第三節(jié)函數(shù)的極值、最值與導數(shù)【課程標準】1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.1.極值點與極值極大值點與極大值極小值點與極小值設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是區(qū)間(a，b)內(nèi)的一個點，若點x0附近的函數(shù)值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值，此時x0稱為f(x)的一個極大值點設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是區(qū)間(a，b)內(nèi)的一個點，若點x0附近的函數(shù)值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值，此時x0稱為f(x)的一個極小值點極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點[微提醒](1)函數(shù)的極值不是唯一的，有的函數(shù)沒有極值，或只有極大值沒有極小值，或只有極小值沒有極大值，或既有極大值又有極小值，且在定義域上的極大(小)值可以不止一個.(2)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值，即極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小.(3)函數(shù)在極值點的導數(shù)為0.導函數(shù)的零點可能不是函數(shù)的極值點.2.求可導函數(shù)y=f(x)的極值的方法(1)若f'(c)=0，則x=c叫作函數(shù)f(x)的駐點.如果一個函數(shù)的導數(shù)在駐點的兩側(cè)變號，則該駐點就是此函數(shù)的一個極值點.(2)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，可按下列步驟求它的極值：①求導數(shù)f'(x).②求f(x)的駐點，即求方程f'(x)=0的解.③對于方程f'(x)=0的每一個解x0，分析f'(x)在x0左右兩側(cè)的符號(即討論f(x)的單調(diào)性)，確定極值點：若f'(x)在x0兩側(cè)的符號為“左正右負”，則x0為極大值點；若f'(x)在x0兩側(cè)的符號為“左負右正”，則x0為極小值點.④求出各極值點的函數(shù)值，就得到函數(shù)y=f(x)的全部極值.3.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)y=f(x)在端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大者是最大值，最小者是最小值.【常用結(jié)論】(1)對于可導函數(shù)f(x)，“f'(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點.【自主檢測】1.(多選)下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有B．函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值C．函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值D．函數(shù)的極大值一定不是函數(shù)的最小值答案：AD2.如圖是f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A解析：由題意知，只有在x=-1處，f'(-1)=0，且其兩側(cè)導數(shù)符號為左負右正，故f(x)的極小值點只有1個.故選A．3.函數(shù)f(x)=2x-xlnx的極大值是()A．1e B．2C．e D．e2答案：C解析：f'(x)=2-(lnx+1)=1-lnx.令f'(x)=0，得x=e.當0<x<e時，f'(x)>0；當x>e時，f'(x)<0.所以x=e時，f(x)取到極大值，f(x)極大值=f(e)=e.故選C．4.已知f(x)=x3-12x+1，x∈-13，1，則f(x)的最大值為答案：13427-解析：f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2)，因為x∈-13，1，所以f'(x)<0，故f(x)在-13，1上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f-1學生用書?第65頁考點一利用導數(shù)求解函數(shù)的極值問題多維探究角度1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值(2025·河南鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f'(x)，且函數(shù)y=(1-x)f'(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)答案：D解析：由題圖可知，當x<-2時，f'(x)>0；當-2<x<1時，f'(x)<0；當1<x<2時，f'(x)<0；當x>2時，f'(x)>0.故函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值.故選D．由圖象判斷函數(shù)y=f(x)極值的兩個關(guān)鍵點

1.由y=f'(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點.

2.由導函數(shù)y=f'(x)的圖象可以看出f'(x)的正負，從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性，兩者結(jié)合可得極值點.角度2求已知函數(shù)的極值(極值點)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)當a=12時，求f(x)(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).解：(1)當a=12時，f(x)=lnx-12x，x∈(0，+∞)，且f'(x)=1x-1令f'(x)=0，解得x=2，則當x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，2)2(2，+∞)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增ln2-1單調(diào)遞減故f(x)極大值=f(2)=ln2-1，無極小值.(2)f'(x)=1x-a=1-axx當a≤0時，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，無極值點；當a>0時，若x∈0，1a，則f'(x)若x∈1a，+∞，則f'(x故函數(shù)f(x)在x=1a處有極大值綜上可知，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點；當a>0時，函數(shù)f(x)有一個極大值點，即x=1a求函數(shù)的極值或極值點的步驟

