第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南省普洱市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是(

)A.(lnxx)′=1?lnxx2 B.(cosx)′=?sinx2.已知函數(shù)f(x)=(x?2025)(x?2026)，則f(x)的圖象在x=2025處的切線方程為(

)A.2x+y?4050=0 B.x+y?2025=0

C.2x?y?4050=0 D.x?y?2025=03.現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(

)A.120 B.60 C.30 D.204.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是(

)A.B.

C.D.5.在(xy+yx)A.3 B.4 C.5 D.66.已知曲線f(x)=x3?x+3在點(diǎn)P處的切線與直線x+2y?1=0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(1,3) B.(?1,3) C.(1,3)或(?1,3) D.(1,?3)7.如圖，將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D、E的五塊區(qū)域染上紅，黃，藍(lán)三種顏色，要求相鄰區(qū)域不同色，共有不同的染色方法有(

)A.30種B.36種

C.27種D.18種8.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)?2f(x)=e2xx，且f(1)=e2A.有極大值無極小值 B.有極小值無極大值

C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值又無極小值二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)白球和2個(gè)黑球，下列說法正確的是(

)A.從中取3個(gè)球，則不同的取法種數(shù)是C73

B.從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是10

C.從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是C52C210.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x0)，則稱A.f(x)=1x B.f(x)=lnx C.f(x)=tanx 11.已知函數(shù)f(x)=x33?x2A.函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則b<0

B.當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有最小值

C.當(dāng)b=?2時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=sin2x?xf′(0)，則f′(0)=______．13.若An4=12Cn314.已知函數(shù)f(x)=x2?alnx在(1,2)上單調(diào)遞增，則a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

(1)解不等式：A2x+14<140Ax3(x∈N)．16.(本小題15分)

從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？(結(jié)果用數(shù)字作答，否則無分)

(1)甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；

(2)甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；

(3)甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．17.(本小題15分)

某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”A系列進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，隨機(jī)選擇了一個(gè)商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研，通過對(duì)該品牌的A系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)A系列每日的銷售量f(x)(單位：千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)近似滿足關(guān)系式f(x)=ax?4+10(x?7)2，其中4<x<7，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出A系列15千克．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式．

(2)若A系列的成本為4元/千克，試確定銷售價(jià)格18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x3?3x．

(Ⅰ)過點(diǎn)P(2,?6)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程．

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

(Ⅲ)求f(x)在[?3,19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)=λlnx(λ>0)與函數(shù)g(x)=1?ax的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線．

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，求函數(shù)f(x)與g(x)在公共點(diǎn)處的切線方程；

(2)求a的最小值；

(3)求證：當(dāng)x>0時(shí)，x(1?λlnx)≤a．答案解析1.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)：(lnxx)′=1x?x?lnxx2=1?lnxx2，正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：(cosx)′=?sinx，正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：(xex)′=2.【答案】B

【解析】解：由題意，f′(x)=(x?2026)+(x?2025)，

則f′(2025)=?1，又f(2025)=0，

所以f(x)的圖象在x=2025處的切線方程為y?0=?(x?2025)，即x+y?2025=0．

故選：B．

利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】B

【解析】解：不妨記五名志愿者為a，b，c，d，e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有A42=12種方法，

同理：b，c，d，e連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，

∴恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有5×12=60種．

故選：B．

4.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象判斷單調(diào)性，從而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，最后可得答案．【解答】

解：根據(jù)y=f(x)的圖象可得，原函數(shù)的單調(diào)性是：當(dāng)x<0時(shí)，增；

當(dāng)x>0時(shí)，單調(diào)性變化依次為減、增、減，

故當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)的符號(hào)變化依次為?、+、?，

結(jié)合所給的選項(xiàng)，

故選A．5.【答案】D

【解析】解：二項(xiàng)式(xy+yx)4展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C4r(xy12)4?r(x12y)r=C4rx4?6.【答案】C

【解析】解：由曲線f(x)=x3?x+3，可得f′(x)=3x2?1，

直線x+2y?1=0的斜率為?12，

可得f′(xP)=3xP2?1=2，則3xP2=3，即xP=±1，

故P7.【答案】A

【解析】解：由題意將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D、E的五塊區(qū)域染上紅，黃，藍(lán)三種顏色，要求相鄰區(qū)域不同色，

可從A開始涂色，A有3種方法，B有2種方法，

①若E與B涂色相同，則C、D共有A22種涂色方法；

②若E與B涂色不相同，則E有1種涂色方法，

當(dāng)C、E涂色相同時(shí)，D有2種涂色方法；當(dāng)C、E涂色不相同時(shí)，C有1種涂法，D有1種涂色方法．

共有3×2×A22+3×2×1×(2+1×1)=30種涂色方法．

故選：A．

首先確定A的一種顏色，因?yàn)锽、E不相鄰考慮B、E同色問題；因?yàn)镃、E不相鄰考慮8.【答案】D

【解析】解：由f′(x)?2f(x)=e2xx，得f′(x)?2f(x)e2x=1x，

設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)e2x，則g′(x)=f′(x)?2f(x)e2x=1x，則g(x)=f(x)e2x=lnx+c，c為常數(shù)，

