第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年新疆哈密十五中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z?(1+i)=4+3i，則|z|=(

)A.522 B.52 C.2.已知A(3,1)，B(4,3)，C(x,7)三點共線，則x=(

)A.10 B.8 C.7 D.63.已知α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，且m?α，n?β，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若α⊥β，則m⊥n B.若α//β，則m//n

C.若m//β，n//α，則α//β D.若m⊥β，則α⊥β4.在△ABC中，若AC=6，C=45°，AB=2，則B等于(

)A.π6 B.π3 C.π6或5π6 5.將周長為8的矩形ABCD繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱.當(dāng)該圓柱體積最大時，邊AB的長為(

)A.43 B.23 C.136.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線CA.30° B.45° C.60° D.90°7.已知向量a=(2,?1),b=(?3,t),(2a+A.4 B.3 C.2 D.08.等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對棱分別相等.已知一個長方體的體積為12，則用長方體其中的四個頂點構(gòu)成的等腰四面體的體積為(

)A.3 B.4 C.6 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2?i，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是(

)A.|z|=5 B.z?=2?i

C.z10.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1DA.A1C1⊥BD1

B.A1C1/?/平面AC11.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a=7,b=2,A=πA.c=3 B.sinB=217

C.sinC=27 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(?2,λ),b=(1,1)，且a⊥b，則λ=______，a13.已知等邊△ABC邊長為2，PC⊥平面ABC，且PC=3，則點C到平面PAB的距離為______．14.已知三棱錐S?ABC中，AB⊥BC，SC⊥BC，AB=2BC=2，三棱錐S?ABC的體積為23，則當(dāng)SA取最小值時，三棱錐S?ABC外接球的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a=(1,2),|b|=5．

(1)若a//b，求b的坐標(biāo)；

(2)16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asin2B+bsinA=0．

(1)求角B；

(2)若△ABC的面積為1534，周長為15，求17.(本小題15分)

已知正方體ABCD?A1B1C1D1圖，

(1)求證：平面AB118.(本小題12分)

在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P．

(1)求BP的長度；

(2)求∠MPN的余弦值．19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E為棱AD的中點，PA⊥平面ABCD．

(1)證明：AB/?/平面PCE；

(2)求證：平面PAB⊥平面PBD；

(3)若二面角P?CD?A的大小為45°，求直線AD與平面PBD

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算表示z，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可得結(jié)果．

【解答】

解：由復(fù)數(shù)z滿足z?(1+i)=4+3i，

得：z=4+3i1+i=(4+3i)(1?i)(1+i)(1?i)=7?i2.【答案】D

【解析】解：由題可得AB=(1,2),BC=(x?4,4)，

因為三點共線，可得AB//BC，所以2(x?4)=4?x=6．

故選：D3.【答案】D

【解析】解：∵α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，且m?α，n?β，

若α⊥β，但m與n都不與兩平面的交線垂直時，根據(jù)三垂線定理不能得到m⊥n，∴A選項錯誤；

若α//β，則m//n或m與n異面，∴B選項錯誤；

若m//β，n//α，則α與β可以成任意角，∴C選項錯誤；

若m⊥β，則由面面垂直的判定定理可得α⊥β，∴D選項正確．

故選：D．

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，即可求解．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．4.【答案】D

【解析】解：由正弦定理，可得ACsinB=ABsinC，即6sinB=222，可得sinB=32，

因為△ABC中，b>c，所以B∈(π4,π)，可得B=5.【答案】A

【解析】解：設(shè)AB=x，則BC=12(8?2x)=4?x，

則圓柱的體積V=π?(4?x)2?x，

由題意，0<2x<8，得0<x<4．

∴V=π?(4?x)2?x=12π(4?x)(4?x)?2x≤16.【答案】C

【解析】解：連接AC，D1A.

由正方體可得AB=?//C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形．

∴BC1/?/AD1．

∴∠AD1C或其補(bǔ)角是異面直線C1B與D1C所成角．

由正方體可得AC=C7.【答案】A

【解析】解：a=(2,?1),b=(?3,t)，

則2a+b=(1,t?2)，

因為(2a+b)⊥a，

所以8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，等腰四面體A?BCD的體積等于長方體體積減去四個三棱錐的體積．

設(shè)長方體長，寬，高分別為a，b，c，

則等腰四面體A?BCD的體積V=abc?4×13×(12abc)=13abc=4．

9.【答案】ACD

【解析】解：由z=2?i，得|z|=22+(?1)2=5，故A正確；

z?=2+i，故B錯誤；

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是坐標(biāo)為(2,?1)，位于第四象限，故C正確；

z10.【答案】ABC

【解析】解：對A，連接B1D1，因為BB1⊥平面A1B1C1D1，

且A1C1?平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥A1C1，

又因為A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，

BB1，B1D1?平面BB1D1，

所以A1C1⊥平面BB1D1，又因為BD1?平面BB1D1，

所以A1C1⊥BD1，故選項A正確；

對B，因為AA1/?/BB1/?/CC1，AA1=BB11.【答案】ABD

【解析】解：由余弦定理得，a2=7=4+c2?2×2c×12，所以c=3，A正確，

由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，

所以sinB=2×327=217，sinC=32114，所以B正確，C錯誤，

設(shè)△ABC中BC12.【答案】2

(?1,?1)

