第六章1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助幾何體,理解點、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素.2.平面的特征性質(zhì)及其表示.3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一

構(gòu)成空間幾何體的基本元素空間幾何體的基本幾何元素是點、線(直線和曲線)、面(平面和曲面)等.

“點動成線,線動成面,面動成體”名師點睛1.我們所學(xué)的幾何體只考慮一個物體占有空間部分的形狀和大小,而不考慮其他因素.2.以長方體為例:長方體由六個面圍成,每個面都是矩形(包括它的內(nèi)部);相鄰兩個面的公共邊,叫作長方體的棱;棱和棱的公共點,叫作長方體的頂點.長方體有6個面、12條棱、8個頂點.思考辨析天空中飄浮的氣球是空間幾何體嗎?它是否由點、線、面構(gòu)成?提示

氣球的內(nèi)部雖是空的,但氣球仍占有一定的空間,具有大小和形狀,因此氣球是空間幾何體,它也是由點、線、面構(gòu)成的.知識點二

平面1.特征:平面是空間最基本的圖形,平面是無限延展的.2.畫法:一般地,用

表示平面.當(dāng)平面水平放置時,通常把平行四邊形的銳角畫成

,橫邊長畫成鄰邊長的

.

3.命名:平面通常用希臘字母α,β,γ等來表示,也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示,還可以用表示平行四邊形頂點的兩個相對頂點的字母表示.斜二測畫法

平行四邊形

45°兩倍

名師點睛1.平面是只描述不定義的原始概念,它具有無限延展性,是理想的、處處平直的,因此它沒有厚度、沒有大小,也沒有面積、體積、重量等,即平面在各個項目上都是不可度量的.2.平面的無限延展性,使其能將空間一分為二,也正是由于它的無限延展性,可以根據(jù)我們的需要向四周延展.思考辨析幾何中的“平面”有邊界嗎?用什么圖形表示平面?提示

沒有邊界;常用平行四邊形表示平面.自主診斷判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)平面具有無限延展性.(

)(2)兩個平面比一個平面厚.(

)(3)平行四邊形就是一個平面.(

)(4)用長方形表示水平放置的平面.(

)√×××知識點三

空間中直線、平面的位置關(guān)系

如圖,直線AB和平面A1B1C1D1沒有公共點,即直線AB與平面A1B1C1D1平行;直線AA1和平面ABCD

中的AD,AB均垂直,可以看作AA1垂直于平面ABCD;平面ABCD和平面A1B1C1D1沒有公共點,我們說這兩個平面是平行的;平面ABCD和平面A1ABB1反映了兩個平面相交.

此時交線是直線AB名師點睛1.在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中,要注意與初中所學(xué)平面幾何知識進(jìn)行類比,不要照搬,因為平面幾何中的一些結(jié)論不能推廣到空間中.2.當(dāng)兩個平面相交時,可以如圖把被遮擋部分畫成虛線或不畫.這樣,看起來立體感強(qiáng)一些.自主診斷1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與對角線BD1既不相交又不平行的棱有(

)

A.3條

B.4條

C.6條

D.8條C2.下列關(guān)于長方體ABCD-A1B1C1D1中點、線、面位置關(guān)系的說法正確的是

.(填序號)

①直線AA1與直線BB1平行;②直線AA1與平面C1D1DC相交;③直線AA1與平面ABCD垂直①③

重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一構(gòu)成幾何體的基本元素【例1】

試指出下圖中組成各幾何體的基本元素.解

(1)中幾何體有6個頂點、12條棱和8個面.(2)中幾何體有12個頂點、18條棱和8個面.(3)中幾何體有6個頂點、10條棱和6個面.規(guī)律方法

點是最基本的元素,只有位置,沒有大小;直線沒有粗細(xì),向兩端無限延伸;平面沒有厚度,向四周無限延展.要熟記這三種基本元素的特點.在現(xiàn)實生活中要多觀察幾何體,以加深對構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認(rèn)識.變式訓(xùn)練1如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列說法正確的有

.(填序號)

①長方體一共有8個頂點;②線段AA1所在的直線是長方體的一條棱;③矩形ABCD所在的平面是長方體的一個面;④長方體由六個平面圍成.①

探究點二對于平面的理解【例2】

判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)平面的形狀是平行四邊形;(2)圓和平面多邊形都可以表示平面;(3)若S?ABCD>S?A'B'C'D',則平面ABCD大于平面A'B'C'D'.解