所以f(x)=(lnx+c)e2x，又f(1)=e2，

則c=1，f(x)=(lnx+1)e2x，f′(x)=e2xx+2e2x(lnx+1)=e2x(2lnx+1x+2)．

設(shè)?(x)=2lnx+1x+2，?′(x)=2x?1x29.【答案】ABD

【解析】解：從中取3個(gè)球，則有C73種取法，A選項(xiàng)正確；

從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是C51C21=10，B選項(xiàng)正確；

從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是C52C21+C51C210.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：易知f′(x)=?1x2，

令1x=?1x2，

解得x=?1，

所以函數(shù)f(x)=1x有“巧值點(diǎn)”；

對(duì)于選項(xiàng)B：易知f′(x)=1x，

令lnx=1x，

作出函數(shù)y=lnx，y=1x的圖象：

可知方程lnx=1x有解，有“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：易知f′(x)=(sinxcosx)′=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x，

令tanx=1cos2x，

即sinxcosx=1cos2x，

解得sin2x=2，無解，不存在“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：易知f′(x)=1?1x2，

令x+1x=1?1x2，

11.【答案】BCD

【解析】解：因?yàn)閒(x)=x33?x22+bx+103，則f′(x)=x2?x+b．

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程f′(x)=x2?x+b=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，

此時(shí)，Δ=1?4b>0，則b<14，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)b<0時(shí)，設(shè)f′(x)=0的兩個(gè)不等的實(shí)根分別為x1，x2，且x1<x2，

由韋達(dá)定理可得x1x2=b<0，必有x1<0<x2，

當(dāng)0<x<x2時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>x2時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有最小值，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)b=?2時(shí)，f(x)=x33?x22?2x+103，f′(x)=x2?x?2=(x?2)(x+1)，

令f′(x)=x2?x?2=(x?2)(x+1)=0，可得x=?1或x=2，

當(dāng)x<?1時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,?1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)?1<x<2時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增．

所以，函數(shù)12.【答案】1

【解析】解：f′(x)=2cos2x?f′(0)，

所以f′(0)=2cos0?f′(0)，

所以f′(0)=1．

故答案為：1．

先求導(dǎo)，再令x=0，即可求解．

本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題．13.【答案】5

【解析】解：若An4=12Cn3，

則n(n?1)(n?2)(n?3)=12×n(n?1)(n?2)3×2×1，

化簡(jiǎn)得n?3=2，

解得n=5．14.【答案】a≤2

【解析】解：函數(shù)f(x)=x2?alnx，(x∈(1,2)).f′(x)=2x?ax，

∵函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，∴f′(x)≥0在(1,2)上恒成立．

∴2x?ax≥0，x∈(1,2)?a≤2xmin2，x∈(1,2)．

令g(x)=2x2，則g(x)在(1,2)單調(diào)增函數(shù)．

∴g(x)<g(1)=2．

∴a≤2．

故答案為：a≤2．

由函數(shù)f(x)在(1,2)15.【答案】{4,5}；

證明見解析．

【解析】(1)由題意可得，2x+1≥4x≥3，所以x≥3，x∈N?，

由A2x+14<140Ax3，得(2x+1)2x(2x?1)(2x?2)<140x(x?1)(x?2)，

化簡(jiǎn)得：4x2?35x+69<0，解得3<x<234，

又因?yàn)閤∈N?，所以x=4或x=5，

所以A2x+14<140A16.【答案】120；

120；

140．

【解析】(1)要求甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒，

第一步：甲乙捆綁看作一個(gè)整體，從3個(gè)位置安排一個(gè)位置有C31A22，

第二步：從剩下5人中，需兩人排在兩個(gè)位置，有A52，

所有共有：C31A22A52=120；

(2)要求甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒，

第一步，先從剩下5人中選2人排序，有A52，

第二步，甲乙兩人從3個(gè)空中選2個(gè)空排序，有A32，

所以共有：A52A32=120；

(3)要求甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，

從5人中選2人加上甲乙4人的全排列有：C17.【答案】解：(1)由題意可知，當(dāng)x=6時(shí)，f(x)=5，即a2+10=15，

解得a=10，

∴f(x)=10x?4+10(x?7)2，(4<x<7)

(2)商場(chǎng)每日銷售A系列所獲得的利潤為?(x)，

則?(x)=(x?4)[10x?4+10(x?7)2]=10x3?10x2+1050x?1954，(4<x<7)，

即?′(x)=30x2?360x+1050，

令?′(x)=30x2?360x+1050=0，解得x=5或x=7(舍去)，

∴當(dāng)4<x<5時(shí)，?′(x)>0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)5<x<7時(shí)，?′(x)<0【解析】(1)由題意可知，當(dāng)x=6時(shí)，f(x)=5，解得到a=10，即可求出函數(shù)的解析式；

(2))商場(chǎng)每日銷售A系列所獲得的利潤為?(x)，則?(x)=10x3?10x218.【答案】(Ⅰ)切線方程為y=?3x或y=24x?54；

(Ⅱ)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,1)．

(Ⅲ)f(x)max=f(?1)=2，【解析】解：(Ⅰ)由題f′(x)=3x2?3，設(shè)所求切線的切點(diǎn)為(a,a3?3a)，

則切線斜率：k=f′(a)=3a2?3=a3?3a+6a?2?a=0或a=3，

當(dāng)a=0時(shí)，切點(diǎn)為(0,0)時(shí)，切線斜率為?3，則切線方程為y=?3x；

當(dāng)a=3時(shí)，切點(diǎn)為(3,18)時(shí)，切線斜率為24，則切線方程為y?18=24(x?3)即y=24x?54；

綜上，所求切線方程為