48.數(shù)列求和的七大視角一．倒序相加法倒序相加法是計(jì)算等差數(shù)列前項(xiàng)和的重要方法，數(shù)學(xué)王子高斯利用它很快的計(jì)算出來了1到100相加之和.實(shí)質(zhì)上，倒序?qū)⒓臃ǖ暮诵狞c(diǎn)即在于“等距配對，其和相等”，倘若能夠把握住這個(gè)點(diǎn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)該方法不僅適合等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)，還可以與中心對稱的函數(shù)完美搭配，命制出一些綜合性較強(qiáng)的函數(shù)與數(shù)列綜合問題，其往往以壓軸題出現(xiàn)，頗具挑戰(zhàn)性！1.中心對稱：函數(shù)上任意一點(diǎn)（）關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)()對稱的中心對稱圖像，點(diǎn)()為對稱中心.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）用代數(shù)式表示：(1).；(2).一般地,若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相反.注：由中心對稱的定義可知，距離對稱點(diǎn)距離相等的點(diǎn)與，它們的函數(shù)值之和是相等的，這就符合“等距配對，其和相等”的特點(diǎn)！2.常見的一些中心對稱函數(shù).此處近列舉奇函數(shù)的情形，因?yàn)橹行膶ΨQ的函數(shù)皆可由奇函數(shù)平移產(chǎn)生.同時(shí)，對于一些較常見的奇函數(shù)：正弦函數(shù)等不再單獨(dú)列舉.假設(shè)且.①.為奇函數(shù)②.為奇函數(shù)③.可轉(zhuǎn)化為②或③④.都是奇函數(shù).注意：個(gè)人覺得，要想把倒序相加法這類題目做好，上面這些函數(shù)一定要非常面熟才行，否則，往往不知道真實(shí)的命題意圖.只有熟悉上述函數(shù)的對稱性，才可通過平移找到對稱中心.例1．若，滿足，則A．2022 B．2023 C．4044 D．4046解析：由于，故．另一方面，由于，則．令，則，兩式相加得，．故選:A其實(shí)下面這道高考壓軸試題本質(zhì)上也是倒序相加法的體現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)圖像均關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)中心對稱.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）例2.（2016年全國卷理科）已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為,，（），則A.B.C.D.解析：選B.例3．設(shè)，設(shè)，．（1）計(jì)算的值．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切成立，求的取值范圍．解析：（1）.（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相加得，所以.又不符合，所以.（3）由（2）知，，因?yàn)?，所以，，由，得，，?dāng)時(shí)，，，，，由，得，因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，，所以，綜上，由，得.小結(jié)：若函數(shù)的對稱中心是.，..2．公式法求和：用等差（等比）數(shù)列求和公式.例4.(2018年全國2卷)記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.解析：（1）設(shè)的公差為，由題意得，由，得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）代入等差數(shù)列求和公式，得，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，且最小值為.例5.（2020新高考2卷）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由于：，故：.類型3．裂項(xiàng)相消求和1.分母是等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)乘積，則：，則：.2.有理化后求和：.3.指對式裂相求和：，一般地，指數(shù)型：對數(shù)型：三類應(yīng)用：=1\*GB3①裂相求和；=2\*GB3②證明不等式；=3\*GB3③求范圍.例6.(2015年全國2卷)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）與已知作差得：，，當(dāng)時(shí)，，.（2），.例7（2018年天津）．設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（i）求；（ii）證明.解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得.因?yàn)椋傻?，?設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得由，可得從而故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）（i）由（I），有，故.（ii）因?yàn)?，所?類型4：錯(cuò)位相減法型如的數(shù)列求和，其基本解題步驟如下：Step1：由題可得：Step2：故=1\*GB3①，=2\*GB3②Step3：由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：Step4：化簡：.例8.(2020年新課標(biāo)全國卷=1\*ROMANI17)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng).（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）設(shè)公比為，得即，得（舍去），.（2）設(shè)為的前n項(xiàng)和，由（1）及題設(shè)可得，，所以=1\*GB3①，=2\*GB3②，用=1\*GB3①-=2\*GB3②可得：故.類型5.分組求和適用對象：主要適用于通項(xiàng)是由兩部分不同的形式構(gòu)成的數(shù)列，其次還適用于一些幾項(xiàng)放在一起可以化簡的數(shù)列.例如：型，可分別單獨(dú)求出的前項(xiàng)和再求和.或者分段型，具體見下面的2021新高考1卷.例9.（2021新高考1卷）.已知數(shù)列滿足，

（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求的前20項(xiàng)和.解析：（1）由題設(shè)可得又，，故即即所以為等差數(shù)列，故.設(shè)的前項(xiàng)和為，則，進(jìn)一步分組可得：因?yàn)椋?除上例之外，分組求和還適用于出現(xiàn)擺動(dòng)數(shù)列型中，具體解法見下例.例10.（2014年湖南文科）已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的通向公式為：.（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則,進(jìn)一步，若記，，分別求和可得：，，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.注：此處是一個(gè)分段形式：，分組求和是處理分段形式的數(shù)列求和的一把利器！類型6.并項(xiàng)求和在處理一些非等差，等比數(shù)列時(shí)，我們可以通過項(xiàng)的關(guān)系（相鄰兩項(xiàng)等），將其看成一個(gè)小組來計(jì)算，例如型，分奇偶后相鄰兩項(xiàng)之差就是一個(gè)公差，即常數(shù)列求和.再例如下面例9中，我們將相鄰兩項(xiàng)合并，就可以得到一個(gè)相鄰兩項(xiàng)和成等比的結(jié)構(gòu)來處理.例11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，于是得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以.例12．已知數(shù)列滿足：，，（）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解析：（1）證明：∵，∴，∵，∴，