微專題2函數(shù)的對(duì)稱性第二章基本初等函數(shù)202X/01/01匯報(bào)人：視角1探究1一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱

已知函數(shù)f(x－1)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集為 (

)A.(－∞，3) B.(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)【解析】

因?yàn)閒(x－1)為偶函數(shù)，所以f(x－1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱．因?yàn)閒(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，－1]上單調(diào)遞減．因?yàn)閒(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3.A1－1軸對(duì)稱【解析】

由函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱．又函數(shù)f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減．由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．由圖可知，當(dāng)x＜0時(shí)，由xf(x)＞0，可得f(x)＜0，則x＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，由xf(x)＞0，可得f(x)＞0，則1＜x＜3.綜上，不等式xf(x)＞0的解集為(－∞，0)∪(1，3). (2024·萍鄉(xiāng)期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增，若函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(3)＝0，則不等式xf(x)＞0的解集為 (

)A.(0，3)

B.(－∞，0)∪(1，3)C.(－∞，0)∪(3，＋∞)

D.(0，1)∪(3，＋∞)變式1-1

B探究2兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱 (2024·平頂山聯(lián)考)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝log2x的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱的是 (

)A.y＝log2(2＋x) B.y＝log2(2－x)C.y＝log2(4＋x) D.y＝log2(4－x)【解析】

設(shè)所求函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)P關(guān)于x＝2對(duì)稱的點(diǎn)為Q(4－x，y)，由題意知點(diǎn)Q在y＝log2x的圖象上，可得y＝log2(4－x)，即函數(shù)y＝log2x關(guān)于x＝2對(duì)稱的函數(shù)解析式為y＝log2(4－x).D1－2【解析】變式1-2

D視角2中心對(duì)稱2【解析】10(2)兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對(duì)稱．特別地，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．推廣：兩個(gè)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱．【解析】

因?yàn)閥＝f(x＋1)－2為奇函數(shù)，所以f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2，即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4，故f(x)的對(duì)稱中心為(1，2)，所以f(－3)＋f(5)＝f(－2)＋f(4)＝f(－1)＋f(3)＝f(0)＋f(2)＝4，又f(1)＋f(1)＝4，即f(1)＝2，所以f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝4×4＋2＝18. (2024·商洛預(yù)測(cè))若y＝f(x＋1)－2為奇函數(shù)，則f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝ (

)A.－14 B.14

C.－18 D.18變式2

D視角33【解析】

由函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，可得f(2＋x)＝f(2－x).由函數(shù)f(2x＋1)為奇函數(shù)，可得f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．因?yàn)楹瘮?shù)F(x)＝f(2x＋1)為奇函數(shù)，所以F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝f(3)＝f(1)＝0，其他三個(gè)選項(xiàng)未知．B中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的應(yīng)用(2)(2025·漳州一檢)(多選)已知定義在R上的函數(shù)f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且對(duì)任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，則 (

)A.f(0)＝1B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)成中心對(duì)稱D.2π是f(x)的一個(gè)周期【解析】

對(duì)于A，根據(jù)題意，令x＝y(tǒng)，得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0)，解得f(0)＝1，所以A正確；對(duì)于B，令x＝－y，得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x)，所以f(2x)＝f(－2x)，即對(duì)任意的x∈R滿足f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，令x＋y＝π，可得f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)f(π－2y)＝0，即f(x)滿足f(2π－x)＋f(x)＝0，因此f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)成中心對(duì)稱，所以C正確；由選項(xiàng)C及f(x)是偶函數(shù)，可得f(x－2π)＋f(x)＝0，即f(x)＋f(x＋2π)＝0，所以f(x－2π)＝f(x＋2π)，也即f(x)＝f(x＋4π)，所以4π是f(x)的一個(gè)周期，所以D錯(cuò)誤．【答案】ABC(1)如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸x＝a，x＝b(a＜b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a，0)，B(b，0)(a＜b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T＝2(b－a).(3)如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有一條對(duì)稱軸x＝a和一個(gè)對(duì)稱中心B(b，0)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T＝4|b－a|.【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(2x－1)為奇函數(shù)，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(－1，0)成中心對(duì)稱，且f(－1)＝0.因?yàn)閒(x－2)為偶函數(shù)，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝－2成軸對(duì)稱．又因?yàn)閒(x)＝－f(－2－x)＝－f(－2＋x)＝－[－f(－4＋x)]，所以函數(shù)f(x)的周期為4.因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2－1，所以f(2023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝0，f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝－1，所以f(2023)－f(2024)＝1. (2024·濟(jì)寧一模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(2x－1)為奇函數(shù)，f(x－2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2－1，則f(2023)－f(2024)＝ (

