獨(dú)立增量過程第1頁，共31頁。一、獨(dú)立增量過程1．定義

設(shè){X(t),t

0}為一隨機(jī)過程,對(duì)于0

s<t,稱隨機(jī)變量X(t)-X(s)為隨機(jī)過程在區(qū)間[s,t]上的增量.

若對(duì)于任意的正整數(shù)n及任意的0

t0<t1<t2<…<tn,n個(gè)增量

X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互獨(dú)立，稱{X(t),t

0}為獨(dú)立增量過程。

第2頁，共31頁。

若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)s,t和0

s+h＜t+h,X(t+h)－X(s+h)與X(t)－X(s)具有相同的分布,則稱增量具有平穩(wěn)性,并稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過程為齊次的或時(shí)齊的。即：增量X(t)－X(s)的分布函數(shù)實(shí)際上只依賴于時(shí)間差t-s，而不依賴于t與s本身,即與觀察的起始時(shí)刻無關(guān)。

2．獨(dú)立增量過程的性質(zhì)

(1)獨(dú)立增量過程{X(t),t≧0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的有限維分布函數(shù)可以由增量X(t)－X(s)，0

s＜t的分布確定.證：令Yk=

X(tk)-X(tk-1),k=1,2,…,n.t0=0.

由條件，增量的分布已知，且具有獨(dú)立增量，則第3頁，共31頁。(2)獨(dú)立增量過程{X(t),t≧0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的協(xié)

方差函數(shù)為

Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布即可確定，而X(t1)=Y1，

X(t2)=Y1+Y2，

……

X(tn)=Y1+Y2+…+

Yn，即X(tn)是Y1，…Yn的線性函數(shù)，推廣結(jié)果：Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布確定了{(lán)X(t)}的有限維分布函數(shù)。第4頁，共31頁。證明:記Y(t)=X(t)-

X(t),當(dāng)X(t)具有獨(dú)立增量時(shí)，Y(t)也具有獨(dú)立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)]=DX(t).所以，當(dāng)0

s＜t時(shí)，有

于是可知對(duì)于任意的s,t≧0,協(xié)方差函數(shù)可表示為：

同理，當(dāng)0

t＜s時(shí)，有第5頁，共31頁。二、泊松過程

泊松過程是研究隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流的計(jì)數(shù)性質(zhì)的基本數(shù)學(xué)模型之一，是一類重要的隨機(jī)過程。在通信工程、服務(wù)行業(yè)、生物學(xué)、物理學(xué)、公用事業(yè)等領(lǐng)域的許多問題都可以用泊松過程來描述。如：商店接待的顧客流，數(shù)字通信中已編碼信號(hào)的誤碼流等第6頁，共31頁。隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流：質(zhì)點(diǎn)（或事件）陸續(xù)地隨機(jī)到達(dá)（或隨機(jī)發(fā)生），則形成一個(gè)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流．例如：商店接待的顧客流、等車的乘客流、數(shù)字通信中已編碼信號(hào)的誤碼流、經(jīng)過中國上空的流星流、放射性物質(zhì)所放射出的粒子流、要求在機(jī)場降落的飛機(jī)流，等等。隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流的強(qiáng)度：通常稱單位時(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流的強(qiáng)度，記為

第7頁，共31頁。1.計(jì)數(shù)過程定義定義1.

稱隨機(jī)過程{N(t),t≧0}為計(jì)數(shù)過程,若N(t)表示[0,t]時(shí)段內(nèi)“事件A”發(fā)生的次數(shù),且N(t)滿足下列條件(1)N(t)≧0；(2)N(t)取整數(shù)；(3)若0≤s＜t,則N(s)≤N(t)；(4)當(dāng)s＜t時(shí),N(t)-N(s)等于在間隔(s,t)上“事件A”發(fā)生的次數(shù)。例如：若用N1(t)表示某電話交換臺(tái)在[0,t]內(nèi)接到的電話呼喚次數(shù)；第8頁，共31頁。