第一步：求導數(shù)f'(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；

第二步：求方程f'(x)=0的根；

第三步：檢查在方程的根的左、右兩側(cè)f'(x)的符號，確定極值點或函數(shù)的極值.角度3根據(jù)已知函數(shù)的極值(點)求參數(shù)(1)(2025·山東威海模擬)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，則a+b=()A．-7 B．0C．-7或0 D．-15或6(2)(2025·江蘇蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-4x+alnx有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(-∞，2] B．(-∞，2)C．(0，2] D．(0，2)答案：(1)A(2)D解析：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2，可得f'(x)=3x2+2ax+b，因為f(x)在x=1處取得極值10，可得f'(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+a+b+a2=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3，檢驗知，當a=-3，b=3時，可得f'(x)=3x2-6x+3=3x-12≥0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，不符合題意；當a=4，b=-11時，可得f'(x)=3x2+8x-11=3x+11x-1，當x<-113或x>1時，f'(x)>0，f(x)(2)函數(shù)f(x)的定義域是(0，+∞)，f'(x)=2x-4+ax=2x2-4x+ax.因為函數(shù)f(x)有兩個極值點，所以方程f'(x)=0有兩個不相等的正根，所以方程2x2-4x+a=0有兩個不相等的正根x1，x2，所以已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)

1.列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

2.驗證：因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.

注意：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y=f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).對點練1.(1)(2025·福建福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值，則c的值為()A．2 B．4 C．6 D．2或6學生用書?第66頁(2)(2025·廣西桂林模擬)函數(shù)f(x)=lnx+12x2-ax(x>0)有極值，則實數(shù)a的取值范圍是.答案：(1)A(2)(2，+∞)解析：(1)由題意，f'(x)=x-c2+2xx-c=(x-c)·(3x-c)，則f'(2)=2-c6-c=0，所以c=2或c=6.若c=2，則f'(x)=(x-2)(3x-2)，當x∈-∞，23時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈23，2時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(2，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在x=2處有極小值，滿足題意；若c=6，則f'(x)=(x-6)(3x-6)，當x∈(-∞，2)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(2，6)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(6，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x(2)因為f(x)=lnx+12x2-ax(x>0)，所以f'(x)=1x+x-a，因為函數(shù)f(x)=lnx+12x2-ax(x>0)有極值，所以y=f'(x)有變號零點.令f'(x)=1x+x-a=0，得a=1x+x.設(shè)g(x)=1x+x，則g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(1)=2，所以a>2，即實數(shù)a考點二利用導數(shù)研究函數(shù)最值多維探究角度1不含參數(shù)函數(shù)的最值(1)(2025·廣東佛山模擬)函數(shù)f(x)=sinx+12sin2x的最大值為.

(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

答案：(1)334解析：(1)由題意得f(x)為周期函數(shù)，且T=2π，f'(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1)，因為cosx+1≥0，所以當12<cosx≤1時，f'(x)>0，當-1≤cosx<12時，f'(x)≤0，即當2kπ-π3<x<2kπ+π3，k∈Z時，f(x)單調(diào)遞增，當2kπ+π3<x<2kπ+5π3，k∈Z時，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x=2kπ+π3，k∈Z處取得極大值，即最大值，所以f(x)max=sinπ3+12sin2×(2)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的定義域為(0，+∞).①當x>12時，f(x)=2x-1-2lnx，所以f'(x)=2-2x=2(x-1)x，當12<x<1時，f'(x)<0，當x>1時，f'(x)>0，所以f(x)min=f(1)=2-1-2ln1=1；②當0<x≤12時，f(x)=1-2x-2lnx在0，12上單調(diào)遞減，所以f(x)min=f12=-2ln12=2ln2=ln4>ln角度2含有參數(shù)函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)=xlnx-a(x-1)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值.解：f(x)=xlnx-a(x-1)，則f'(x)=lnx+1-a，由f'(x)=0，得x=ea-1.所以f(x)在區(qū)間(0，ea-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea-1，+∞)上單調(diào)遞增.①當ea-1≤1，即a≤1時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(1)=0.②當1<ea-1<e，即1<a<2時，f(x)在1，e在(ea-1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為fea-1=a-e③當ea-1≥e，即a≥2時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(e)=a+e-ae.綜上，當a≤1時，f(x)的最小值為0；當1<a<2時，f(x)的最小值為a-ea-1；當a≥2時，f(x)的最小值為a+e-ae.角度3已知函數(shù)的最值求參數(shù)(1)(2025·福建莆田模擬)已知函數(shù)f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4，則a=()A．3 B．4 C．5 D．6(2)(2025·遼寧沈陽檢測)函數(shù)f(x)=12x2-lnx在區(qū)間a，a+12(其中a>0)答案：(1)A(2)1解析：(1)由題意得f'(x)=2(x+1)-sinx+1，f″(x)=2-cosx+1>0，所以f'(x)單調(diào)遞增，又f'(-1)=0，所以當x<-1時，f'(x)<0，當x>-1時，f'(x)>0，故x=-1為f(x)的極小值點，也是最小值點，即f(-1)=1+a=4，解得a=3.故選(2)由題意得f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=x-1x，令f'(x)>0，解得x>1，令f'(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，因為f(x)在區(qū)間a，a+12(其中a>0)上存在最小值，所以a<1，a+1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上最值的方法

(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則f(a)與f(b)中，一個為最大值，一個為最小值.

