培優(yōu)課4極值點偏移問題1.極值點偏移的概念已知函數(shù)f(x)圖象頂點的橫坐標(biāo)就是極值點x0.(1)若f(x)=c的兩根的中點滿足x1+x22=x0，即極值點在兩根的正中間，也就是說極值點沒有偏移.此時函數(shù)f(x)在x=x(2)若f(x)=c的兩根的中點x1+x22≠x0，則稱極值點偏移，此時函數(shù)f(x)在x=x0兩側(cè)的函數(shù)值變化快慢不同，如圖2.函數(shù)極值點偏移問題的四種類型(1)若函數(shù)f(x)在定義域上存在兩個零點x1，x2(x1≠x2)，求證：x1+x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點)；(2)若在函數(shù)f(x)的定義域上存在x1，x2(x1≠x2)滿足f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點)；(3)若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1，x2(x1≠x2)，令x0=x1+x22，求證：f'(x(4)若在函數(shù)f(x)的定義域上存在x1，x2(x1≠x2)滿足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求證：f'(x技法一對稱構(gòu)造法已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.解：(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)·(ex+2a).①若a=0，則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點.②若a>0，則當(dāng)x∈(-∞，1)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增.又f(1)=-e<0，f(2)=a>0，取b滿足b<0且b<lna2，則f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=ab2-32b>0(也可通過極限思想判斷函數(shù)值正負(fù)，如x→-∞時，f故f(x)存在兩個零點.③若a<0，由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2，則ln(-2a)≤1，故當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，因此f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點若a<-e2，則ln(-2a)>1，故當(dāng)x∈(1，ln(-2a))時，f'(x)<0；當(dāng)x∈(ln(-2a)，+∞)時，f'(x)>0因此f(x)在(1，ln(-2a))上單調(diào)遞減，在(ln(-2a)，+∞)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(0，+∞).(2)證明：不妨設(shè)x1<x2.由(1)知，x1∈(-∞，1)，x2∈(1，+∞)，2-x1∈(1，+∞)，設(shè)F(x)=f(x)-f(2-x)，則F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=(x-1)(ex+2a)+(1-x)(e2-x+2a)=(x-1)(ex-e2-x)，所以當(dāng)x<1時，F(xiàn)'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，又F(1)=0，所以當(dāng)x<1時，F(xiàn)(x)<0，即f(x)<f(2-x)，所以f(x2)=f(x1)<f(2-x1)，又由(1)知，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以x2<2-x1，即x1+x2<2.對稱構(gòu)造法求解極值點偏移問題的步驟

第一步，求導(dǎo)：獲得f(x)的單調(diào)性、極值情況，作出f(x)的圖象，由f(x1)=f(x2)得x1，x2的取值范圍(數(shù)形結(jié)合)；

第二步，構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論x1+x2>(<)2x0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)，求導(dǎo)，討論F(x)的單調(diào)性，進(jìn)而得不等式； 第三步，代入x1(或x2)：利用f(x1)=f(x2)及f(x)的單調(diào)性證明最終結(jié)論.注意：極值點偏移問題的結(jié)論不一定總是x1+x2>(<)2x0，也可能是x1x2>(<)x02學(xué)生用書?第79頁對點練1.(2025·湖南郴州質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=lnx-12x2+1，若設(shè)函數(shù)f(x)的兩個零點為x1，x2，證明：x1+x2>2證明：f'(x)=1x-x=(1+x)(令f'(x)=0，解得x=1.當(dāng)0<x<1時，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max=f(1)=12>0且當(dāng)x→0+時，f(x)→-∞，f(2)=ln2-1<0，假設(shè)x1<x2，則f(x)的兩個零點x1，x2滿足0<x1<1<x2<2.令F(x)=f(x)-f(2-x)，0<x<1，則F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=2(當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，所以F(x)<F(1)=0，即f(x)<f(2-x).因為0<x1<1<x2<2，所以1<2-x1<2，所以f(x2)=f(x1)<f(2-x1).又函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以x2>2-x1，即x1+x2>2.技法二比(差)值換元法已知函數(shù)f(x)=axlnx+b(a，b為實數(shù))的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y=x-1.(1)求實數(shù)a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+1x，證明：g(x1)=g(x2)(x1<x2)時，x1解：(1)f'(x)=a(1+lnx)(x>0)，由題意得f'(1令f'(x)=1+lnx=0，解得x=1e當(dāng)x>1e時，f'(x)>0，f(x)在1e當(dāng)0<x<1e時，f'(x)<0，f(x)在0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0，1e，(2)證明：由(1)得f(x)=xlnx(x>0)，故g(x)=f(x)+1x=lnx+由g(x1)=g(x2)(x1<x2)，得lnx1+1x1=lnx2+即x2-x1x1要證x1+x2>2，即證(x1+x2)·x2-x1x1x2>2lnx2設(shè)x2x1=t(則需證t-1t>2lnt(t>1)令h(t)=t-1t-2lnt(t>1)則h'(t)=1+1t2-2t=1所以h(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則h(t)>h(1)=0，即t-1t>2lnt.