【課標(biāo)解讀】 四邊形是中考中的重要考點(diǎn)，主要考察學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、圖形知識(shí)的掌握，輔助線的添加等內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，注重學(xué)生正確的推理與計(jì)算能力的培養(yǎng)【解題策略】解決這類問題的關(guān)鍵應(yīng)把握四邊形的性質(zhì)與判定，加強(qiáng)相關(guān)圖形之間的聯(lián)系，利用所給圖形及圖形之間關(guān)系，進(jìn)行觀察、分析找到解決途徑，進(jìn)一步體會(huì)三角形與四邊形之間相互轉(zhuǎn)化、相互依存的內(nèi)在關(guān)系?！究键c(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一特殊四邊形與三角形的綜合此類問題主要涉及到特殊平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形、特殊三角形的性質(zhì)及其知識(shí)的綜合，把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵?！镜淅?】（2018貴陽）（12.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC邊上的一點(diǎn)，且BP=2CP．（1）用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點(diǎn)E，連接AE、BE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖②，在（1）的條體下，判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EP并廷長交AB的廷長線于點(diǎn)F，連接AP，不添加輔助線，△PFB能否由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形？如果能，說明理由，并寫出兩種方法（指出對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離）【解答】解：（1）依題意作出圖形如圖①所示，（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE=CD=1，（3）∵BP=2CP，BC=，∴CP=，BP=，在Rt△CEP中，tan∠CEP==，∴∠CEP=30°，∴∠BEP=30°，∴∠AEP=90°，∵CD∥AB，∴∠F=∠CEP=30°，在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形，變換的方法為：將△BPF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°和△EPA重合，①沿PF折疊，②沿AE折疊．★考點(diǎn)二特殊四邊形與四邊形的綜合此類問題主要涉及到多個(gè)特殊平行四邊形之間的關(guān)系，充分利用各個(gè)四邊形的特點(diǎn)并建立相關(guān)的聯(lián)系，根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行解答即可，這種問題經(jīng)常和旋轉(zhuǎn)變換及其勾股定理相結(jié)合進(jìn)行考查.【典例2】（2018·湖北十堰·10分）已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．（1）如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB=13，CE=5，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出MF的長．【解答】解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM=EM．理由：如圖1中，延長EM交AD于H．（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM=EM．理由：如圖2中，延長EM交DA的延長線于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME．（3）如圖3中，作MR⊥DE于R．在Rt△MRF中，F(xiàn)M==，故滿足條件的MF的值為或．★考點(diǎn)三特殊四邊形與圖形變換的綜合對(duì)于特殊平行四邊形的綜合考查過程中，,特殊平行四邊形與折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換常常如影隨形.解決相關(guān)問題時(shí),既要關(guān)注特殊平行四邊形的性質(zhì),又要關(guān)注圖形變換的性質(zhì).【典例3】（2018湖南郴州）（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)（不含C，D兩端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF∥BC，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．（1）如圖1，將△PDF沿對(duì)角線BD翻折得到△QDF，QF交AD于點(diǎn)E．求證：△DEF是等腰三角形；（2）如圖2，將△PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△P'DF'，連接P'C，F(xiàn)'B．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的內(nèi)部時(shí)，求證：△DP'C∽△DF'B．[來源:網(wǎng)ZXXK]②如圖3，若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，△DF'B能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí)tan∠DBF'的值，如果不能，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，從而易證△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角，故需要對(duì)該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分類討論．（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的內(nèi)部時(shí)，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②當(dāng)∠F′DB=90°時(shí)，如圖所示，∵DF′=DF=BD，∴=，∴tan∠DBF′==，★考點(diǎn)四特殊四邊形與相似三角形的綜合這類問題經(jīng)常涉及到邊邊之間的關(guān)系時(shí)出現(xiàn)相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，找到邊邊關(guān)系從而容易解答相關(guān)問題，必要時(shí)利用解直角三角形的知識(shí).【典例4】（2018包頭）（12.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，連接BD，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OE．當(dāng)OE=DE時(shí)，求AE的長；（2）如圖2，連接BE，EC，過點(diǎn)E作EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，連接CF，與BE交于點(diǎn)G．