3.奇偶性與對(duì)稱性及應(yīng)用一．基本原理 1.奇偶性的定義：需要熟練掌握2.奇偶性的判定：①.定義法②.性質(zhì)法：奇×奇為偶；奇×偶為奇；等等，類似進(jìn)行加減乘除運(yùn)算即可.③.一個(gè)特殊的性質(zhì)：已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求證：函數(shù)為上的偶函數(shù)；（2）求證：函數(shù)為上的奇函數(shù)；（3）試判斷：定義在上的函數(shù)能否表示為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和.解析：（1）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為上的偶函數(shù)；（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為上的奇函數(shù)；（3）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?令，，則，又由（1）得為上的偶函數(shù)，由（2）得為上的奇函數(shù)，且，所以定義在上的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和.由證明可知，上述結(jié)論函數(shù)的定義域可以是任意對(duì)稱區(qū)間.比如.都是奇函數(shù).證明：令，，由基本原理（2）可證.類似，還可以判斷下列函數(shù)的奇偶性②.是奇函數(shù).③.(且)是偶函數(shù).對(duì)數(shù)型奇偶性證明通常需從或來(lái)完成.（4）與指數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)：假設(shè)且.①.為奇函數(shù)②.為奇函數(shù)③.可轉(zhuǎn)化為②或③4.奇偶性與對(duì)稱性（1）.軸對(duì)稱:函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于軸的直線對(duì)稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等且函數(shù)值時(shí).我們就稱函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.代數(shù)表示:(1).(2).（2）.中心對(duì)稱：函數(shù)上任意一點(diǎn)（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱的中心對(duì)稱圖像，點(diǎn)()為對(duì)稱中心.用代數(shù)式表示：(1).(2).（3）.已知是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（4）.已知是定義在上的函數(shù)，若是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.5.奇偶性（對(duì)稱性）與導(dǎo)函數(shù)若，即軸對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，反之亦然，若6.奇偶性的應(yīng)用類型（1）.奇偶性加單調(diào)性解不等式（2）.利用奇偶性求解析式（3）.常見(jiàn)奇函數(shù)與奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)（4）.奇函數(shù)中一個(gè)重要的結(jié)論（5）.奇偶性與單調(diào)性綜合（6）.從奇偶性到對(duì)稱性（對(duì)稱性的判別）（7）.對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（8）.基于奇偶（對(duì)稱性）的凸凹反轉(zhuǎn)二．真題速遞1．（2023·全國(guó)·高考真題乙卷）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高考真題新高考2卷）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.3．（2023·全國(guó)·高考真題甲卷）若為偶函數(shù)，則______.解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.4．（2021年新高考1卷）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則_________.解析：因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：15．（2021年全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．解析：由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B6.（25屆高三八省聯(lián)考）已知曲線，兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，和C交于M、N兩點(diǎn)，和C交于P、Q兩點(diǎn)，若三角形的面積為，則三角形的面積為_(kāi)___________．解析：由于和都符合，所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由此畫出曲線的大致圖象如下圖所示，兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)位置如圖，可知，，所以，所以，而和等底等高，面積相同，所以，所以.故答案為：7.（2024年新課標(biāo)全國(guó)2卷）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2分析：圖像交點(diǎn)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組的公共解，倘若能夠觀察到與表達(dá)式中有一個(gè)公共項(xiàng)，此題函數(shù)很容易突破的！解析：令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.8．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（

）A． B．C． D．解析：，又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.三．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.奇偶性加單調(diào)性解不等式類型：已知，求解類似于的不等式.解法：利用奇偶性轉(zhuǎn)化為：，再利用單調(diào)性求解與自變量有關(guān)的不等式.例1．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是______.解析：因?yàn)?，則，令，則的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位得到，又，即為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱，所以時(shí)，有，解得.故答案為：除此之外，在利用奇偶性和單調(diào)性解不等式時(shí)，還需注意到下面的問(wèn)題若若若例2．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：∵是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，有，，∴，即，∴，∴在上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，∵不等式在恒成立，∴在恒成立，∴在恒成立，∴，解得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是，故選：C2.利用奇偶性求解析式例3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)則______.解析：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，解得，則，故.故答案為：例5．已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．解析：因?yàn)?，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因?yàn)?，①，所以，所以，②，①②得，，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，所以的取值范圍為.故選：B．3.常見(jiàn)奇函數(shù)與奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)例4．已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．4解析：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，設(shè)，則，所以，即，所以，即，則.故選：A.例5．若是奇函數(shù)，則_________．解析：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由,可得，所以且，所以，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，即，解得，此時(shí)，符合題意，所以.故答案為：.4.奇函數(shù)中一個(gè)重要的結(jié)論若為奇函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)恒成立，那么設(shè)，則，特別地，.例6.（2018年全國(guó)卷）已知函數(shù)，，則________.解析：設(shè)，由上述討論可知：所以為奇函數(shù)，而，所以，故.5.奇偶性與單調(diào)性綜合例7．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，，，則（

）A． B．C． D．解析：在上單調(diào)遞減，故，在R上單調(diào)遞減，故，在R上單調(diào)遞增，故，則，且，，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，由于，所以，即.故選：C6.從奇偶性到對(duì)稱性（對(duì)稱性的判別）例8．已知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，故選：A.對(duì)稱性的綜合應(yīng)用例9.（2016年全國(guó)卷文科）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為,則()A.B.C.D.例10.（2016年全國(guó)卷理科）已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為,，（），則A.B.C.D.解析：若兩函數(shù)的圖象分別關(guān)于直線軸對(duì)稱或者關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則函數(shù)的圖象的所有的交點(diǎn)也都關(guān)于直線軸對(duì)稱或者關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.于是兩題均選B.8.基于奇偶（對(duì)稱性）的凸凹反轉(zhuǎn)例11.（2017年全國(guó)3卷）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則解析：此題若懂得前面的常見(jiàn)函數(shù)及性質(zhì)就很容易下手，若不懂，借助導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，可能就做不出來(lái)！注意到的構(gòu)造，跟偶函數(shù)長(zhǎng)得很像，所以我們會(huì)發(fā)現(xiàn)是關(guān)于直線對(duì)稱的，而也是關(guān)于直線對(duì)稱的，這樣的話，，如此的唯一零點(diǎn)便在處取得，代入可得：.例12．已知函數(shù)，若在有唯一的零點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：由于，所以是偶函數(shù)，要使在?1,1有唯一的零點(diǎn)，則，即，解得，故選：A三．習(xí)題演練1．已知，則的解集為（

）A． B．C．或 D．或解析：由，且定義域?yàn)镽，根據(jù)在上遞增，則在上遞增，又在上遞增，則在上遞增，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)且函數(shù)在R上連續(xù)，則在R上遞增，由，所以，解集為或.故選：D2．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上是減函數(shù)，，即，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：.3．設(shè)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍為_(kāi)________解析：當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，如圖所示：由圖象知：，，所以，，，，所以，，令，則.故答案為：4．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為8，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8解析：因?yàn)?，設(shè)，則，所以，為R上的奇函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，所以，.故選：C.5．已知函數(shù)，且，則_________解析：由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域?yàn)?，則，即是奇函數(shù)，于是，所以，可得，又，因此．故答案為：6．已知函數(shù)，且，則__________解析：構(gòu)造具有奇偶性的函數(shù)，由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：20247．已知函數(shù)是偶函數(shù)，不等式恒成立，則b的最大值為_(kāi)________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以