高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠(yuǎn)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.將1枚硬幣拋2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因?yàn)槊棵队矌哦加姓⒎磧煞N結(jié)果，所以將1枚硬幣拋2次，一共可能出現(xiàn)4種結(jié)果：正正，正反，反正，反反，其中恰好出現(xiàn)1次正面的結(jié)果有2種結(jié)果：正反，反正；所以恰好出現(xiàn)1次正面的概率為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€，可得斜率，即又因?yàn)?，所?故選：C.3.已知空間向量，若共面，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)槿艄裁?，則，即，故，解得故選:B.4.已知直線，若關(guān)于對(duì)稱的直線為，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)直線的方程為且.因?yàn)橹本€關(guān)于直線對(duì)稱，所以與間的距離等于與間的距離.由兩平行直線間的距離公式，得，解得或（舍去）.所以直線的方程為.故選：D.5.已知過點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，則直線必過定點(diǎn)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心.則以為直徑的圓的圓心為，設(shè)以為直徑的圓的半徑為，則.所以以為直徑的圓的方程為.過點(diǎn)作圓的切點(diǎn)分別為，,兩圓的交點(diǎn)為,,即兩圓的公共弦為.將兩圓的方程相減可得直線的方程為，即.令得.所以直線必過定點(diǎn).故選：A.6.若直線（，）平分圓，則的最小值是（）A.2 B.5 C. D.【答案】C【解析】直線平分圓，則直線過圓心，即，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào))故選：C.7.在平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，有，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】令，設(shè)，由，等號(hào)兩邊分別平方得：，即，整理得，解得（或舍去），即.故選：A.8.已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）A.圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱B.圓和圓的公共弦長(zhǎng)為C.的取值范圍為D.若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】D【解析】對(duì)于A，和圓，圓心和半徑分別是，則兩圓心中點(diǎn)為，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線是的中垂線，但兩圓心中點(diǎn)不在直線上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，到直線的距離，故公共弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心距為，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大為，故的取值范圍為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最小，，即的最小值為，D正確.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙兩人各投籃一次，若兩人投中的概率都是0.6，且兩人是否投中彼此互不影響，則下列判斷正確的是（）A.兩人都投中的概率是0.36B.恰有一人投中的概率是0.48C.至少有一人投中的概率是0.86D.至多有一人投中的概率是0.64【答案】ABD【解析】設(shè)事件為“甲投中”，設(shè)事件為“乙投中”，則事件A、B相互獨(dú)立都投中的概率為，故A正確；恰好有一人投中的概率為，故B正確；至少有一人投中，其對(duì)立事件為兩人都未投中，故至少一人投中的概率為，故C錯(cuò)誤；至多有一人投中的對(duì)立事件為兩人都投中，故至多有一人投中的概率為，故D正確.故選:ABD.10.已知圓，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，圓與圓相離B.當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C.當(dāng)時(shí)，圓與圓有一條公切線是D.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【答案】ACD【解析】由可知圓心為，半徑為1，由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與圓相切，圓心到的距離為3，即與圓不相切，所以不是圓與圓的一條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，圓與圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線的方程為.②另一條公切線與公切線關(guān)于過兩圓圓心的直線對(duì)稱.易知過兩圓圓心的直線的方程為，由，得，由對(duì)稱性可知公切線過點(diǎn)，設(shè)公切線的方程為，則點(diǎn)O0,0到的距離為1，所以，解得，所以公切線的方程為，即.③還有一條公切線與直線垂直，設(shè)公切線的方程為，易知，則點(diǎn)O0,0到的距離為1，所以，解得或（舍去），所以公切線的方程為，即.綜上，所求直線方程為或或，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，故D正確.故選：ACD.11.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過且與平面平行的平面【答案】AD【解析】因?yàn)樗倪呅握叫危?，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，?