)A.－1 B.0

C.1 D.2變式3

C (1)對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x)，點(diǎn)A(m，n)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的充要條件是：對(duì)任意x∈D都有f(x)＋f(2m－x)＝2n，則函數(shù)f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為__________．4【解析】新視角三次函數(shù)的對(duì)稱中心【解析】

由題意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，設(shè)f(x)＝x3－3x2＋5x－3，則f(a)＝－2，f(b)＝2.因?yàn)閒(x)圖象的對(duì)稱中心為(1，0)，所以a＋b＝2.2(2)已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是____．【解析】

函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋3x，所以f(1)＝1－3＋3＝1，所以f(f(1))＝f(1)＝1，故A正確；f(－x＋2)＝(－x＋2)3－3(－x＋2)2＋3(－x＋2)＝－x3＋3x2－3x＋2≠f(x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1不對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(－x＋2)＋f(x)＝2，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)中心對(duì)稱，故D正確；由f(－x)＝－x3－3x2－3x≠f(x)且f(－x)＋f(x)＝－x3－3x2－3x＋x3－3x2＋3x＝－6x2≠0，所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤．AD (多選)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋3x，則 (

)A.f(f(1))＝1 B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)中心對(duì)稱變式4

配套精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝

(

)A.－50

B.0

C.2

D.50【解析】

f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)周期為4.因?yàn)閒(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.C【解析】A【解析】D【解析】C5.(2024·新鄉(xiāng)二模)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，則下列結(jié)論一定正確的是 (

)A.f(x)＋1是奇函數(shù)B.f(x－1)是奇函數(shù)

C.f(x)－1是奇函數(shù)D.f(x＋1)是奇函數(shù)【解析】B6.(2024·安慶二模)(多選)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜1，則 (

)A.f(0)＝1

B.f(1)＋f(－1)＝1C.函數(shù)f(x)為減函數(shù) D.函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱【解析】

對(duì)于A，令x＝y(tǒng)＝0，則有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，故f(0)＝1，故A正確；對(duì)于B，令x＝1，y＝－1，則有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，故f(1)＋f(－1)＝2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令y＞0，則有f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1，其中x＋y＞x，f(y)－1＜0，令x1＝x＋y，x2＝x，即有對(duì)?x1，x2∈R，當(dāng)x1＞x2時(shí)，f(x1)－f(x2)＜0恒成立，即函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，令y＝－x，則有f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，又f(0)＝1，故f(x)＋f(－x)＝2，故函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，故D正確．ACD7.(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x＋1)為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f(x)＝k·3x－2，則下列結(jié)論正確的是 (

)A.f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱 B.k＝6C.f(2026)＝－4

D.2是f(x)的一個(gè)周期【解析】

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，因?yàn)閒(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，即f(1－x)＋f(1＋x)＝0，故f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，故A正確；因?yàn)閒(1－x)＋f(1＋x)＝0，令x＝0，得f(1)＝0，從而f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝k×3-1－2＝0，故k＝6，故B正確；因?yàn)閒(1－x)＝f(x－1)，所以f(x－1)＝－f(x＋1)，f(x＋1)＝－f(x＋3)，即f(x－1)＝f(x＋3)，所以周期T＝4，故D錯(cuò)誤；f(2026)＝f(4×506＋2)＝f(2)，且x∈[－1，0]時(shí)，f(x)＝6×3x－2，故f(0)＝6×30－2＝4，在式子f(x－1)＝－f(x＋1)中，令x＝1，得f(0)＝－f(2)，所以f(2)＝－4，故C正確．ABC8.(多選)已知函數(shù)f(x)對(duì)?x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函數(shù)y＝f(x＋3)的圖象關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱，且對(duì)?x1，x2∈[0，2]，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，則下列結(jié)論正確的是 (

)A.f(2)＝0

B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)是周期為4的周期函數(shù) D.f(3)＜f(－4)【解析】

y＝f(x＋3)的圖象關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱，故y＝f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x)是偶函數(shù)，B正確；在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，因?yàn)閒(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正確；故f(x)＝f(x＋4)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)，C正確；對(duì)?x1，x2∈[0，2]，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有(x2－x