(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值.

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，則函數(shù)在該極值點處取得最大(或最小)值.

2.由函數(shù)的最值求參數(shù)，需先求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件列出關(guān)于參數(shù)的方程(不等式)組，從而求解.對點練2.已知函數(shù)f(x)=ax+lnx，其中a為常數(shù).(1)當a=-1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為-3，求a的值.解：(1)易知f(x)的定義域為(0，+∞)，當a=-1時，f(x)=-x+lnx，f'(x)=-1+1x=1-xx，令f'(x)=0，當0<x<1時，f'(x)>0；當x>1時，f'(x)<0.所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.所以f(x)max=f(1)=-1.所以當a=-1時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上的最大值為-1.(2)f'(x)=a+1x，x∈0，e①若a≥-1e，則f'(x)≥0，從而f(x)在(0，e]上是增函數(shù)所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0，不符合題意；②若a<-1e，令f'(x)>0，則a+1x>0，結(jié)合x∈(0，e]，解得0<x<-令f'(x)<0，則a+1x<0，結(jié)合x∈(0，e]解得-1a<x≤e從而f(x)在0，-1a上單調(diào)遞增，所以f(x)max=f-1a=-1+ln令-1+ln-1a=-3，則ln-1即a=-e2.因為-e2<-1e，所以a=-e2符合題意學生用書?第67頁[真題再現(xiàn)](1)(2021·全國乙卷)設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點，則()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)b<a2 D．a(chǎn)b>a2答案：D解析：f(x)=a(x-a)2(x-b)=a[x3-(2a+b)x2+(2ab+a2)x-a2b]，所以f'(x)=a[3x2-(4a+2b)x+2ab+a2]=a(x-a)[3x-(a+2b)].令f'(x)=0，得x1=a，x2=a+2b3.①若a>0，要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值，則需f(x)在(-∞，a)上單調(diào)遞增，在a，a+2b3上單調(diào)遞減，此時需a<a+2b3，得0<a<b，所以a2<ab.②若a<0，要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值，則需f(x)在a+2b3，a上單調(diào)遞增，在(a，+∞)上單調(diào)遞減，此時需滿足a>a+2b3(2)(2024·新課標Ⅱ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3.若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.解：易知函數(shù)f(x)的定義域為R，f'x=ex-a.當a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值；當a>0時，由f'x>0，得x>lna，由f'(x)<0，得x<lna，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，lna)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lna，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為f(lna)=a-alna-a3.由題意知a-alna-a3<0(a>0)，等價于1-lna-a2<0(a>0).令ga=1-lna-a2(a>0)，則g'a=-1a-2a<0所以函數(shù)g(a)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又g(1)=0，故當0<a≤1時，g(a)≥0；當a>1時，g(a)<0.故實數(shù)a的取值范圍為(1，+∞).[教材呈現(xiàn)](湘教版選擇性必修二P51T17)試問：a為何值時，函數(shù)f(x)=asinx+13sin3x在x=π3處取得極值?點評：真題源于教材，形式相近，改編力度，突出教材的引領(lǐng)作用.真題和教材習題都是考查函數(shù)極值這個重要知識點，其命題的角度相同，都是根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)問題，解題思路和方法一致，此類問題的解決要注意分類討論思想的體現(xiàn).課時測評20函數(shù)的極值、最值與導數(shù)對應(yīng)學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(1-9，每小題5分，共45分)1.已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，導函數(shù)f'(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：由函數(shù)極值的定義和導函數(shù)的圖象可知，f'(x)在(a，b)上與x軸的交點個數(shù)為4，但是在原點附近的導數(shù)值恒大于零，故x=0不是函數(shù)f(x)的極值點.其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導數(shù)值左正右負，故極大值點有2個.故選B．2.(2024·江蘇南通段考)已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2處取得極小值，則f(x)的極大值為()A．2 B．-5C．3+ln2 D．-2+2ln2答案：B解析：f'(x)=2x+2ax-3，因為f(x)在x=2處取得極小值，所以f'(2)=4a-2=0，解得a=12，所以f(x)=2lnx+12x2-3x，f'(x)=2x+x-3=x-1x-2x，所以f(x)在(0，1)，(2，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值為f(1)3.(2022·全國乙卷)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0，2π]的最小值、最大值分別為()A．-π2，π2C．-π2，π2+2 D．答案：D解析：f(x)=cosx+(x+1)sinx+1，x∈[0，2π]，則f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x=-1(舍去)或x=π2或x=3π2.因為fπ2=cosπ2+π2+1sinπ2+1=2+π2，f3π2=cos3π2+3π2+1sin3π2+1=-3π2，又f(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2，f(2π)=cos2π+(2π+1)sin2π+1=2，所以f(x)max=fπ2=2+4.(2022·全國甲卷)當x=1時，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值-2，則f'(2)=(A．-1 B．-12C．12 D．答案：B解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，依題意可知f(1)=-2，f'(1)=0，而f'(x)=ax-bx2，所以b=-2，a-b=0，即a=-2，b=-2，所以f'(x)=-2x+2x2，因此函數(shù)5.(多選)下列說法正確的是()A．f(x)=x+1exB．f(x)=exx(x>0)C．f(x)=x-lnx(x>0)的最小值為1D．f(x)=xe1x(x>0)答案：AC解析：f(x)=x+1exx∈R，f'(x)=1-1ex=ex-1ex，函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=1，故A正確；f(x)=exx(x>0)，f'(x)=exx-1x2，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=e，故B錯誤；f(x)=x-lnx(x>0)，f'(x)=1-1x=x-1x，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=1，故C正確；f(x)=xe1x(x>0)，f'(x)=e1x+xe1x·-1x2=x-1e16.(多選)(2024·湖南永州一模)對于函數(shù)f(x)=x+1ex，則A．f(x)有極大值，沒有極小值B．f(x)有極小值，沒有極大值C．函數(shù)f(x)與y=-x+2的圖象有兩個交點D．函數(shù)g(x)=f(x)-12答案：AD解析：由題意得f'(x)=ex-exx+1(ex)2=-xex，因為ex>0在x∈R恒成立，所以當x>0時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x<0時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x=0處有極大值，沒有極小值，故A正確，B錯誤；根據(jù)f(x)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f(由圖可知，函數(shù)f(x)與y=-x+2的圖象只有一個交點，故C錯誤；函數(shù)g(x)=f(x)-12024的零點個數(shù)即為函數(shù)f(x)與y=12024的圖象交點個數(shù)，畫出函數(shù)f(x)及y=12024的圖象，如圖②所示：由圖可知，函數(shù)f(x)與y=12024的圖象有兩個交點，即函數(shù)g(x)=f(x)7.(開放題)(2024·山東濰坊模擬)寫出一個存在極值的奇函數(shù)f(x)=.

