第一章4.3誘導(dǎo)公式與對(duì)稱4.4誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助單位圓理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法.2.理解、掌握并熟記誘導(dǎo)公式.3.能夠利用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一

特殊角的終邊的對(duì)稱關(guān)系1.角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于

對(duì)稱;

2.角α±π的終邊與角α的終邊關(guān)于

對(duì)稱;

3.角π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于

對(duì)稱.

名師點(diǎn)睛理清角度之間的關(guān)系,是學(xué)好誘導(dǎo)公式的前提.因此學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)時(shí),應(yīng)結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義,明確角-α,α±π,π-α與角α的終邊的對(duì)稱關(guān)系.x軸

原點(diǎn)

y軸

思考辨析(2k+1)π-α(k∈Z)的終邊與2kπ+α(k∈Z)的終邊有何對(duì)稱關(guān)系?提示

(2k+1)π-α=2kπ+π-α(k∈Z)的終邊與2kπ+α(k∈Z)的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角π-α與α的終邊的關(guān)系.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)角-α與角α+2π的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.(

)(2)角α±5π與角α的終邊不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(

)(3)角3π-α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.(

)√×√2.填空.y軸

原點(diǎn)

原點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)二

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式對(duì)任意角α,下列關(guān)系式均成立(其中k∈Z).sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα.sin(α+π)=sin(π+α)=-sinα,cos(α+π)=cos(π+α)=-cosα.sin(α-π)=-sinα,cos(α-π)=-cosα.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα.通常稱上述公式為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式.利用公式可將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為[0,]內(nèi)的三角函數(shù)

名師點(diǎn)睛誘導(dǎo)公式的記憶方法將任意角歸納為k·±α,k∈Z的形式,則誘導(dǎo)公式的記憶方法可概括為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”:(1)“變”與“不變”是指互余的兩個(gè)角的正弦函數(shù)名、余弦函數(shù)名改變.(2)“奇”“偶”是對(duì)k·±α中的整數(shù)k來(lái)講的.(3)“象限”指k·±α中,將α看作銳角時(shí),k·±α所在象限,再根據(jù)“一全正,二正弦,三全負(fù),四余弦”的符號(hào)規(guī)律確定原函數(shù)值的符號(hào).思考辨析1.正弦、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式中角α只能是銳角嗎?

2.設(shè)α為銳角,其終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(u,v),那么角α-的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2的坐標(biāo)是什么?

3.α-的誘導(dǎo)公式是什么?提示

誘導(dǎo)公式中角α可以是任意角.提示

(v,-u).自主診斷1.[人教A版教材例題]利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos225°;2.證明:重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一給角求值問(wèn)題【例1】

計(jì)算:sin2120°+cos180°+tan45°-cos2(-330°)+sin(-210°).規(guī)律方法

求值問(wèn)題中角的轉(zhuǎn)化方法任意負(fù)角的三角函數(shù)→

任意正角的三角函數(shù)→0~2π的角的三角函數(shù)→銳角三角函數(shù)變式訓(xùn)練1求值:(1)sin1320°;探究點(diǎn)二給值(式)求值問(wèn)題【例2】

(1)已知sin(π+α)=-0.3,則sin(2π-α)=

.

-0.3解析

∵sin(π+α)=-sin

α=-0.3,∴sin

α=0.3,∴sin(2π-α)=-sin

α=-0.3.規(guī)律方法

解決給值(式)求值問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住已知角與所求角之間的關(guān)系,從而靈活選擇誘導(dǎo)公式求解,一般可從兩角的和、差的關(guān)系入手分析,解題時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.探究點(diǎn)三誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例3】

已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4).(1)求sinα-cosα的值;規(guī)律方法

1.所謂化簡(jiǎn),就是使表達(dá)式經(jīng)過(guò)某種變形,使結(jié)果盡可能簡(jiǎn)單,也就是項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,函數(shù)的種類盡可能少,分母中盡量不含三角函數(shù)符號(hào),能求值的一定要求值.2.利用誘導(dǎo)公式解決化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的靈活選擇,當(dāng)三角函數(shù)式中含有kπ±α,π±α(k∈Z)時(shí),要注意討論k為奇數(shù)或偶數(shù).變式訓(xùn)練2已知sinα=-2cosα,求:探究點(diǎn)四誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用規(guī)律方法

三角形中隱藏的兩點(diǎn)內(nèi)容(1)在△ABC中,有A+B+C=π,,因此在解決三角形中的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)問(wèn)題時(shí),要注意充分利用誘導(dǎo)公式.(2)在三角形中,當(dāng)cos

C=cos

B時(shí),一定有C=B;若sin

C=sin

B,也一樣能得到C=B.變式訓(xùn)練3(多選)在三角形ABC中,下列結(jié)論正確的是(

)A.sin(A+B)=sinC

B.cos(A+B)=cosCAC本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)特殊角的終邊的對(duì)稱關(guān)系;(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式;(3)利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與證明.2.方法歸納:公式法、角的構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):函數(shù)符號(hào)的變化,角與角之間的聯(lián)系與構(gòu)造.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.sin240°+cos(-150°)的值為(

)A解析

原式=sin(180°+60°)+cos

150°=-sin

60°+cos(180°-30°)=-sin

60°-cos

30°123452.已知角α和β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,則下列各式中正確的是(

)A.sinα=sinβ

B.sin(α-2π)=sinβC.cosα=cosβ

D.cos(2π-