【解析】解：∵a=(?2,λ)，b=(1,1)，a⊥b，

∴a?b=(?2)×1+λ×1=0，解得λ=2，

∴a=(?2,2)，b=(1,1)，

∴a?b=(?3,1)，

∴(a?b)?b=(?3)×1+1×1=?2，|b|=12+13.【答案】6【解析】解：因為PC⊥平面ABC，則PC為三棱錐P?ABC的高，

等邊△ABC邊長為2，所以S△ABC=34×22=3，PC=3，

VP?ABC=13S△ABC?PC=13×3×3=1，

由PC⊥平面ABC，AC?平面ABC，則PC⊥AC，

在直角△PCA中，PA=3+4=7，同理PB=7，

則等腰14.【答案】9π2【解析】解：如圖，過S作SH垂直底面ABC于點H，

∵AB⊥BC，AB=2BC=2，

∴三棱錐S?ABC的體積為13×12×1×2×SH=23，∴SH=2，

又SC⊥BC，SH⊥底面ABC，

∴根據(jù)三垂線定理可得BC⊥CH，又AB⊥BC，

∴HC//AB，∴A到HC的距離的最小值為BC=AH，此時SA=SH2+AH2才最小，

即此時四邊形ABSH為矩形，

∴三棱錐S?ABC外接球的直徑2R即為補(bǔ)形后長，寬，高分別為2，1，2的長方體的體對角線，

∴(2R)2=22+12+22=9，∴R=32，

∴三棱錐S?ABC外接球的體積為43πR3=43×π×(15.【答案】(1,2)或(?1,?2)；

?15【解析】(1)已知a=(1,2),|b|=5，

又a/?/b，

設(shè)b=(x,y)，

由題意有y=2xx2+y2=5，

解得x=1y=2或x=?1y=?2，

故b的坐標(biāo)為(1,2)或(?1,?2)；

(2)由(2a?b)?(16.【答案】解：(1)根據(jù)正弦定理可得b=2RsinB，a=2RsinA，

因為asin2B+bsinA=0，所以2RsinA?2sinBcosB+2RsinBsinA=0，

所以cosB=?12，

又B∈(0,π)，所以B=2π3；

(2)因為c=3，△ABC的面積為1534，

所以S△ABC=12acsinB=34ac=1534，【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡可求cosA，進(jìn)而可求A；

(2)由已知結(jié)合三角形面積公式即可求解．

本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】證明見解析；

33【解析】解：(1)證明：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1//AA1//DD1，BB1=AA1=DD1，

則四邊形BB1D1D是平行四邊形，

所以B1D1/?/BD，又因為B1D1?平面BC1D，BD?平面BC1D，

所以B1D1/?/平面BC1D，

同理AD1/?/平面BC1D，而AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D18.【答案】43；

7【解析】(1)連接MN，則MN是△ABC的中位線，

故MN//AB，且MN=12AB，

在△ABN中，AN=12AC=2，又AB=2，∠BAC=60°，

故△ABN是等邊三角形，

所以BN=2，

因為△ABP∽△MNP，所以PNBP=MNAB=12，

所以BP=23BN=43；

(2)在△ABC中，由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2?2AB?ACcos∠BAC=16+4?16cos60°=12，

解得BC=23，則BM=12BC=3，

因為AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，

在△ABM中，由勾股定理得AM=AB2+B19.【答案】證明：(1)∵BC/?/AE且BC=AE，

∴四邊形BCEA為平行四邊形，

∴AB/?/EC，

又∵AB?平面PCE，EC?平面PCE，

∴AB/?/平面PCE；

(2)∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴PA⊥BD，

連接BE，∵BC/?/DE且BC=DE，

∴四邊形BCDE為平行四邊形，

∵DE⊥CD，BC=CD=2，

∴平行四邊形BCDE為正方形，

∴BD⊥EC，

又∵AB//EC，∴BD⊥AB，

又∵PA?AB=A，PA?面PAB，AB?面PAB，

∴BD⊥面PAB，

∵BD?面PBD，

∴平面PAB⊥平面PBD；

解：(3)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA為二面角P?CD?A的平面角，從而∠PDA=45°，

∴在Rt△PAD中，PA=AD=4，

作AM⊥PB于M，連接MD，

由(2)知，平面PAB⊥平面PBD且AM?平面PAB，平面PAB∩平面PBD=PB，

∴AM⊥面PBD