高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省部分校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】全集，而，則，又，所以．故選：D．2.直線是雙曲線的一條漸近線，則（）A.1 B.2 C.4 D.16【答案】A【解析】直線是雙曲線的一條漸近線，由直線的斜率為2，得，所以．故選：A．3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線x+3y﹣1=0傾斜角為α．直線x+3y﹣1=0化為．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故選D．4.已知，向量，，，且，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，由，則，解得，由，則，解得，則．故選：A．5.已知函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A.3 B. C. D.2【答案】B【解析】因函數(shù)的周期為2，且為奇函數(shù)，故，.故選：B．6.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足．過(guò)點(diǎn)總可以向以點(diǎn)為圓心?為半徑的圓作兩條切線，則半徑的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)Px,y，由，則，故，得圓，圓心為，半徑為.又點(diǎn)與圓心的距離為，由于過(guò)點(diǎn)總可以向以點(diǎn)為圓心的圓作兩條切線，故兩圓相離，所以，故的取值范圍為．故選：B.7.如圖所示，在三棱錐中，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，則，取的中點(diǎn)分別為，則分別為的外心，且，平面平面，平面平面平面，平面，因平面，故,在中，又在中，在中，故為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑，故外接球的表面積.故選:D．8.已知的頂點(diǎn)均在拋物線上，且，過(guò)分別作拋物線的切線，則三條切線圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】依題意，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的切線，聯(lián)立得，令，解得，故得，同理可得，記交于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)，聯(lián)立?的方程解得，同理可得，則．另外直線，化簡(jiǎn)得：;直線,化簡(jiǎn)得：．如圖，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)垂直于軸直線交直線于點(diǎn)，解得，因?yàn)?，所以，即切線圍成的三角形的面積為．故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線為直線B.當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.曲線不可能是圓【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，即，故曲線為直線，正確．B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為，由，可知曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，正確．C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為，由，可知曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，正確．D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為，可知曲線為以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.下列說(shuō)法正確的是（）A.在長(zhǎng)方體中，可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則在平面內(nèi)C.若向量，則稱(chēng)為在基底下的坐標(biāo)，已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為D.已知是從點(diǎn)出發(fā)的三條線段，每?jī)蓷l線段夾角均為，若滿足，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，共面，則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，而，則四點(diǎn)共面，從而在平面內(nèi)，B正確；對(duì)于C，依題意，，設(shè)，即，則，解得，因此向量在基底下的坐標(biāo)為，C正確；對(duì)于D，，，則，，，，D正確.故選：BCD.11.已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，設(shè)兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為為的角平分線，，點(diǎn)均在軸上，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.以橢圓和雙曲線四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值為C.若，則的取值范圍為D.若，則的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，由橢圓和雙曲線定義有，將兩式平方得，相加整理得，又在中，由余弦定理有，則，即，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，橢圓和雙曲線一個(gè)交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，另外三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形為矩形，面積，又點(diǎn)在橢圓上，所以滿足，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，即，所以，則，又，所以，即，又，所以，，則．令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由為的角平分線，，易知為的外角平分線，則由角平分線性質(zhì)定理有即，由外角平分線性質(zhì)定理有，即，求的最小值即求的最小值；由可得，代入即，整理可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，若，則______.【答案】2【解析】因在拋物線上，所以，故.13.已知直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，其中為正數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】依題意，兩直線垂直，則兩直線的方向向量垂直，其數(shù)量積為零﹒可得，即，所以，由得．當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).14.已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到面的距離相等，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為_(kāi)_________．【答案】4【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵平面平面，∴點(diǎn)到面的距離為點(diǎn)到直線的距離∴由拋物線的定義可知：，易知，∴，,設(shè)是平面的其中一個(gè)法向量，則，令，得，平面的法向量為，又，則到平面的距離，所以的最小值為，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)且，，∴，所以三棱錐的體積的最小值：．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過(guò)定點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．解：（1）由等邊三角形可知雙曲線焦距為，∵，即，∴，∴，∴，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線不相交，∴設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，，解得，由韋達(dá)定理可知，即，解得或．所以直線的方程為或．16.一個(gè)小島（點(diǎn)的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，輪船在小島正東方的點(diǎn)處．以小島中心為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S的正方向，正北方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，取為單位長(zhǎng)度．（1）若輪船沿北偏西的航向直線航行，輪船是否會(huì)有觸礁風(fēng)險(xiǎn)？說(shuō)明理由；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且其傾斜角為直線的傾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁邊界上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值．解：（1）由題意可知，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為：．輪船航線所在直線過(guò)點(diǎn)，所在直線的傾斜角為，斜率為，直線方程為，即．原點(diǎn)到輪船航線所在直線的距離為，所以，輪船沒(méi)有觸礁風(fēng)險(xiǎn)．（2）記直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，直線的方程為：，其一般式方程為：．易知原點(diǎn)到直線的距離為，直線與圓相離，圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為：．17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求A；（2）若，求三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，整理可得，則，且，故．（2）由余弦定理，即，整理可得．設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則，即，由正弦定理可知．．因?yàn)?，則，可得，所以．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若為棱中點(diǎn)，證明：面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）分別在棱上，，求三棱錐的體積的最大值．解：（1）連接交于，則為三角形中位線，易知，又因?yàn)樯希?，所以面；?）以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，由為棱上一點(diǎn)，設(shè)，．設(shè)平面的法向量為，由可得令，則，則．取平面的法向量為，則二面角的平面角滿足：，化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），故存在滿足條件的點(diǎn)，此時(shí)．（3）因?yàn)?，可知三棱錐體積最大時(shí)，即最大，在中，由余弦定理有：可得，設(shè)，則，由題可知：該方程有實(shí)根，則，解得，同理可得．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由等體積法得到：，，解得：．當(dāng)最大時(shí)三棱錐體積最大，即三棱錐體積最大，最大體積為：．19.已知橢圓的離心率為且過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓兩條切線，切點(diǎn)分別為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線的方程；（3）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，直線交直線于點(diǎn)．試證明：恒成立．（1）解：由題意可得解得所以，橢圓方程為．（2）解：設(shè)，下證：切線的方程為；直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為：，與聯(lián)立整理得：，由