答案：sinx(答案不唯一)解析：正弦函數(shù)f(x)=sinx為奇函數(shù)，且存在極值.8.已知函數(shù)f(x)=ax3-x，若f(x)有極大值29，則a=.答案：3解析：f'(x)=3ax2-1，當a≤0時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，無極大值.當a>0時，令f'(x)=0，得x=±13a，令f'(x)>0，得x<-13a或x>13a，令f'(x)<0，得-13a<x<13a，所以f(x)在-∞，-13a上單調(diào)遞增，在-13a，13a上單調(diào)遞減，在19.甲、乙兩地相距240km，汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車每小時的運輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為v36400元.為使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以答案：80解析：設(shè)全程運輸成本為y元，由題意，得y=240v160+v36400=240160v+v26400，v>0，y'=240-160v2+2v6400.令y'=0，得v=80.當v>80時，y'>0；當0<v<80時，y'<0.所以函數(shù)10.(13分)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(5分)(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，π2上的最大值和最小值.解：(1)因為f(x)=excosx-x，所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1，f'(0)=0.又因為f(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=f'(x)=excosx-sin則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.當x∈0，π2時，h'(x)所以h(x)在區(qū)間0，π所以對任意x∈0，π2有h(x)≤h(0)=0，即f'(x)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0，π因此f(x)在區(qū)間0，π2上的最大值為f(0)=1，最小值為fπ11.(14分)已知函數(shù)f(x)=lnxx.設(shè)實數(shù)a>0，求函數(shù)F(x)=af(x)在[a，2a]解：因為F(x)=af(x)=aln所以F'(x)=a1-lnxx2(令F'(x)>0得0<x<e，令F'(x)<0得x>e，所以F(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，所以F(x)在[a，2a]上的最小值F(x)min=min{Fa，F(xiàn)2a}因為Fa-F2a=lna-12ln2a=1所以當0<a≤2時，F(xiàn)(a)-F(2a)≤0，F(xiàn)(x)min=Fa=lna.當a>2時，F(xiàn)(a)-F(2a)>0，F(xiàn)(x)min=F2a=12ln綜上所述，當0<a≤2時