當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求BG的長；（3）如圖3，連接EC，點(diǎn)H在CD上，將矩形ABCD沿直線EH折疊，折疊后點(diǎn)D落在EC上的點(diǎn)D'處，過點(diǎn)D′作D′N⊥AD于點(diǎn)N，與EH交于點(diǎn)M，且AE=1．①求的值；②連接BE，△D'MH與△CBE是否相似？請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）如圖1，連接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，BD=，∵O是BD中點(diǎn)，∴OD=OB=OA=，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴，∴DO2=DE?DA，∴設(shè)AE=x，∴DE=5﹣x，∴（）2=5（5﹣x），∴x=，即：AE=；（2）如圖2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴AE=CD=3，∵∠D=∠A=90°，∴△AEF≌△DCE，∴AF=DE=2，∴BF=AB﹣AF=1，過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，∵∠KCG=∠BCF，∴△CHG∽△CBF，∴，設(shè)BK=GK=y，∴CK=5﹣y，∴y=，∴BK=GK=，在Rt△GKB中，BG=；（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，∵AE=1，AD=5，∴DE=4，∵DC=3，∴EC=5，由折疊知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，∴D'C=1，∴△EMN∽△EHD，∴，∵D'N∥DC，∴∠ED'M=∠ECH，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴，∴，∴，∴；②相似，理由：由折疊知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，∴∠MD'H+∠ED'N=90°，∵∠END'=90°，∴∠ED'N+∠NED'=90°，★考點(diǎn)五特殊四邊形與圓的綜合【典例5】（2018湖南懷化）（12.00分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．（1）請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，并以AB為直徑作⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，⊙O交邊AD于點(diǎn)F，連接BF，交AE于點(diǎn)G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半徑．【分析】（1）添加條件AD=BC，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗(yàn)證即可；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）由平行四邊形的對(duì)邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再由AE與BE為角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到∠AGF=∠AEB，根據(jù)sin∠AGF的值，確定出sin∠AEB的值，求出AB的長，即可確定出圓的半徑．（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE與BE分別為∠DAB與∠CBA的平分線，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB為圓O的直徑，點(diǎn)F在圓O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF==，∵AE=4，∴AB=5，則圓O的半徑為2.5．考點(diǎn)六特殊四邊形與函數(shù)的綜合【例題6】（2018哈爾濱）（10.00分）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，直線y=﹣x+與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形．（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖2，連接AC，點(diǎn)P為△ACD內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP，BP與AC交于點(diǎn)G，且∠APB=60°，點(diǎn)E在線段AP上，點(diǎn)F在線段BP上，且BF=AE，連接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)PE=AE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖1中，∵y=﹣x+，∴B（，0），C（0，），∴BO=，OC=，在Rt△OBC中，BC==7，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=7，∴OA=AB﹣OB=7﹣=，∴A（﹣，0）．（2）如圖2中，連接CE、CF．∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠CFE=60°，EF=FC，∵∠AFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，∴AF2+EF2=49．（3）如圖3中，延長CE交FA的延長線于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP設(shè)截取BT=PA，連接AT、CT、CF、PC．∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，∴△CPE≌△HAE，∴∠PCE=∠H，∴PC∥FH，∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，∴△ACP≌△BCT，∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，∴∠PCT=∠ACB=60°，∴△CPT是等邊三角形，∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，∵CP∥FH，∴∠HFP=∠CPT=60°，∵∠APB=60°，∴△APF是等邊三角形，∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°，∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°，∴∠TCF=∠TFC，∴TF=TC=TP，∴AT⊥PF，設(shè)BF=m，則AE=PE=m，∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，【講透練活】變式1：（2018·重慶市B卷）（4.00分）如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，頂點(diǎn)A在第二象限，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C，D．若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，BE=3DE，則k的值為（）A． B．3 C． D．5【分析】由已知，可得菱形邊長為5，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可用勾股定理構(gòu)造方程，進(jìn)而求出k值．