第五節(jié)一元二次函數、方程和不等式【課程標準】1.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義；能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯(lián)系.1.一元二次不等式我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.2.三個“二次”間的關系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1<x2)有兩個相等實根x1=x2=-b沒有實根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}x|xR一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??[微提醒]對于不等式ax2+bx+c>0，求解時不要忘記a=0時的情形.【常用結論】(1)分式不等式的解法①f(x)gx>0(<0)?f(x)·gx②f(x)gx(2)絕對值不等式的解法絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(-∞，-a)∪(a，+∞)；|x|<a(a>0)的解集為(-a，a).記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.(3)一元二次不等式恒成立的條件①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是a②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是a【自主檢測】1.(多選)下列結論正確的是 ()A．若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0B．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數根，則不等式ax2+bx+c>0的解集為RC．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0D．若二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向下，則不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集答案：AD2.設m+n>0，則關于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 ()A．{x|x<-n或x>m} B．{x|-n<x<m}C．{x|x<-m或x>n} D．{x|-m<x<n}答案：B解析：(m-x)(n+x)>0?(x-m)(x+n)<0，又因為m+n>0，所以m>-n，所以不等式的解集為{x|-n<x<m}.故選B．3.不等式-2x2+x≤-3的解集為.

答案：(-∞，-1]∪3解析：由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0，即(2x-3)(x+1)≥0，得x≤-1或x≥32，故不等式的解集為(-∞，-1]∪34.(易錯題)若不等式2kx2+kx-38<0對一切實數x都成立，則實數k的取值范圍為.答案：(-3，0]解析：當k=0時，滿足題意；當k≠0時，k<0，Δ=k2-4×2k×-38<0，解得-3<k<0，所以5.若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是.

答案：{a|a≥0}解析：當a=0時，不等式為3>0，滿足題意；當a≠0時，需滿足a>0，Δ=a2-4aa+3≤0，學生用書?第15頁考點一一元二次不等式的解法多維探究角度1不含參數的一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)-3x2-2x+8≥0；(2)0<x2-x-2≤4.解：(1)原不等式可化為3x2+2x-8≤0，即(3x-4)(x+2)≤0，解得-2≤x≤43所以原不等式的解集為x-(2)原不等式等價于x2-x-2>0，x2-x所以原不等式的解集為{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.解一元二次不等式的4個步驟

角度2含參數的一元二次不等式的解法解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).解：原不等式可化為(ax-1)(x-1)<0.因為a>0，所以ax-1a(x-1)所以當a>1時，解得1a<x<1當a=1時，不等式無解；當0<a<1時，解得1<x<1a綜上，當0<a<1時，不等式的解集為x1<當a=1時，不等式的解集為?；當a>1時，不等式的解集為x1對含參數的不等式，應對參數進行分類討論：

1.根據二次項系數為正、負及零進行分類.

2.根據判別式Δ與0的關系進行分類.

3.當有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論.對點練1.解下列關于x的不等式：(1)x-3x>-2；(2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0)；(3)1x+1>解：(1)由不等式x-3x>-2，可得x>2或x<1.由x>2，得x>4；由x<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集為{x|x>4或0≤x<1}.(2)原不等式轉化為(x-a)(x-a2)<0.當a2>a，即a>1時，不等式的解集為{x|a<x<a2}；當a2<a，即0<a<1時，不等式的解集為{x|a2<x<a}；當a2=a，即a=1時，不等式的解集為?.(3)1x+1>1?1x+1-1>0?-xx+1>0?xx+1<0?-1<x<考點二三個“二次”的關系師生共研(多選)若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1，2)，則 ()A．相應的一元二次函數的圖象開口向下B．b<0且c>0C．a+b+c>0D．不等式ax2-cx+b<0的解集是R答案：AB解析：由題意知a<0，所以A正確；由題意可得-1，2是方程ax2-bx+c=0的兩個根，所以-1+2=ba，-1×2=ca，所以b=a，c=-2a，得b<0，c>0，所以B正確；因為-1是方程ax2-bx+c=0的根，所以把x=-1代入方程得a+b+c=0，所以C不正確；把b=a，c=-2a代入不等式ax2-cx+b<0，可得ax2+2ax+a<0，因為a<0，所以x2+2x+1>0，即(x+1)21.一元二次方程的根就是相應一元二次函數的零點，也是相應一元二次不等式的解集的端點值.

2.給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應一元二次函數的圖象開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數的關系求待定系數.學生用書?第16頁對點練2.已知關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-2或x>-12答案：1解析：由條件知-2，-12是方程ax2+bx+c=0的兩根，且a<0，所以-2-12=-ba，-2×-12=ca，所以b=52a，c=a.從而不等式ax2-bx+c>0，即為ax2-52x+1>0.因為a<0，所以原不等式等價于2x2-5x+2<0，即考點三一元二次不等式恒成立問題多維探究角度1在R上的恒成立問題已知關于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是 ()A．[0，1] B．(0，1]C．(-∞，0)∪(1，+∞) D．(-∞，0]∪[1，+∞)答案：A解析：當k=0時，8>0恒成立，符合題意；當k≠0時，要使kx2-6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立，只需k>0，Δ=36k2-4kk+8≤0，解得0角度2在給定區(qū)間上的恒成立問題已知函數f(x)=mx2-mx-1.若對于x∈[1，3]，f(x)<5-m恒成立，則實數m的取值范圍為.

