【答案】?1

【解析】解：令f(x)=ex?x?1，則f′(x)=ex?1，

當x<0時，f′(x)<0，當x>0時，f′(x)>0，

所以函數f(x)在(?∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，

所以f(x)≥f(0)=0，所以ex≥x+1，

由xeax+bx?lnx≥1得e(ax+lnx)≥?bx+lnx+1(a>0)，

而ax+lnx∈R，令ax+lnx+1≥?bx+lnx+1(a>0)，則a+b≥0，

所以ba≥?1，

若a+b<0，如圖作出函數y=?ax(a>0)，y=lnx的圖象，

由函數圖象可知，方程ax+lnx=0有唯一實數根x0∈(0,1)，即ax0+lnx0=0，

由xeax+bx?lnx≥1(a>0)，得eax+lnx+lnx≥?bx+lnx+1，

即eax+lnx?(ax+lnx)≥1?(a+b)x，

當x=x0時，e0?0≥1?(a+b)x0，即(a+b)x0≥0，

又15.【答案】(1)依題意，(2x+13x)n展開式的通項公式Tk+1=2n?kCnkxn?4k3,k≤n,k∈N，顯然第三項的二項式系數為Cn2，第四項的二項式系數系數為Cn3，

因此Cn2Cn3=n(n?1)2×1n(n?1)(n?2)3×2×1=34，解得n=6，

所以n的值為6．

(2)【解析】(1)直接利用二項式的系數的關系，建立方程，進一步求出結果；

(2)利用二項式的展開式求出展開式的有理項．

本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，有理項的應用，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．16.【答案】an=2n；

2201【解析】(1)設等差數列{an}的公差為d，由S5=30，a5=10，

可得5a1+10d=30，即a1+2d=6，又a1+4d=10，

解得a1=d=2，

則an=2+2(n?1)=2n17.【答案】證明見解析；

(i)證明見解析；(ii)(?∞,14【解析】(1)證明：∵方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三個根x1，x2，x3，

∴方程ax3+bx2+cx+d=0，即為a(x?x1)(x?x2)(x?x3)=0，

即ax3?a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x?ax1x2x3=0，

∴b=?a(x1+x2+x3)c=a(x1x2+x2x3+x3x1)d=?ax1x2x3，∴x1+x2+x3=?bax1x2+x18.【答案】證明見解答；

Sn=n+1?(13【解析】(1)證明：由a1=35，且滿足2anan+1+an+1=3an，

可得an+1=3an2an+1，

即有1an+1?1=1+2an3an?1=1?an3an=13(1an?1)，

可得數列{1an?1}是首項為53?1=23，公比為13的等比數列；

(2)由(1)可得1an?1=2×(13)n，即1an=1+2×(13)n，

則S19.【答案】(1)解：g(x)≥f(x)成立，理由如下：

令?(x)=g(x