【解答】設(shè)OB=a則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，a+3），點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，a）∵點(diǎn)D.C在雙曲線上∴1×（a+3）=5a∴a=∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，）∴k=故選：C．變式2：（2018古呼和浩特）（6.00分）如圖，已知A、F、C、D四點(diǎn)在同一條直線上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，請(qǐng)直接寫出使四邊形EFBC為菱形時(shí)AF的長度．【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明．（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解決問題；（2）如圖，連接AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四邊形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．變式3：(2017·濰坊)邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上，DE∥AB，EC＝2eq\r(3).(1)如圖1，將△DEC沿射線方向平移，得到△D′E′C′，邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M，邊C′D′與∠ACC′的平分線交于點(diǎn)N，當(dāng)CC′多大時(shí)，四邊形MCND′為菱形？并說明理由；(2)如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，連接AD′，BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P.①在旋轉(zhuǎn)過程中，AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD′的值．(結(jié)果保留根號(hào))圖1圖2解：(1)當(dāng)CC′＝eq\r(3)時(shí)，四邊形MCND′是菱形．∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′都是等邊三角形．∴MC＝CE′，NC＝CC′.∵E′C′＝EC＝2eq\r(3)，四邊形MCND′是菱形．∴CN＝CM.∴CC′＝eq\f(1,2)E′C′＝eq\r(3).②連接CP.在△ACP中，由三角形三邊關(guān)系，得AP＜AC＋CP，∴當(dāng)點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，如圖．∵CD′＝CE′，P為D′E′的中點(diǎn)，∴AP⊥D′E′，PD′＝eq\r(3).∴CP＝3.∴AP＝6＋3＝9.在Rt△APD′中，由勾股定理，得AD′＝eq\r(AP2＋PD′2)＝2eq\r(21).變式4：（2018吉林）（8.00分）如圖①，在△ABC中，AB=AC，過AB上一點(diǎn)D作DE∥AC交BC于點(diǎn)E，以E為頂點(diǎn)，ED為一邊，作∠DEF=∠A，另一邊EF交AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，?ADEF的形狀為菱形；（3）延長圖①中的DE到點(diǎn)G，使EG=DE，連接AE，AG，F(xiàn)G，得到圖②，若AD=AG，判斷四邊形AEGF的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDE=∠A，根據(jù)題意得到∠DEF=∠BDE，根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥EF，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到DE=AC，得到AD=DE，根據(jù)菱形的判定定理證明；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE⊥EG，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明．（2）解：?ADEF的形狀為菱形，理由如下：∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AD=AB，∵DE∥AC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴DE=AC，∵AB=AC，∴AD=DE，∴平行四邊形ADEF為菱形，故答案為：菱形；（3）四邊形AEGF是矩形，理由如下：由（1）得，四邊形ADEF為平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE，∵EG=DE，∴AF∥DE，AF=GE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∵AD=AG，EG=DE，∴AE⊥EG，∴四邊形AEGF是矩形．變式5.（2018·遼寧省盤錦市）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在線段AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，∠B=∠BAE=30°．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AC=3，求⊙O的半徑r；（3）在（1）的條件下，判斷以A.O、E.F為頂點(diǎn)的四邊形為哪種特殊四邊形，并說明理由．（3）以A.O、E.F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由：如圖3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，連接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，連接EF，OE，∴OE=OF．∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．∵OE=OF，∴△OEF是等邊三角形，∴OE=EF．∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四邊形OAFE是菱形．變式6：（2018吉林）（10.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q兩點(diǎn)分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線AB﹣BC運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；點(diǎn)Q在BD上以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥AD，垂足為點(diǎn)N．連接PQ，以PQ，PN為鄰邊作?PQMN．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），?PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y（cm2）（1）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，x=；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時(shí)，直接寫出x的值．【解答】解：（1）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，BQ=2PB，∴2x=2（2﹣2x），∴x=s．故答案為s．（2）①如圖1中，當(dāng)0＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN．y=2x×x=2x2．②如圖②中，當(dāng)＜x≤1時(shí)，重疊部分是四邊形PQEN．y=（2﹣x+2tx×x=x2+x③如圖3中，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，重疊部分是四邊形PNEQ．則有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過CD的中點(diǎn)E時(shí)，滿足條件．

