馬鞍山市2024～2025學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)和班級(jí)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式求解.【詳解】由題，，所以.故選：C.2.已知平面向量，滿足：，，與的夾角為120°，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義運(yùn)算得解.【詳解】.故選：B.3.已知某圓錐的母線與底面所成的角為60°，且母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由給定條件列出關(guān)于圓錐底面圓半徑，圓錐母線的關(guān)系式，求得，進(jìn)而求出圓錐的表面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，圓錐母線為，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知：，即，所以，所以圓錐表面積.故選：B.4.為慶祝中華全國(guó)總工會(huì)成立100周年，某單位舉行工會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，進(jìn)入決賽的8名選手得分如下：82，85，80，91，87，80，88，90.則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）A.88 B.89 C.90 D.90.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】進(jìn)入決賽的8名選手得分按照從小到大排列如下：，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為90.故選：C.5.對(duì)空中移動(dòng)的目標(biāo)連續(xù)射擊三次，設(shè)事件“三次都擊中目標(biāo)”，“三次都沒擊中目標(biāo)”，“恰有兩次擊中目標(biāo)”，“至少有兩次擊中目標(biāo)”，下列關(guān)系中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合集合的包含關(guān)系及交集及并集運(yùn)算檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】對(duì)空中移動(dòng)的目標(biāo)連續(xù)射擊三次，則樣本空間為三次都擊中目標(biāo)，恰有兩次擊中目標(biāo)，恰有一次擊中目標(biāo)，三次都沒擊中目標(biāo)，“至少有兩次擊中目標(biāo)”包含：恰有兩次擊中目標(biāo)和三次都擊中目標(biāo)，由題意可得，，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；，選項(xiàng)C正確；包含：三次都擊中目標(biāo)，恰有兩次擊中目標(biāo)，三次都沒擊中目標(biāo)，故，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D6.已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列結(jié)論正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，，，則，故A正確；對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則或與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：A.7.在2025年春晚的舞臺(tái)設(shè)計(jì)中，工程師設(shè)計(jì)了一個(gè)三角形裝飾燈架用于懸掛燈光設(shè)備.已知燈架的兩邊米，米，且.為了加固結(jié)構(gòu)，需從邊的中點(diǎn)到頂點(diǎn)安裝一條加固桿，則加固桿的長(zhǎng)度為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】由題可得，利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，，，所以，所以，.故選：A.8.在中，，，直線與交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線的推論求解.【詳解】如圖，由三點(diǎn)共線，可設(shè)，又，，所以，又三點(diǎn)共線，則，解得，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)AD，舉反例說明；對(duì)B，由共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷；對(duì)C，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可判斷.【詳解】對(duì)于A，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，由，則，所以，故C正確；對(duì)于D，如，，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則可以是（）A.15° B.30° C.45° D.60°【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合，可得，根據(jù)大邊對(duì)大角確定角范圍，得解.【詳解】由正弦定理，可得，，，又，則，故，所以.故選：ABC.11.如圖是一個(gè)由直三棱柱與半個(gè)圓柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體，底面，，且，為該組合體曲面部分上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿著該組合體表面運(yùn)動(dòng)到的最短路程為C.三棱錐體積的最大值為D.當(dāng)平面時(shí)，直線與底面所成角的正切值為【答案】ACD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，利用平行公理及平行四邊形的性質(zhì)可證得選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，通過舉反例否定選項(xiàng)B；當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，通過計(jì)算可判斷C正確；過作平面分別交于，交于，連接交于,連接，確定為直線與底面的所成角，易得，通過計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連接.因?yàn)?，且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以∥，，由直三棱柱知，∥，，所以∥，，所以四邊形是平行四邊形，所以∥，故A正確；對(duì)于B，如圖，將側(cè)面展開與底面在同一平面，，即質(zhì)點(diǎn)沿著面和底面運(yùn)動(dòng)從點(diǎn)到的最短路程，而，故B不正確；對(duì)于C，如圖，過作∥交于，當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，，又因?yàn)?