第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省眉山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=i?(2+i)，則z=(

)A.?1+2i B.1+2i C.?1?2i D.1?2i2.函數(shù)f(x)=3cos(2x?π4)的一個對稱中心是A.(π8,?0) B.(3π8,?0)3.為落實“雙碳”目標(biāo)，某環(huán)保組織調(diào)研10個國家2024年度的人均碳排放強度(單位：噸/人?年)后，得到數(shù)據(jù)如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15.則該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)是(

)A.5 B.6 C.7 D.124.已知一個圓錐的母線長為3，表面積為10π，則該圓錐的底面半徑為(

)A.2 B.3 C.103 D.5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AE=12AD,FC=14AC，若A.1 B.54 C.2 D.6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的最小正周期為2π

B.f(x)=2sin(2x+π6)

C.f(0)=7.廡殿頂是中國傳統(tǒng)建筑中等級最高的屋頂形式之一，形態(tài)為四面斜坡，有一條正脊和四條斜脊，《九章算術(shù)》中將類似廡殿頂?shù)膸缀误w稱為“芻甍”(圖1).據(jù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣(袤：南北方向長度；廣：東西方向長度)”，其體積公式為：16×(2×上袤+下袤)×廣×高.如圖2所示，芻甍是底面為矩形的五面體，頂部是一條與底面平行的正脊，四條斜脊長度相等，若下袤為24m，廣為12m，上袤是下袤的13，斜脊與底面所成角均為π4，則該芻甍的體積為(

)A.400m3 B.4002m38.設(shè)函數(shù)f(x)=23|x?2|,g(x)=2|sinπ2x|，則曲線A.8 B.10 C.12 D.14二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=1+i1?i，以下結(jié)論正確的是(

)A.z?=?i

B.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?1對應(yīng)的點位于第四象限

C.|z+i|=2

D.10.下列命題中為真命題的是(

)A.若直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n//α

B.兩條異面直線被兩個平行平面截得的線段的中點連線平行于這兩個平面

C.若平面α⊥平面β，直線m⊥平面α，直線n⊥平面β，則n⊥m

D.若直線m?平面α，直線n?平面α，直線m//平面β，直線n//平面β，則α//β11.在△ABC中，BC=2，A=30°，△ABC的重心為G，外心為O，則下列命題正確的是(

)A.BO=233

B.OA+OB+OC=3OG

C.若向量BA在BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某汽車4S店欲通過分層隨機抽樣了解A、B、C三個小區(qū)居民對新能源汽車的購買意愿.已知這三個小區(qū)的人口分別為1200人、800人、500人，若總樣本量為100人，則應(yīng)從C小區(qū)抽取______人.13.定義：向量a×b叫向量a與b的外積，且a×b的模為|a×b|=|a||b|sin?a,b?(其中14.已知，在三棱錐S?ABC中，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=23,BC=3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為深化共享單車監(jiān)管工作，某市交通管理部門隨機選取100名市民開展共享單車使用滿意度問卷調(diào)查.按照百分制評分標(biāo)準(zhǔn)，將這100份問卷的結(jié)果分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6組，并作出如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計本次問卷調(diào)查評分的眾數(shù)和中位數(shù)；

(2)估計本次問卷調(diào)查評分的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)．16.(本小題15分)

已知向量a,b，若|a|=1,|b|=2，a與b的夾角為π4．

(1)求|a17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且(a?2b)cosC+ccosA=0．

(1)求C；

(2)若D是AB邊的中點，CD=3，求△ABC面積的最大值．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π3)+2sin2(ωx2+π6)?1(ω>0)的兩條相鄰對稱軸的距離為π2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，再將所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象．

①若g(19.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=2，E為BC中點，側(cè)面BCC1B1為矩形．

(1)求證：A1E⊥BC；

(2)若A1A=A1B，四棱錐A1

參考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.D

9.ACD

10.BC

11.BD

12.20

13.5

14.16π

15.(1)由頻率分布直方圖，可得眾數(shù)為70+802=75．

因為(0.005+0.010+a+0.030+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.020．

設(shè)中位數(shù)為x，則前3組頻率之和為0.05+0.1+0.2=0.35<0.5，

又前4組頻率之和為0.35+0.3=0.65>0.5，

所以中位數(shù)在第4組，由0.35+(x?70)×0.030=0.5，解得x=75，故中位數(shù)為75；

(2)平均數(shù)為16.(1)因為|a|=1，|b|=2，a與b的夾角為π4，所以a?b=1×2×cosπ2=1，

所以|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a?17.(1)法1：利用正弦定理化簡已知等式可得sinAcosC?2sinBcosC+sinCcosA=0，

∴sin(A+C)=2sinBcosC，

∴sinB=2sinBcosC．

∵B∈(0,π)，sinB≠0，

∴cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3；

法2：∵由余弦定理化簡已知等式可得(a?2b)?a2+b2?c22ab+c?b2+c2?a22bc=0，

化簡可得a2+b2?c2=ab，

∴cosC=a2+b2?c218.(1)由題意得f(x)=3sin(ωx+π3)?cos(ωx+π3)=2sin(ωx+π3?π6)=2sin(ωx+π6)，

根據(jù)f(x)的相鄰兩條對稱軸的距離為π2，可得f(x)的周期T=2×π2=π，

所以ω=2πT=2，可得f(x)=2sin(2x+π6)．

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，可得y=2sin[2(x?π6)+π6]=2sin(2x?π6)的圖象，

再將所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，可得g(x)=4sin(2x?π6)的圖象，

①由g(x0)=125，解得sin(2x0?π6)=35，

當(dāng)x0∈[0,?π3]時，2x0?π619.(1)證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，取B1C1中點F，連接AE、EF、A1F，

由題知，EF//AA1，則EF⊥BC，又AB=AC，則AE⊥BC，

因為EF∩AE=E，AE，EF?平面AEFA1，

所以BC⊥平面AEFA1，

因為A1E?平面AEFA1，

所以BC⊥A1E.

(2)因為BC⊥A1E，E為BC中點，所以A1C=A1B，

因為A1A=A1B，

所以點A1到△ABC三頂點距離相等，

所以點A1在底面ABC的射影為△ABC的外心．

因為△ABC為直角三角形，E為斜邊BC中點，