設(shè)，則，其中，由題設(shè)可得，，對(duì)于A，當(dāng)即時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數(shù)，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)，存在三個(gè)不全為0的實(shí)數(shù)a，b，c使，那么的值為________________.【答案】0【解析】因三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)使，顯然且，否則點(diǎn)重合或點(diǎn)重合，則，整理得，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)，使，此時(shí).13.已知圓，直線.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為______.【答案】【解析】由題可知，圓的圓心為(0，0)，半徑為2，故要使圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則圓心到直線l的距離為1，即．14.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，曲線為（），表示以為圓心，1為半徑的圓的右半圓；當(dāng)時(shí)，曲線為（），表示以為圓心，1為半徑的圓的左半圓；所以曲線的圖像如圖所示：當(dāng)直線位于與之間或與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線位于時(shí)，直線與圓相切，則，解得；當(dāng)直線位于時(shí)，；直線位于與之間時(shí)，.同理可得，直線位于與之間時(shí)，.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．①與直線垂直；②直線的一個(gè)方向向量為；③與直線平行．已知直線l過點(diǎn)，_________________．（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓相交于P，Q，求弦長(zhǎng)．解：（1）選①：因?yàn)橹本€的斜率為，因?yàn)橹本€與直線l垂直，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為即.選②：因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為所以直線l的向量為，依題意，直線l的方程為即.選③：因?yàn)榈男甭蕿?，又因?yàn)橹本€l與平行，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為即.（2）圓的圓心到直線的距離為,所以.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，底面ABCD，點(diǎn)為棱PC的中點(diǎn)，.（1）證明:平面PAD;（2）求點(diǎn)E到直線CD的距離;（3）求直線BE與平面PDC所成角的余弦值.（1）證明：取PD的中點(diǎn)，連接AG，EG，如圖.和分別為PD和PC的中點(diǎn)，，且，又底面ABCD是直角梯形，，且.即四邊形ABEG為平行四邊形，，平面平面PAD，平面PAD.（2）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以，又AD，PA為平面PAD內(nèi)兩條相交直線，所以平面PAD，又PD在平面PAD內(nèi)，所以，因?yàn)闉镻C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線CD的距離為，因?yàn)?，所以，所以到直線CD的距離為.（3）解：由（1）知，因?yàn)闉镻D的中點(diǎn)，所以由(2)知平面PAD，平面PAD，所以，PD，CD為平面PCD內(nèi)兩條相交直線，所以平面，所以平面所以BE與平面PCD所成角為90°，其余弦值為0.17.甲、乙、丙三人參加競(jìng)答游戲，一輪三個(gè)題目，每人回答一題，為體現(xiàn)公平，制定如下規(guī)則：①第一輪回答順序?yàn)榧住⒁?、丙，第二輪回答順序?yàn)橐摇⒈?、甲，第三輪回答順序?yàn)楸?、甲、乙，第四輪回答順序?yàn)榧?、乙、丙，…，后面按此?guī)律依次向下進(jìn)行；②當(dāng)一人回答不正確時(shí)，競(jìng)答結(jié)束，最后一個(gè)回答正確的人勝出.已知每次甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，丙回答正確的概率為，三個(gè)人回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.（1）求一輪中三人全部回答正確的概率；（2）記為甲在第輪勝出的概率，為乙在第輪勝出的概率，求與，并比較與的大小.解：（1）設(shè)“一輪中三人全部回答正確”為事件M，則.（2）甲在第一輪勝出的概率為.甲在第二輪勝出，說明第一輪、第二輪中三人都回答正確，第三輪中丙回答錯(cuò)誤，故甲在第二輪勝出的概率為.易知所以當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.同理可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.18.如圖，直三棱柱的體積為的面積為.（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為中點(diǎn)，，平面平面.（i）證明：平面;（ii）求二面角的正弦值.（1）解：在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）（i）證明：取的中點(diǎn)，連接AE，如圖，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面平面ABC，可得，又平面且相交，所以平面.（ii）解：由（i）可知:兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，所以，所以，則，所以的中點(diǎn)，則，設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量，則，令，可得，設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量，則，令，可得，則，所以二面角的正弦值為.19.已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn)，過，分別作直線的垂線，垂足分別為分別異于.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）若，用含的式子表示四邊形的面積;（3）當(dāng)時(shí)，若直線AD和直線交于點(diǎn)，證