第03講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)本講義亮度：1構(gòu)建知識體系明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，深入淺出，力求打扎實(shí)基礎(chǔ)；2例題經(jīng)典力求熟練掌握各?？碱}型，提高分析能力；【題型一】二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【題型二】二次函數(shù)圖像與式子符號、數(shù)值的判定【題型三】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【題型四】利用二次函數(shù)對稱性求最短路徑【題型五】與二次函數(shù)有關(guān)的幾何問題3課后分層練習(xí)進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容.1.掌握二次函數(shù)的一般形式及其圖象與性質(zhì)；2.掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式及其圖象與性質(zhì)；3.掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.1二次函數(shù)的概念一般地，自變量x和因變量y之間滿足y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、2二次函數(shù)的解析式(1)一般式：y=ax(2)頂點(diǎn)式：y=ax-h2+k(3)交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中3二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax圖像開口方向開口向上開口向下對稱軸x=-頂點(diǎn)坐標(biāo)(-增減性當(dāng)x>-b2a時(shí)，y隨當(dāng)x<-b2a時(shí)，y隨x當(dāng)x>-b2a時(shí)，y隨當(dāng)x<-b2a時(shí)，y隨x最值當(dāng)x=-b2a時(shí)，y當(dāng)x=-b2a時(shí)，y(2)二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax-h①當(dāng)a>0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下；②對稱軸x=h；③頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k).4二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是與一元二次方程5二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x【題型一】二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【典題1】（2025·河北邯鄲·一模）如圖，拋物線l1:y1=a(x+1)2①無論x取何值，y2②l2可由l1向右平移3個(gè)單位，再向下平移③當(dāng)-3<x<1時(shí)，隨著x的增大，y1下列說法正確的是（

）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③不正確 D．①②③都正確變式練習(xí)1（2025·黑龍江哈爾濱·二模）關(guān)于拋物線y=x-12+1A．拋物線開口向下B．對稱軸是x=-1C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1)D．拋物線y=x2向左平移1個(gè)單位，再向上平移12（2425八年級下·北京·期中）已知a<-1，點(diǎn)Aa-1,y1、Ba,y2、A．y1<yC．y3<y3（2025·山東臨沂·一模）已知二次函數(shù)y=x2-2x-2≤x≤t-1，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值，則A．2≤t≤5 B．0<t≤5 C．0<t≤2 D．t≥24（2025年河北省張家口市中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，直線l1從左至右交拋物線G，L于點(diǎn)M，N，P，Q，且兩條拋物線的頂點(diǎn)A，B都在直線l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，則AB=（A．3 B．4 C．5 D．65（2025·安徽六安·三模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，且a<0）的圖象過點(diǎn)-3,m，-2,c，-1,nA．m-n>0 B．若c-m>2，則-1<a<0C．若c-n>-1，則m-n>-2 D．若c-n<-1，則m-n<-4【題型二】二次函數(shù)圖像與式子符號、數(shù)值的判定【典題1】（2025·四川綿陽·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分如圖所示，其對稱軸是直線x=-1，且該圖象過點(diǎn)A-3,0．有下列說法：①abc<0；②2a-b+c<0；③4a+2b+c<0；④若A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④變式練習(xí)1（2025·湖北·三模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為-1,0，對稱軸為直線A．a(chǎn)bc>0 B．c+5a=0 C．5a+b>0 D．a(chǎn)+b+c>02（2025·湖北十堰·三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=-2，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為x1,0，A．4a-b=0 B．x1+x2=-2 C3（2425九年級上·四川南充·階段練習(xí)）如圖是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，拋物線的對稱軸為直線x=1①abc<0；

