2.3充要條件[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解充要條件的意義.2.會判斷、證明充要條件.3.通過學(xué)習(xí)，明白對充要條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.知識點一充要條件一般地，如果既有p?q，又有q?p就記作_p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件.思考(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題.這種說法對嗎？(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？答案(1)正確.若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q，故此說法正確.(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論.②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論.知識點二常見的四種條件與命題真假的關(guān)系如果原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，那么p與q的關(guān)系有以下四種情形：原命題逆命題p與q的關(guān)系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件知識點三從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若A?B且B?A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.題型一充要條件的判斷例1(1)設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的()A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案C解析分別判斷x＞y?x＞|y|與x＞|y|?x＞y是否成立，從而得到答案.當(dāng)x＝1，y＝－2時，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因為|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分條件.(2)判斷下列各題中，p是否為q的充要條件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sinA>sinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，顯然有∠A>∠B?sinA>sinB，所以p是q的充要條件.②若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，所以p是q的充要條件.③由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要條件.反思與感悟判斷p是q的充分必要條件的兩種思路(1)命題角度：判斷p是q的充分必要條件，主要是判斷p?q及q?p這兩個命題是否成立.若p?q成立，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；若q?p成立，則p是q的必要條件，同時q是p的充分條件；若二者都成立，則p與q互為充要條件.(2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不容易判斷p?q及q?p的真假時，也可以從集合角度去判斷，結(jié)合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來理解，這對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.(2)“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是________.答案a<－1解析函數(shù)沒有零點，即方程x2－2x－a＝0無實根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，則Δ<0，方程x2－2x－a＝0無實根，即函數(shù)沒有零點.故“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是a<－1.題型二充要條件的證明例2求證：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根均大于1的充要條件是k<－2.證明①必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根，不妨設(shè)兩個根為x1，x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1＋x2－1>0，,x1－1x2－1>0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(1,4)，,x1＋x2－2>0，,x1x2－x1＋x2＋1>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(1,4)，,－2k－1－2>0，,k2＋2k－1＋1>0，))解得k<－2.②充分性：當(dāng)k<－2時，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.設(shè)方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根為x1，x2.則(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.綜上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根的充要條件為k<－2.反思與感悟一般地，證明“p成立的充要條件為q”時，在證充分性時應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必要性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即p?q.跟蹤訓(xùn)練2求證：一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.證明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，因為f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).②必要性：因為f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)對任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.綜上，一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.充分必要條件的應(yīng)用例3使得x2＋2x≤0成立的充分不必要條件可以是()A.－1≤x≤1 B.－3<x≤0C.－1<x<0 D.－1<x<1錯解B錯因分析沒有分清命題的條件和結(jié)論.若p的充分不必要條件是q，應(yīng)有q?p且pD?/q.正解C1.設(shè)p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析a＝3時，A＝{1,3}，A?B；當(dāng)A?B時，a＝2或3.3.已知α：“a＝±2”；β：“直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切”，則α是β的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案C解析a＝±2時，直線x－y＝0與圓x2＋(y±2)2＝2相切；當(dāng)直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切時，得eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(2)，∴a＝±2.∴α是β的充要條件.4.已知直線l1：x＋ay＋6＝0和直線l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝________.答案－1解析由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3時，兩條直線重合，所以a＝－1.5.命題p：x>0，y<0，命題q：x>y，eq\f(1,x)>eq\f(1,y)，則p是q的________條件.答案充要解析當(dāng)x>0，y<0時，x>y且eq\f(1,x)>eq\f(1,y)成立，當(dāng)x>y且eq\f(1,x)>eq\f(1,y)時，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y>0，,\f(x－y,xy)<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y<0.))所以p是q的充要條件.1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集