故x1+x2>2得證比(差)值換元的解題要點：通過t=x1x2或t=x1-x2，消掉變量x1，x2，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)h(t)對點練2.已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個零點x1，x2(x1<x2).證明：x2-x1<2x1-證明：由題意得ex1=ax1，ex2=ax2，令t=x2-x1>0，兩式相除得et=ex2-x1=x2x1=x1+tx1，即x1=tet-1(t>0)，欲證x2-x1<2x1-2故h(t)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，所以h(t)<h(0)=2，即t2+2t+2et<2，所以x2-x1學(xué)生用書?第80頁技法三消參減元法已知函數(shù)f(x)=12x2-x+alnx.若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，證明：f(x1)+f(x2)>-ln22-3證明：由題意得，f'(x)=x-1+ax=x2-x因為函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，所以方程x2-x+a=0在(0，+∞)上有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，則x1+x2=1>0，x1x2=a>0由題意得fx1+fx2=12x12-x1+alnx1+12=12x12+=12x1+x22-x1=12-a-1+alna=alna-a-1令ha=alna-a-12則h'a=lna<0，所以h(a)在0，1所以ha>h14=-ln22-所以fx1+fx2>-ln22消參減元，主要是利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點，進(jìn)而建立參數(shù)與極值點之間的關(guān)系，消去參數(shù)或減少變元，從而簡化目標(biāo)函數(shù).其解題要點如下：

1.建方程：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令f'(x)=0，建立極值點所滿足的方程，抓住導(dǎo)函數(shù)中的關(guān)鍵——導(dǎo)函數(shù)解析式中變號的部分(一般為一個二次整式).

2.定關(guān)系：根據(jù)極值點所滿足的方程，利用方程的根的相關(guān)知識，建立極值點與方程系數(shù)之間的關(guān)系.3.消參減元：根據(jù)兩個極值點之間的關(guān)系，利用和差或積商等運算，化簡或轉(zhuǎn)化所求解問題，消掉參數(shù)或減少變量的個數(shù).對點練3.已知函數(shù)f(x)=1x-x+alnx(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明：fx1-解：(1)f(x)的定義域為0，f'(x)=-1x2-1+ax①若a≤2，則f'(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時f'(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.②若a>2，令f'(x)=0，得x=a-a2-當(dāng)x∈0，a-a2-42∪a+當(dāng)x∈a-a2-42，a+所以f(x)在0，a-a2-(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個極值點時，a>2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè)x1<x2，則x2>1.由于fx1-fx2x1-x2=-1x1所以fx1-fx2x1-x2<a-2等價于設(shè)函數(shù)g(x)=1x-x+2lnx，由(1)知，g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又g(1)=0，從而當(dāng)x∈(1，+∞)時，g(x)<0所以1x2-x2+2lnx2<0，即fx課時測評25極值點偏移問題對應(yīng)學(xué)生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂!)1.(6分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx+m(m∈R)，若f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，則下列選項中不正確的是()A．m<-1 B．ex1C．0<x1<1 D．x1+x2≤2答案：D解析：由題意得，f'(x)=1-1x=x-1x(x>0)，令f'(x)=0，解得x=1.所以當(dāng)0<x<1時，f'(x)<0；當(dāng)x>1時，f'(x)>0.故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增.因為函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，所以作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.故f(x)min=f(1)=1+m<0，即m<-1，且0<x1<1.故選項A，C正確.由于x1，x2為f(x)的兩個零點，故有x1-lnx1+m=0，x2-lnx2+m=0，兩式相減得x1-x2=lnx1x2，即ex1-x2=x1x2.故選項B正確.因為m<-1，f(2)=2-ln2.(6分)(2024·山東東營模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)=2x+lnx，下列說法錯誤的是 (A．x=2是f(x)的極小值點B．函數(shù)y=f(x)-x有且只有1個零點C．存在正實數(shù)k，使得f(x)>kx恒成立D．對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x1>x2，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2>4答案：C解析：對于A，f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=-2x2+1x=x-2x2，當(dāng)0<x<2時，f'(x)<0，當(dāng)x>2時，f'(x)>0，所以x=2是f(x)的極小值點，故A正確；對于B，令h(x)=y=f(x)-x，h'(x)=-x2-x+2x2<0，所以h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，h(1)=1，h(2)=ln2-1<0，所以h(x)有唯一零點，故B正確；對于C，令φ(x)=f(x)x=2x2+lnxx，φ'(x)=-xlnx-x+4x3.