②2a+b=0；

③4a+2b+c>0；④3b>2c

⑤mam+b≤a+b其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【題型三】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【典題1】（2425九年級下·陜西西安·期中）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與xx-4-3-115y0595-27A．a(chǎn)bc>0B．關(guān)于x的一元二次方程axC．當(dāng)-4<x<1時(shí)，y的取值范圍為0<y<5D．若點(diǎn)(-2,y1變式練習(xí)1（2025·陜西咸陽·二模）如圖，二次函數(shù)y=ax2-2x+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A-1,0，B，與y軸相交于點(diǎn)C0,-3A．該二次函數(shù)沒有最大值 B．當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減小C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為12,-4 D．A，B2（2324九年級上·山東日照·期中）二次函數(shù)y=ax2+bx+c，自變量xx…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…下列說法正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)x>-3時(shí)，y隨x的增大而增大C．當(dāng)-4<x<-1時(shí)，y<0 D．二次函數(shù)的最小值是-2【題型四】利用二次函數(shù)對稱性求最短路徑【典題1】（2021九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在拋物線y=-x2上有A，B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1，2；在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)C，當(dāng)BC+AC最小時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（A．（0.0） B．（0，-1） C．（0，2） D．（0，-2）變式練習(xí)1（2223九年級上·廣西百色·期中）如圖，拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M是對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AMA．2 B．10 C．23 D．2（2324九年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A-1,0，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=2，P是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，則A．10+26 B．5+52 C．52【題型四】與二次函數(shù)有關(guān)的幾何問題【典題1】（2025·山東臨沂·二模）如圖，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線y=-x2+cc>0上，點(diǎn)C在y軸上，∠ACB=90°．若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（A．m+n=1 B．mn=1 C．m-n=1 D．m【典題2】（2425九年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)．A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)．點(diǎn)P(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值．變式練習(xí)1（2025·廣東東莞·二模）如圖，點(diǎn)A是拋物線y=ax-32+k與y軸的交點(diǎn)，AB∥x軸交拋物線另一點(diǎn)于B，點(diǎn)C為該拋物線的頂點(diǎn)．若△ABCA．33 B．2 C．12 D2（2025·廣東揭陽·一模）如圖，兩拋物線的函數(shù)解析式分別為y=x2和y=-xA．32 B．2 C．1 D．3（2025·安徽宣城·二模）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)與?ABOC的點(diǎn)C重合，且經(jīng)過點(diǎn)A，與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同．若S?ABCD=8A．(-3+5,6-25) B．(-1,2) C．4（2425九年級下·四川廣安·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-2(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D(2,3)(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；【A組基礎(chǔ)題】1（2425九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）拋物線y=xA．1,-6 B．-1,-6 C．-1,-7 D．-1,-52（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=2x-32+1A．圖象開口向下B．圖象的對稱軸為直線x=-3C．圖象向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=2x-22+1D．當(dāng)x<3時(shí)，y3（2425九年級上·山東淄博·期末）已知A-3,y1，B1,y2，C2,y3在函數(shù)y=-A．y1>yC．y3>y4（2025·湖北隨州·二模）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=-1，且過點(diǎn)0,1，有以下四個(gè)結(jié)論：①abc>0，②a-b+c<0，③3a+c<0，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為-1,2，當(dāng)m≤x≤1時(shí)，y有最大值為2、最小值為-2，此時(shí)m的取值范圍是-3≤m≤-1A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5（2025·河北滄州·一模）已知點(diǎn)P為拋物線C:y=12x2-32x-2上一點(diǎn)，在透明膠片上描畫出包含點(diǎn)P的拋物線C的一段，向上平移該膠片得到點(diǎn)P'和拋物線C'，如圖．已知拋物線C'A．-12 B．158 C．236（2025·西藏日喀則·一模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-3,0)，B(1,0)①abc>0②3b+2c>0③對任意實(shí)數(shù)m,am④若點(diǎn)-4,y1，12,yA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7（2425九年級上·廣東廣州·期中）拋物線y=-x2+bx+c(1)求這條拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接AP，BP，當(dāng)AP+BP最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8（2425九年級下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，已知直線y=-12x+2與x軸、y軸交于B，A兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)(1)求拋物線解析式；(2)當(dāng)MN=2MP，求t的值；(3)若點(diǎn)N到直線AB的距離為d，求d的最大值；【B組提高題】1（2025·浙江·二模）已知二次函數(shù)y=x2-2x，當(dāng)-1≤x≤n時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為2，則nA．-1≤n≤1 B．-1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥32（2025·黑龍江大慶·二模）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y=-x2+4上，點(diǎn)D