1.一輪備考中的分式函數(shù)值域問題一．基本原理我們把（此處約定分母均不為零），統(tǒng)稱為分式函數(shù)，其中后面三種由于含有二次項(xiàng)，稱為二次分式函數(shù).對(duì)于第一類的值域，通過轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)結(jié)合單調(diào)性確定，而對(duì)于二次分式函數(shù)，通常有均值不等式法、判別式法、求導(dǎo)法來求這些函數(shù)的最值，下面通過例題詳細(xì)分析這些方法是如何使用的.1．均值不等式與雙鉤函數(shù)方法1.1：型函數(shù)的處理對(duì)于形如（分子分母均為一次的分式）的函數(shù)，通過換元，可轉(zhuǎn)化為的形式，再利用雙鉤函數(shù)的性質(zhì)求解.1.2.型.形如可通過換元將問題轉(zhuǎn)化為，然后進(jìn)行可通過分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，進(jìn)而可依靠的圖像，再求出值域，或者均值不等式.1.3.：同時(shí)除以分子：→2的模型.1.4.，這就轉(zhuǎn)化成了3的類型.2．判別式法：請(qǐng)見例題分析3．導(dǎo)數(shù)法二．典例分析例1.解：令，進(jìn)而可求出值域：例2.函數(shù)的最小值為________.解析：解法1（均值不等式法）：令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，從而函數(shù)的最小值為3.解法2（判別式法）：將變形為，整理得：①，將式①看出關(guān)于的一元二次方程，其判別式，解得：或，因?yàn)?，所以，，從而，故，注意到?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為3.解法3（求導(dǎo)法）：設(shè)，則，所以，，從而在上，在上，故.例3．（2022全國甲卷）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．解析:方法1.余弦定理：設(shè)，則在中，，在中，，故可得：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)取最小值時(shí)，.（方法2）判別式法：設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：，即，解得：所以，此時(shí)，所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.方法3(導(dǎo)數(shù)法)因?yàn)?所以.由得;由得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間,上單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí),取得最小值.所以,當(dāng)取得最小值時(shí),.例4.函數(shù)的最大值為________.解析：設(shè)，則，，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以函數(shù)的最大值為.例4．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．1解析：依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大,必有,則直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以直線的斜率的最大值為.故選：A例5．已知點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，連接PF并延長與圓交于點(diǎn)B，則的最小值是.解析：由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，則由拋物線的定義得，.要使最小，則應(yīng)有，此時(shí)有.令，則，，因?yàn)?，顯然有，則由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.故答案為：4.小結(jié)：總結(jié)一下我們所遇到的常見分式類型及一般處理方法：①：換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型②：換元→分離常數(shù)→（雙勾函數(shù)、偽勾函數(shù)）模型③：同時(shí)除以分子：→②的模型④：分離常數(shù)→③的模型最后看一道與不等式綜合的新定義壓軸.例6.（四川省成都市2025屆高三二診）對(duì)于給定集合，若存在非負(fù)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的滿足：成立，則稱集合具有性質(zhì).(1)證明：集合具有性質(zhì)；(2)若集合具有性質(zhì)，求的最小值；(3)若集合具有性質(zhì)，求的最大值.解析：（1）要證明集合具有性質(zhì)，即證明，都有，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，都有，即集合具有性質(zhì).（2）因?yàn)?，，令，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，又集合具有性質(zhì)，于是，有，即，即，成立，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，則，即的最小值為.（3）因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)，由題意，得，都有，即，注意到所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為1.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，又，令，，則，即，則，即，所以，令，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，又的最小值為1，所以的最大值為.三．習(xí)題演練1．函數(shù)的值域（

）A． B．C． D．【詳解】依題意,,其中的值域?yàn)?故函數(shù)的值域?yàn)?故選D.2．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【詳解】由可得,當(dāng)時(shí),故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,而恒成立,故,故的值域?yàn)?故選:C3．已知函數(shù)，定義域?yàn)?，則函數(shù)（

）A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值3 D．有最大值3【詳解】，，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，即，最大值為1.故選：B.4．若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0.5【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),不等式取等號(hào),所以,則在的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),,由基本不等式可知,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),不等式取等號(hào),故,則在的值域?yàn)?綜上所述,在上的值域?yàn)?從而.故選:C.5．函數(shù)的值域是．【詳解】由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，將整理得，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以，，即函數(shù)的值域是，故答案為：6．已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋驹斀狻?，即；，；?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值2；又最大值應(yīng)在兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的某一處取到，；；．所以．所以值域?yàn)椋蚀鸢笧?7．函數(shù)的值域是.【詳解】由函數(shù)可知。所以，整理得：，當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的一元二次方程在有根所以整理得：且解得：，綜上得：.8．函數(shù)的值域是_____________.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由于，所以，且，所以且，所以函?shù)的值域?yàn)?故答案為：9.求函數(shù)的值域解：設(shè)，，10.求函數(shù)的值域解：設(shè)問題轉(zhuǎn)化為求的值域.由均值不等式當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即11.函數(shù)的最小值為________.解法1（均值不等式