若用N2(t)表示[0,t]這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)某商場的顧客數(shù)；若用N3(t)表示時(shí)間[0,t]內(nèi)某放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；若用N4(t)表示在時(shí)間[0,t]內(nèi)某地段出現(xiàn)的交通事故次數(shù)等,這些Ni(t)均為計(jì)數(shù)過程。

為了建模方便，我們把“事件A”發(fā)生一次說成質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)一個(gè)，于是計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)看作在時(shí)間軸上區(qū)間[0,t]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)。第9頁，共31頁。隨機(jī)事件的來到數(shù)都可以得到一個(gè)計(jì)數(shù)過程,而同一時(shí)刻只能至多發(fā)生一個(gè)來到的就是簡單計(jì)數(shù)過程.計(jì)數(shù)過程的一個(gè)典型的樣本函數(shù)如圖tN(t)第10頁，共31頁。計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)是獨(dú)立增量過程如果計(jì)數(shù)過程在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，事件A發(fā)生的次數(shù)是相互獨(dú)立的。計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)是平穩(wěn)增量過程若計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)在(t,t+s]內(nèi)（S>0），事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時(shí)間差s有關(guān)，而與t無關(guān)。第11頁，共31頁。例：設(shè)為N(t)為[0,t)時(shí)段內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)，t>=0，N(t)的狀態(tài)空間為{0,1,2,…}，具有如下性質(zhì)：(1)N(0)=0，即初始時(shí)刻未收到任何呼叫；(2)在[t,s)這段時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)只與時(shí)間間隔s-t有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)t無關(guān)；(3)在任意多個(gè)不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)相互獨(dú)立；第12頁，共31頁。定義2:稱計(jì)數(shù)過程{N(t),t≧0}為具有參數(shù)

>0的泊松過程，若它滿足下列條件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是(平穩(wěn))獨(dú)立增量過程；(3)對(duì)于任意的s,t≥0,N(t+s)-N(s)服從參數(shù)為

t的泊松分布從條件(3)：泊松過程的均值函數(shù)為

,表示單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的平均個(gè)數(shù),故稱

為此過程的強(qiáng)度。第13頁，共31頁。令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,給出泊松過程的另一定義:定義3.稱計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}為具有參數(shù)

>0的泊松過程,若它滿足下列條件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是獨(dú)立增量過程；(3)N(t)滿足:定理:定義2與定義3是等價(jià)的。

第14頁，共31頁。例：設(shè)為N(t)為[0,t)時(shí)段內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)，t>=0，N(t)的狀態(tài)空間為{0,1,2,…}，具有如下性質(zhì)：(4)在足夠小的時(shí)間間隔△t內(nèi)實(shí)際上假設(shè)了在足夠小的時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率與時(shí)間間隔成正比，而出現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)數(shù)不少于2的概率是關(guān)于時(shí)間間隔的高階無窮小——這一般是與實(shí)際情況相吻合的。第15頁，共31頁。第16頁，共31頁。2．泊松過程數(shù)字特征

第17頁，共31頁。3．泊松過程的一些定理

設(shè){N(t),t≥0}為泊松過程，N(t)表示到t時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù),W1，W2，...分別表示第一個(gè)，第二個(gè)，…質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間,Tn(n≥1)表示從第n－1個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)到第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間間隔.第18頁，共31頁。

T1T2Tk0W1W2Wk-1Wkt

通常稱Wn為第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的等待時(shí)間,Tn為第n個(gè)時(shí)間間隔,它們都是隨機(jī)變量。

定理1.設(shè){N(t)，t≥0}是具有參數(shù)

的泊松過程,

{Tn,n≥1,2,...}是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列,則隨機(jī)變量序列Tn,n=1,2,...為獨(dú)立的且均服從參數(shù)為

的指數(shù)分布。第19頁，共31頁。證明：(1)先確定T1的分布.