，所以三棱錐體積的最大值為，故C正確；對(duì)于D，過作平面分別交于，交于，連接交于,連接，則為直線與底面的所成角.因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又因?yàn)椋?，所以故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，若，則______.【答案】4【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)關(guān)系列式求解.詳解】由，則，解得.故答案為：4.13.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別是，則密碼被成功破譯的概率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進(jìn)而由對(duì)立事件的概率性質(zhì)可得答案．【詳解】因?yàn)榧滓覂扇四艹晒ζ谱g的概率分別是，所以密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率.故答案為：.14.如圖，等腰三角形的底邊，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后得到，且，分別沿著，將，折起，使得，重合于點(diǎn)，得到三棱錐，若三棱錐外接球的半徑為，則的面積為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，可得三棱錐為正三棱錐，作平面，外接球的球心在上，結(jié)合關(guān)系求出，得解.【詳解】由題，，，則三棱錐即三棱錐為正三棱錐，如圖，作平面，垂足為，則三棱錐外接球的球心在上，是的中心，，又外接球的半徑，則，又，即，解得或，若，則在中，，由此可得，設(shè)邊上的高為，則，所以的面積為.若，則在中，，由此可得，設(shè)邊上的高為，則，所以的面積為.故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校對(duì)高一年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試.整理參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）從分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生中抽取15人，求分?jǐn)?shù)在內(nèi)被抽取到的學(xué)生人數(shù)；（3）估計(jì)此次測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.【答案】（1）（2）9人（3）75【解析】【分析】（1）利用各組的頻率和為1，求出；（2）根據(jù)分層抽樣確定抽樣比計(jì)算；（3）利用頻率分布直方圖估算平均數(shù)公式計(jì)算.【小問1詳解】由，得.【小問2詳解】分?jǐn)?shù)在與內(nèi)的頻率之比為，故被抽到的人數(shù)為（人）.【小問3詳解】.16.如圖，在直四棱柱中，，，且，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，證明四邊形為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理得證；（2）連接，可證，得平面，結(jié)合（1），可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理得證.【小問1詳解】取中點(diǎn)為，連接和，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】連接，由，，得，又，則，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，由（1）知，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?17.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，又因?yàn)?，則，可得，且，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，由正弦定理，可得，，則，即，由余弦定理，即，解得，所以.18.甲、乙、丙三人相約下圍棋，共下4局，規(guī)則如下：每局由兩人上場(chǎng)對(duì)弈，第三人輪空，一局結(jié)束后，原輪空者上場(chǎng)與勝者對(duì)弈下一局，敗者輪空，按此規(guī)則循環(huán)下去.第一局由三人中隨機(jī)選擇兩人進(jìn)行對(duì)弈.（1）求第一局由乙、丙兩人進(jìn)行對(duì)弈的概率；（2）若甲、乙、丙三人每局對(duì)弈中戰(zhàn)勝對(duì)手的概率均為，每局對(duì)弈相互獨(dú)立且沒有平局，第一局由乙、丙兩人進(jìn)行對(duì)弈.（?。┍岢鲇脭S骰子來決定誰先落子：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記骰子朝上的點(diǎn)數(shù)分別為和，若，則由乙先落子，否則由丙先落子.請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)判斷這個(gè)方法公平嗎？說明理由；（ⅱ）求在4局對(duì)弈中甲輪空2局的概率.【答案】（1）（2）（?。┻@個(gè)方法不公平，理由見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由古典概型概率公式計(jì)算即可得解；（2）（?。├昧信e法，結(jié)合古典概型即可得解；（ⅱ）利用列表法，結(jié)合古典概型即可得解；【小問1詳解】第一局共有3種對(duì)弈方式：（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），所以由乙、丙兩人進(jìn)行對(duì)弈的概率為.【小問2詳解】（i）連續(xù)擲骰子兩次的樣本空間共有36個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件，則共有16個(gè)樣本點(diǎn)，故乙先落子概率為，因?yàn)?，所以這個(gè)方法不公平（ii）輪空情況如下表所示：第一局第二局第三局第四局甲乙甲乙丙丙甲乙丙甲乙丙乙甲丙其中甲輪空2局的可能有6種，所以在四局比賽中甲輪空2局的概率為.19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，，且，為棱的中點(diǎn)，在棱上，且.（1）求證：；（2）記平面底面，求二面角的大??；（3）當(dāng)異面直線與所成角為30°時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)和判定理即可證明；（2）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，先證即為，再通過證平面，確定即二面角的平面角即得；（3