(1)不正確.我們常用平行四邊形表示平面,但不能說平面的形狀是平行四邊形,平面是無形狀可言的.(2)正確.通常情況下我們利用平行四邊形來表示平面,但有時根據(jù)需要也可以用圓或其他平面多邊形來表示平面.(3)不正確.因為平面無大小可言.規(guī)律方法

1.在空間幾何體中,平面是無限延展的,是理想的、絕對平直的.2.平面是抽象出來的,沒有厚度、沒有大小,因此無法度量.平面幾何中的平面圖形,如三角形、四邊形等都是有大小的,可以度量的,它們本身不是平面.3.任何一個平面都可以將空間分為兩部分,如果想從平面的一側(cè)到另一側(cè),那么必須穿過這個平面.變式訓(xùn)練2下列說法正確的是(

)A.生活中的幾何體都是由平面組成的B.曲面都是有一定大小的C.直線是無限個點組成的,而線段是由有限個點組成的D.平面圖形是空間圖形的重要組成部分D解析

組成幾何體的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是無限延展的;直線和線段都是由無數(shù)個點組成的.根據(jù)這些特點可以排除A,B,C.探究點三幾何中基本元素的位置關(guān)系【例3】

如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1,在長方體的面與棱中,(1)與棱BC平行的棱是哪幾條?(2)與棱BC平行的平面是哪幾個?(3)與棱BC垂直的平面是哪幾個?解

在長方體的面與棱中,(1)與棱BC平行的棱有棱B1C1,棱A1D1,棱AD.(2)與棱BC平行的平面有平面A1C1,平面AD1.(3)與棱BC垂直的平面有平面AB1,平面DC1.變式探究(1)本例中與棱A1D1相交的棱有哪幾條?它們與棱A1D1所成的角的度數(shù)是多少?(2)在本例長方體的12條棱中,可以用來表示平面A1B與平面D1C之間距離的是哪些棱?解

(1)與棱A1D1相交的棱有4條,分別是棱A1A,棱A1B1,棱D1D,棱D1C1.因為長方體六個面都是矩形,所以它們與棱A1D1所成的角的度數(shù)都是90°.(2)由長方體的性質(zhì)知棱A1D1,棱B1C1,棱BC,棱AD的長都可以用來表示平面A1B與平面D1C之間的距離.規(guī)律方法

通過本例可以得到如下規(guī)律:(1)平行關(guān)系①直線與直線的平行關(guān)系:如圖,在長方體的12條棱中,分成“長”“寬”“高”三組,其中“高”AA1,BB1,CC1,DD1相互平行;“長”AB,DC,A1B1,D1C1相互平行;“寬”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行.②直線與平面的平行關(guān)系:在長方體的12條棱及表面中,若棱所在的直線與某一平面(棱不在該平面內(nèi))不相交,則二者平行.③平面與平面的平行關(guān)系:長方體的對面相互平行.(2)垂直關(guān)系①直線與平面的垂直關(guān)系:在長方體的棱所在直線與各表面中,若直線與平面有且只有一個公共點,則二者垂直.②平面與平面的垂直關(guān)系:在長方體的各表面中,若兩平面有公共點,則二者垂直.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)構(gòu)成空間幾何體的基本元素;(2)對平面的理解及其畫法;(3)點線面的位置關(guān)系的直觀認(rèn)識;(4)簡單幾何體的展開.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)對于平面無限延展的理解;(2)簡單幾何體展開前后長度和角度的變化.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12341.下列說法:①任何一個幾何體都必須有頂點、棱和面;②一個幾何體可以沒有頂點;③一個幾何體可以沒有棱;④一個幾何體可以沒有面.其中正確的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4B解析

球由曲面圍成,沒有頂點和棱,故①錯,②對,③對,由于幾何體是空間圖形,故一定有面,④錯.512342.下列說法正確的是(

)A.在空間中,一個點運(yùn)動成直線B.在空間中,直線平行移動形成平面C.在空間中,直線繞與其相交的另一條直線轉(zhuǎn)動形成平面或錐面D.在空間中,矩形上各點沿同一方向移動形成長方體C解析

一個點運(yùn)動也可以成曲線,故A錯;在空間中,直線平行移動可以形成平面或曲面,故B錯;在空間中,矩形上各點沿垂直于矩形的方向向上(或向下)移動相同距離所形成的幾何體是長方體,故D錯.512343.某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒,如圖所示,則這個正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)(

)5A12344.一個