一、選擇題（10×3=30分）1.（2018?貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF∥CB，交AB于點(diǎn)F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解．2.（2018?哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=8，tan∠ABD=，則線段AB的長為（）A． B．2 C．5 D．10【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，故選：C．3.（2018?無錫）如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G、H都在邊AD上，若AB=3，BC=4，則tan∠AFE的值（）A．等于 B．等于C．等于 D．隨點(diǎn)E位置的變化而變化【分析】根據(jù)題意推知EF∥AD，由該平行線的性質(zhì)推知△AEH∽△ACD，結(jié)合該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和銳角三角函數(shù)的定義解答．4.（2018?遵義）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E、F，連接PB、PD．若AE=2，PF=8．則圖中陰影部分的面積為（）A．10 B．12 C．16 D．18【分析】想辦法證明S△PEB=S△PFD解答即可．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．5.（2017畢節(jié)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且∠EAF=45°，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，則下列判斷不正確的是（）www-2-1-cnjy-comA．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性質(zhì)；S8：相似三角形的判定．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE′=AE，∠E′AE=90°，于是得到△AEE′是等腰直角三角形，故A正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠E′AD=∠BAE，由正方形的性質(zhì)得到∠DAB=90°，推出∠E′AF=∠EAF，于是得到AF垂直平分EE'，故B正確；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠FE′E=∠DAF，于是得到△E′EC∽△AFD，故C正確；由于AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，于是得到△AE′F不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤．∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正確；∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C正確；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤；故選D．6.（2017內(nèi)江）如圖，在矩形AOBC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），∠ABO=30°，將△ABC沿AB所在直線對(duì)折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（2，） C．（，） D．（，3﹣）【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出對(duì)應(yīng)線段長，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)．過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=3×cos30°=，∴MO=﹣3=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．故選：A．7.（2018?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A1處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ONC1三邊關(guān)系，再利用勾股定理得出答案．則（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（負(fù)數(shù)舍去），則NO=，NC1=，故點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為：（﹣，）．故選：A．8.2018?威海）矩形ABCD與CEFG，如圖放置，點(diǎn)B，C，E共線，點(diǎn)C，D，G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，則GH=（）A．1 B． C． D．【分析】延長GH交AD于點(diǎn)P，先證△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，從而得出答案．【解答】解：如圖，延長GH交AD于點(diǎn)P，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，則GH=PG=×=，故選：C．9.（2017呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E，F(xiàn)為BD所在直線上的兩點(diǎn)，若AE=，∠EAF=135°，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=1 B．tan∠AFO=C．AF= D．四邊形AFCE的面積為【考點(diǎn)】LE：正方形的性質(zhì)；T7：解直角三角形．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AO的長，用勾股定理求出EO的長，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BF的長，再一一計(jì)算即可判斷．∴=，∴=，∴BF=，在Rt△AOF中，AF===，故C正確，tan∠AFO===，故B錯(cuò)誤，∴S四邊形AECF=?AC?EF=××=，故D錯(cuò)誤，故選C．10.（2017廣西）如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN．下列五個(gè)結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，則S△OMN的最小值是，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；根據(jù)△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正確；∵△OCM≌△OBN，∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，∴當(dāng)△MNB的面積最大時(shí)，△MNO的面積最小，設(shè)BN=x=CM，則BM=2﹣x，∴△MNB的面積=x（2﹣x）=﹣x2+x，∴當(dāng)x=1時(shí)，△MNB的面積有最大值，此時(shí)S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正確；綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是5個(gè)，故選：D．二、填空題（6×4=24分）.11.（2017貴州安順）如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為．【分析】由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BD，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時(shí)PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的邊長為6，可求出AB的長，從而得出結(jié)果．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=6．故所求最小值為6．故答案為：6．12.（2017?營口）在矩形紙片ABCD中，AD=8，AB=6，E是邊BC上的點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，BE的長為．【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）；LB：矩形的性質(zhì)．【分析】由AD=8、AB=6結(jié)合矩形的性質(zhì)可得出AC=10，△EFC為直角三角形分兩種情況：①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，可得出AE平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出QUOTE=QUOTE，解之即可得出BE的長度；②當(dāng)∠FEC=90°時(shí)，可得出四邊形ABEF為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出BE的長度．②當(dāng)∠FEC=90°時(shí)，如圖2所示．∵∠FEC=90°，∴∠FEB=90°，∴∠AEF=∠BEA=45°，∴四邊形ABEF為正方形，∴BE=AB=6．綜上所述：BE的長為3或6．故答案為：3或6．13.（2018?金華）如圖2，小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在邊AD上，則的值是．【分析】設(shè)七巧板的邊長為x，根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出AB，BC，進(jìn)一步求出的值．14.（2018?連云港）如圖，E、F，G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，則AB的長為．【分析】如圖，連接BD．由△ADG∽△GCF，設(shè)CF=BF=a，CG=DG=b，可得=，推出=，可得b=a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解決問題；【解答】解：如圖，連接BD．∴b2=2a2，∵a＞0．b＞0，∴b=a，在Rt△GCF中，3a2=，∴a=，∴AB=2b=2．故答案為2．15.（2018?達(dá)州）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（﹣6，0），C（0，2）．將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在OB上的點(diǎn)A1處，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為．【分析】連接OB1，作B1H⊥OA于H，證明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．在△AOB和△HB1O，，∴△AOB≌△HB1O，∴B1H=OA=6，OH=AB=2，∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（﹣2，6），故答案為：（﹣2，6）．16.（2018?嘉興）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)E在CD上，DE=1，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則AF的值是．【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，∴P是以EF為直徑的圓O與矩形ABCD的交點(diǎn)，①當(dāng)AF=0時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)P有兩個(gè)，一個(gè)與D重合，一個(gè)交在邊AB上；②當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，設(shè)與AD邊的切點(diǎn)為P，如圖2，此時(shí)△EFP是直角三角形，點(diǎn)P只有一個(gè)，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，如圖4，連接OP，此時(shí)構(gòu)成三個(gè)直角三角形，則OP⊥BC，設(shè)AF=x，則BF=P1C=4﹣x，EP1=x﹣1，∵OP∥EC，OE=OF，∴OG=EP1=，∴⊙O的半徑為：OF=OP=，在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，∴，解得：x=，∴當(dāng)1＜AF＜時(shí)，這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，③當(dāng)AF=4，即F與B重合時(shí)，這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，如圖5，綜上所述，則AF的值是：0或1＜AF或4．故答案為：0或1＜AF或4．三、解答題（共46分）.17.（2018包頭）（8.00分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，連接BD，點(diǎn)E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．（1）求BE的長；（2）求四邊形DEBC的面積．（注意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)）【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解決問題；（2）作DF⊥BC于F．則四邊形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解決問題；（2）作DF⊥BC于F．則四邊形ABFD是矩形，∴BF=AD=6，DF=AB=6，在Rt△DFC中，F(xiàn)C==4，∴BC=6+4，∴S四邊形DEBC=S△DEB+S△BCD=×（6﹣2）×6+（6+4）×6=36+6．18.2018·吉林長春·9分）在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C.D重合），連結(jié)BE．【感知】如