2024-2025學(xué)年湖南省株洲市第十三中學(xué)高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題(★★)1.已知集合，，則（）

A．B．C．D．(★★)2.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A．B．C．D．(★★)3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(★★★)4.某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知等差數(shù)列的公差不為0，前項(xiàng)和為，若，則（）

A．B．?dāng)?shù)列最小項(xiàng)是C．的最小值是D．當(dāng)時(shí)，(★★★)6.甲?乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn).若半徑為的圓與的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)以及與線段切于點(diǎn).若，則的離心率為（）

A．B．C．D．(★★★★)8.已知函數(shù)，若方程恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的最大值為C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(★★★)10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．B．，，三線不共點(diǎn)C．與平面所成角為D．設(shè)，則多面體的體積為1(★★★★)11.在如圖所示的方格圖中，去掉以下哪一個(gè)方格，剩下的方格圖能用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋（）

A．①B．②C．③D．④三、填空題(★★★)12.已知滿足，則__________.(★★★)13.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．(★★★)14.從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）四、解答題(★★★)15.已知，，，分別是角，，的對(duì)邊，的面積．(1)證明：；(2)若為的平分線，交于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．(★★★)16.已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，的面積為，求直線的方程.(★★★)17.如圖，在四棱柱中，，，，，，分別是棱，的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)若，直線與平面所成角的正弦值為.①求四棱柱的體積；②求平面與平面的夾角的余弦值.(★★★★)18.已知函數(shù)(1)若曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求的值；(2)若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若函數(shù)存在極大值，記作，求證：.（參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.這里表示從0的右邊逼近表示從0的左邊逼近0.）(★★★★)19.材料一：英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)?統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn).貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對(duì)任意的事件，有，.材料二：馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)?自然語(yǔ)言處理?金融領(lǐng)域?天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是，，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題.(1)已知德國(guó)電車市場(chǎng)中，有的車電池性能很好.公司出口的電動(dòng)汽車，在德國(guó)汽車市場(chǎng)中占比，其中有的汽車電池性能很好.現(xiàn)有一名顧客在德國(guó)購(gòu)買一輛電動(dòng)汽車，已知他購(gòu)買的汽車不是公司的，求該汽車電池性能很好的概率；（結(jié)果精確到0.001(2)為迅速搶占市場(chǎng)，公司計(jì)劃進(jìn)行電動(dòng)汽車推廣活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：有11個(gè)排成一行的格子，編號(hào)從左至右為，有一個(gè)小球在格子中運(yùn)動(dòng)，每次小球有的概率向左移動(dòng)一格；有的概率向右移動(dòng)一格，規(guī)定小球移動(dòng)到編號(hào)為0或者10的格子時(shí)，小球不再移動(dòng)，一輪游戲結(jié)束.若小球最終停在10號(hào)格子，則贏得