《15.1二次根式》知識(shí)概覽一、二次根式1.一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.如等式子，都是二次根式.提示：二次根式有意義的條件是0，即只有被開方數(shù)時(shí)，有意義，式子才是二次根式；反之，若無(wú)意義，則式子就不能叫二次根式.2.對(duì)于二次根式，有：是一個(gè)非負(fù)數(shù)，.與的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：①?gòu)男问胶瓦\(yùn)算次序看，前者是先開方再平方，后者是先平方再開方；②從的取值范圍看，中的只能為非負(fù)數(shù)，即，而中的可以為任意實(shí)數(shù)；③從運(yùn)算結(jié)果看，的值總是等于，而的值可能是，也可能是.聯(lián)系：當(dāng)時(shí)，與的值都等于.下列各式，一定是二次根式的是______(填序號(hào)).①；②；③；④；⑤；⑥.解析：①③⑥它們都含二次根號(hào)，且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，所以是二次根式；②中被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，所以不是二次根式；④中被開方數(shù)不一定是非負(fù)數(shù)，所以不一定是二次根式；⑤的根指數(shù)為3，所以不是二次根式.答案：①③⑥點(diǎn)撥：要判斷一個(gè)式子是不是二次根式，一是看是否帶二次根號(hào)“”，二是看被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù).只有同時(shí)符合這兩個(gè)條件的式子才是二次根式，還要注意看的是化簡(jiǎn)前的式子，而不是化簡(jiǎn)后的式子，如化簡(jiǎn)后等于2，但它未化簡(jiǎn)前是二次根式，所以是二次根式.例2計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).答案：(見解析)分析：化簡(jiǎn)時(shí)注意運(yùn)用：.解：(1)；(2)；(3)；(4).點(diǎn)撥：計(jì)算過(guò)程中，一定要保證被開方數(shù)大于0.二、二次根式的性質(zhì)1.積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積，即).例3化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3).解析：(1)；(2)；(3).點(diǎn)撥：在本章中如果沒(méi)有特別說(shuō)明，根號(hào)內(nèi)所有字母均為正數(shù)，所有符合這個(gè)公式的可直接應(yīng)用公式.而第(1)、(2)題被開方數(shù)中沒(méi)有字母，則先將被開方數(shù)化為幾個(gè)因數(shù)乘積的形式，然后化簡(jiǎn).2.商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商，即(或.例4化簡(jiǎn)：(1)；(2).分析：這類題可直接用來(lái)化簡(jiǎn)，但要注意當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先把它化成假分?jǐn)?shù).解：(1)；(2).三、最簡(jiǎn)二次根式一般地，如果一個(gè)二次根式滿足下面兩個(gè)條件，那么，我們把這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.提示：化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法：(1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或小數(shù)的，利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)；(2)被開方數(shù)是整數(shù)的，先分解因數(shù)，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)；(3)當(dāng)分母中含有根號(hào)時(shí)，利用分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘上同一個(gè)合適的二次根式，化去分母中的根號(hào)，如等.例5下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是()A.B.C.D.解析：判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式，就看它是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.答案：D例6把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)；(3).分析：先將被開