令F(x)=xlnx-x+4，F(xiàn)'(x)=lnx，當(dāng)x∈(0，1)時，F(xiàn)'(x)<0，x∈(1，+∞)時，F(xiàn)'(x)>0，則F(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則F(x)min=F(1)=3>0，所以φ'(x)<0，φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，φ(x)圖象恒在x軸上方，與x軸無限接近，故不存在正實數(shù)k使得f(x)>kx恒成立，故C錯誤；對于D，由A知，f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，對任意正實數(shù)x1，x2，且x1>x2，f(x1)=f(x2)，則0<x2<2<x1，當(dāng)0<x<2時，令g(x)=f(x)-f(4-x)，g'(x)=f'(x)+f'4-x=x-2x2+2-x4-x2=-8x-22x24-x2<0，即g(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，則g(x)>g3.(8分)(2024·浙江名校聯(lián)考)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)=12ax2-ex+1a∈R的兩個極值點，若x2x1≥2答案：2解析：因為f'(x)=ax-ex，x1，x2是f(x)的兩個極值點，所以x1，x2是ax-ex=0的兩個實數(shù)根，又當(dāng)x=0時，方程不成立，即ex1=ax1，ex2=ax2兩式作商得ex2ex1=x2x1=ex2-x1，所以ex2-x1=x2x1.令x2x1=t≥2，所以x1=lntt-1，x2=tlntt-1.令h(t)=lntt-1，t≥2，則h'(t)=1-1t-lntt-12.令u(t)=1-1t-lnt，t≥2，則u'(t)=1-tt2<0，所以u(t)在[2，+∞)上單調(diào)遞減，所以u(t)≤u(2)=12-ln2<0，故h'(t)<0，所以h(t)在[2，+∞)上單調(diào)遞減.因為當(dāng)t→+∞時，h(t)→0，h(2)=ln2，所以x1∈(0，ln2]，所以a=ex1x1，x1∈04.(20分)已知函數(shù)f(x)=x+3x+2lnx-aa∈R有兩個不同的零點x1，(1)求實數(shù)a的取值范圍；(8分)(2)求證：x1x2>1.(12分)解：(1)由題意，f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=1-3x2+2x=x+3x-1x2，當(dāng)x∈(0，1)時，f'(x)<0，所以f當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x=1處取得極小值，也是最小值，又f(x)min=f(1)=4-a，所以先保證必要條件f(1)<0成立，即a>4滿足題意.當(dāng)a>4時，易知f2a=2a+32a+2ln2a-a=a+32af1a=1a+3a-2lna-a=1a+2(a-lna)>1由以上可知，當(dāng)a>4時，f(x)=x+3x+2lnx-a(a∈R)有兩個不同的零點(2)證明：由題意，假設(shè)0<x1<1<x2，要證明x1x2>1，即證明x1>1x2，即證fx1又f(x1)=f(x2)，即證fx2<f1x2，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f1xg(x)=2x-2x+4lnx所以g'(x)=-2x-12x2<0，所以g(x)g(1)=0，因為x2>1，所以g(x2)<g(1)=0，即fx2<f1x2成立，即f(x1)即x1x2>1得證.5.(20分)已知函數(shù)f(x)=exex-ax+a有兩個極值點x(1)求實數(shù)a的取值范圍；(8分)(2)求證：2x1x2<x1+x2.(12分)解：(1)因為f(x)=exex-ax+a，所以f'(x)=ex(ex-ax+a)+exex-a令f'(x)=0，則2ex=ax.當(dāng)a=0時，不成立.當(dāng)a≠0時，2a=xex，令g(x)=xex，則g'(當(dāng)x<1時，g'(x)>0，當(dāng)x>1時，g'(x)<0，所以g(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.又g(1)=1e，當(dāng)x→-∞時，g(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時，g(x)→0，所以當(dāng)0<2a<1e時，f(x)有故所求實數(shù)a的取值范圍為(2e，+∞).(2)證明：因為g(0)=0，所以由(1)不妨設(shè)0<x1<1<x2，因為x1，x2為f(x)的極值點，所以2所以ln2+所以x2-x1=lnx2-lnx1，要證明2x1x2<x1+x2，可證明2x1x2(lnx2-lnx1)<x22-即證明2lnx2x1<x設(shè)x2x1=t(t>1)，即要證明2lnt-t+1t<0在t∈(1，記h(t)=2lnt-t+1t，則h'(t)=2t-1-1t2=-t2+2t-1t2=-(t-1)2t2，當(dāng)t>1時，所以當(dāng)t>1時，h(t)<h(1)=0，即2lnt-t+1t<0，即2x1x2<x1+x26.(20分)已知函數(shù)f(x)=ae-x+lnx-1a∈R恰有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，且x1+x2≤2ln3，求x解：f'(x)=ex-axxex(x>0).依題意，f'(x1)=f'(則e兩式相除得，ex2-x1=x2x1，x2=tx1，et-所以x1=lntt-1，x所以x1+x2=t+1設(shè)h(t)=t+1lntt-1(t>1)，則h'設(shè)φ(t)=t-1t-2lnt(t>1)，則φ'(t)=1+1t2-2t=所以φ(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則φ(t)>φ(1)=0，所以h'(t)>0，則h(t)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，又x1+x2≤2ln3，即h(t)≤2ln3，因為h(3)=2ln3，所以t∈(1，3]，即x2x17.(20分)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(5分)(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b<e.(15解：(1)由題意知，f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=1-lnx+x·-1x=-ln當(dāng)x∈(0，1)時，f'(x)>0；當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)<0.所以函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.(2)證明：由題意，a，b是兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，兩邊同時除以ab，得lnaa-lnbb=1b-1a，即lna+1a令x1=1