答案：-∞解析：要使f(x)<5-m在x∈[1，3]上恒成立，即mx-122+34m-6<0在x∈法一：令gx=mx-122+34m-6，x∈[1，3].當m>0時，g(x)在[1，3]上單調遞增，所以gxmax=g(3)，即7m-6<0，所以m<67，所以0<m<67；當m=0時，-6<0恒成立；當m<0時，g(x)在[1，3]上單調遞減，所以gxmax=g(1)，即m-6<0，所以m<6，所以m<法二：因為x2-x+1=x-122+34>0，m(x2-x+1)-6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<6x2-x+1在x∈[1，3]上恒成立.令y=6x2-x+1，因為函數y=6x2-x角度3在給定參數范圍內的恒成立問題若不等式x2+px>4x+p-3，當0≤p≤4時恒成立，則x的取值范圍是()A．[-1，3]B．(-∞，-1]C．[3，+∞)D．(-∞，-1)∪(3，+∞)答案：D解析：不等式x2+px>4x+p-3可化為(x-1)p+x2-4x+3>0，由已知可得[x-1p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤可得f(0)=x2-4x+3>0恒成立問題求參數范圍的解題策略

1.弄清楚自變量、參數，一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數.2.一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ，一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般運用分離參數法求最值或進行分類討論.對點練3.(1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集為?，則實數a的取值范圍是()A．{a|a<-2或a≥2} B．{a|-2<a<2}C．{a|-2<a≤2} D．{a|a<2}(2)已知函數f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在區(qū)間(m-1，-2m)上恒成立，則實數m的取值范圍是.

答案：(1)C(2)0解析：(1)因為不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集為?，所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集為R.當a-2=0，即a=2時，-4<0，符合題意；當a-2≠0，即a≠2時，需滿足Δ=2a-22+4×4×a-2<0，a-2<0，解得-2(2)由題意得x2-4x-4<1，解得-1<x<5，即x∈(-1，5).因為f(x)<1在區(qū)間(m-1，-2m)上恒成立，所以(m-1，-2m)?(-1，5)，所以m-1<-2m，m-1≥-[真題再現](2023·新課標Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N=xx2-x-6≥0A．-2，-1C．-2 D．答案：C解析：法一：因為N=xx2-x-6≥0=-∞，-2∪3，+∞法二：因為M=-2，-1，0，1，2，將-2，-1，0，1，2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立[教材呈現](湘教版必修一P61T5)已知U=R，A={x|x2-16<0}，B={x|-x2+3x+18>0}，求A∩B，A∪B.點評：兩題均考查了一元二次不等式的解法和集合交并運算，在解一元二次不等式時首先將不等式化為標準形式，然后再利用根與系數的關系或因式分解法轉化集合，再求集合交并運算進行問題解決.課時測評5一元二次函數、方程和不等式對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(1-10，每小題5分，共50分)1.不等式|x|(1-2x)>0的解集為 ()A．(-∞，0)∪0，12 C．12，+∞答案：A解析：由題意得x≠0，當x>0時，原不等式即為x(1-2x)>0，所以0<x<12；當x<0時，原不等式即為-x(1-2x)>0，所以x<0.綜上，原不等式的解集為(-∞，0)∪0，122.已知不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-1<x<2}，則不等式2x2+bx+a<0的解集為()A．x-1<x<C．{x|-2<x<1} D．{x|x<-2或x>1}答案：A解析：因為不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-1<x<2}，所以ax2+bx+2=0的兩根為-1，2，且a<0，即-1+2=-ba，-1×2=2a，解得a=-1，b=1，則不等式可化為2x2+x-1<0，解得-1<x<12，則不等式2x2+bx+a<03.已知命題p：“?x∈R，(a+1)x2-2(a+1)x+3>0”為真命題，則實數a的取值范圍是()A．-1<a<2 B．a≥1C．a<-1 D．-1≤a<2答案：D解析：當a=-1時，3>0成立；當a≠-1時，需滿足a+1>0，Δ=4a+12-12a+1<0，解得-1<a<2.綜上所述4.對于問題“已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-1，2)，解關于x的不等式ax2-bx+c>0”，給出如下一種解法.解：由ax2+bx+c>0的解集為(-1，2)，得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集為(-2，1)，即關于x的不等式ax2-bx+c>0的解集為(-2，1).參考上述解法，若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為-1，-13∪1A．(-2，1)∪(1，3) B．(-3，-1)∪(1，2)C．(-3，-2)∪(-1，1) D．(-2，-1)∪(1，2)答案：B解析：若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為-1，-13∪12，1，則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0可看成是前者不等式中的x用1x代替得到的，所以15.(多選)已知關于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集為{x|x≤3或x≥4}，則下列結論中，正確的有()A．a>0B．不等式bx+c>0的解集為{x|x<-4}C．不等式cx2-bx+a<0的解集為xD．a+b+c>0答案：AD解析：由不等式的解集為{x|x≤3或x≥4}可知a>0且-ba=3+4=7，ca=3×4=12，所以b=-7a，c=12a，對于A，由上可知，故A正確；對于B，bx+c=-7ax+12a>0，又a>0，所以x<127，故B錯誤；對于C，cx2-bx+a=12ax2+7ax+a<0，又a>0，即12x2+7x+1<0，解得-13<x<-14，故C錯誤；對于6.(多選)關于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰有3個整數，則a的值可以為()A．-12 B．1C．-1 D．-2答案：AC解析：由題意知a<0，則排除B；對于A，當a=-12時，-12x-1x-2>0，即(x+2)(x-2)<0，解得-2<x<2，解集中恰有3個整數，符合題意；對于C，當a=-1時，(-x-1)(x-3)>0，即(x+1)(x-3)<0，解得-1<x<3，解集中恰有3個整數，符合題意；對于D，當a=-2時，(-2x-1)(x-5)>0，即(2x+1)(x-5)<0，解得-12<x<5，7.不等式3x+5x-1答案：(-∞，-1)∪(1，5)解析：不等式3x+5x-1>x化為以下兩個不等式組x-1<0，3x+5<x2-x或x-1>0，3x+5>x2-x，解x8.若不等式x2+ax+4≥0對一切x∈[1，3]恒成立，則a的最小值為.