為此首先注意到事件{T1>t}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)間間隔[0,t]內(nèi)沒有質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn),因而

所以,T1具有參數(shù)為

的指數(shù)分布。

(2)為求T2的分布,先求T1的條件下T2的條件分布,由獨(dú)立增量性有第20頁，共31頁。

所以,可得T2也是一個(gè)具有參數(shù)為

的指數(shù)分布的隨機(jī)變

量且T2獨(dú)立于T1,重復(fù)同樣的推導(dǎo)可得定理。

下面求等待時(shí)間Wn的分布，注意到第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)在時(shí)

間t或之前的條件是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)綍r(shí)間t已出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)至少是n，即上式對(duì)t求導(dǎo)，得Wn的概率密度是第21頁，共31頁。定理2.設(shè){Wn,n=1,2,…}是與泊松過程{N(t),t≥0}

對(duì)應(yīng)的一等待時(shí)間序列，則Wn服從參數(shù)為n與

的

分布，其概率密度為定理3.如果相繼出現(xiàn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間間隔是相互獨(dú)立，且服從同一指數(shù)分布，則質(zhì)點(diǎn)流構(gòu)成了強(qiáng)度為

的泊松過程。該定理告訴我們確定一個(gè)過程是不是泊松過程只要用統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)點(diǎn)間間距是否獨(dú)立且服從同一指數(shù)分布。注：泊松過程或泊松流是研究排隊(duì)理論的工具，在技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)它又是構(gòu)造一類重要噪聲(散粒噪聲)的基礎(chǔ)。第22頁，共31頁。例.設(shè){X(t)}是強(qiáng)度為

的泊松過程，定義Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L>0為常數(shù)，求

Y(t),RY(s,t).

解：

Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=

(t+L)-

t=

L；

RY(s,t)=CY(s,t)+

Y(s)

Y(t),對(duì)任意0≤s<t，有第23頁，共31頁。第24頁，共31頁。引言

維納過程是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.英國植物學(xué)家布朗在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發(fā)現(xiàn)它們不斷地進(jìn)行著雜亂無章的運(yùn)動(dòng),這種現(xiàn)象后來稱為布朗運(yùn)動(dòng).

以W(t)表示運(yùn)動(dòng)中一微粒從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t>0的位移的橫坐標(biāo)(同樣也可以討論縱坐標(biāo)),且設(shè)W(0)=0,根據(jù)愛因斯坦1905年提出的理論,微粒的這種運(yùn)動(dòng)是由于受到大量隨機(jī)的相互獨(dú)立的分子的碰撞的結(jié)果.于是,粒子在時(shí)段(s,t]上的位移可以看作是許多微小位移的代數(shù)和.則W(t)-W(s)服從正態(tài)分布.三、維納過程又稱布朗運(yùn)動(dòng)

第25頁，共31頁。1．維納過程的定義給定過程{W(t),t≥0}，如果它滿足(1)具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量；(2)對(duì)任意的t>s≥0，W(t)-W(s)服從正態(tài)分布N(0,

2(t-s))；(3)W(0)=0.

三、維納過程又稱布朗運(yùn)動(dòng)

則稱此過程為維納過程，下圖展示了它的一條樣本曲線。

維納過程不只是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,電子元件在恒溫下的熱噪聲也可歸結(jié)為維納過程。第26頁，共31頁。2．維納過程的性質(zhì)(1).維納過程{W(t)，t≥0}為正態(tài)過程(每一個(gè)有限維分布均為正態(tài)分布)。

證明:對(duì)于任意正整數(shù)n和任意時(shí)刻t1,t2,…,tn(0≤t1<t2<…<tn)以及任意實(shí)數(shù)u1，u2，…，un，記

第27頁，共31頁。

它是獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和，所以它是正態(tài)隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，…，W(tn))服從n維正態(tài)分布，因此W(t)為正態(tài)過程。

(2).維納過程增量的分布只與時(shí)間差有關(guān),所以它是齊次的獨(dú)立增量過程.它又是正態(tài)過程.其分布完全由它的均值函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)所確定.維納過程的均值函數(shù)、自協(xié)差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)分別為

方差隨時(shí)間區(qū)間的長度呈線性增加。第28頁，共31頁。

四高斯過程（正態(tài)過程）

一、定義：

設(shè){X(t)}為隨機(jī)過程，如果對(duì)任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tn

T，n維隨機(jī)變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服從n維正態(tài)分布，則稱{X(t