答案：-4解析：因為當x∈[1，3]時，x2+ax+4≥0恒成立，所以a≥-x+4x恒成立，又當x∈[1，3]時，x+4x≥24=4，當且僅當x=2時取等號，所以-x+4x≤-4，所以a≥-49.若a<0，則關于x的不等式組ax-a2<0答案：(a，-a)解析：因為a<0，所以由ax-a2=a(x-a)<0，得x>a.由x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)<0，得2a<x<-a.所以原不等式組的解集為(a，-a).10.(2025·湖南常德模擬)已知函數f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域為[0，+∞)，若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m+6)，則實數c的值為.

答案：9解析：因為函數f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域為[0，+∞)，所以f(x)=x2+ax+b=0只有一個根，即Δ=a2-4b=0，則b=a24，不等式f(x)<c的解集為(m，m+6)，即x2+ax+a24<c的解集為(m，m+6)，則x2+ax+a24-c=0的兩個根為m，m+6，所以|m+6-m|=a2-411.(12分)已知集合：①A=x4x+1>1；②A={x|x2-2x-3<0}；③A={x||x-1|<2}，集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}(m為常數)，從①②③這三個條件中任選一個作為集合(1)定義A-B={x|x∈A，且x?B}，當m=0時，求A-B；(5分)(2)設命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.(7分)解：(1)選①：由4x+1>1，可得3-xx+1>0，即(x-解得-1<x<3，故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0，解得0<x<1，故B=(0，1)，則A-B=(-1，0]∪[1，3).選②：x2-2x-3<0，解得-1<x<3，故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0，解得0<x<1，故B=(0，1)，則A-B=(-1，0]∪[1，3).選③：|x-1|<2，-2<x-1<2，解得-1<x<3，故A=(-1，3)，由m=0，可得x2-x<0，即x(x-1)<0，解得0<x<1，故B=(0，1)，則A-B=(-1，0]∪[1，3).(2)由(1)可知，條件①②③求出的集合A相同，即A=(-1，3).由x2-(2m+1)x+m2+m<0，即(x-m)[x-(m+1)]<0，解得B=(m，m+1)，因為p是q成立的必要不充分條件，所以B?A，所以m>-解得-1≤m≤2，故實數m的取值范圍為[-1，2].12.(6分)已知函數fx是定義在R上的偶函數，且在0，+∞上單調遞增.若關于x的不等式fx≤4x的解集為-∞，-2∪2，+∞，則不等式fxA．(-∞，-2)∪(2，+∞)B．(-2，2)C．(-∞，-4)∪(4，+∞)D．(-4，4)答案：B解析：因為函數fx是定義在R上的偶函數，且在0，+∞上單調遞增，所以fx在-∞，0上單調遞減，又fx≤4x的解集為(-∞，-2]∪2，+∞，可得所以當x≥2，或x≤-2時，y=f(x)的圖象在y=4x圖象的下方，當-2<x<2時，y=f(x)的圖象在y=4x圖象的上方，又因為當x≥2，或x≤-2時，y=2x2的圖象在y=4x圖象的上方，當-2<x<2時，y=2x2的圖象在y=4x圖象的下方，所以當x≥2，或x≤-2時，y=f(x)的圖象在y=2x2圖象的下方，當-2<x<2時，y=f(x)的圖象在y=2x2圖象的上方，則不等式fx>2x2的解集為-2，2.13.(16分)已知函數f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式f(x)≥-2對于一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；(6分)(2)若a<0，解關于x的不等式f(x)<a-1.(10分)解：(1)?x∈R，f(x)≥-2恒成立等價于?x∈R，ax2+(1-a)x+a≥0，當a=0時，x≥0，對一切實數x不恒成立，則a≠0，