計算機(jī)圖形學(xué)第四章數(shù)字幾何處理供《現(xiàn)代計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)》配套使用1提綱1.基礎(chǔ)2.網(wǎng)格去噪3.網(wǎng)格簡化

4.重新網(wǎng)格化5.網(wǎng)格編輯6.網(wǎng)格形變21.1幾何數(shù)字化媒體數(shù)字化進(jìn)程聲音、圖像、視頻、幾何3媒體數(shù)字化聲音圖像視頻幾何1.1幾何數(shù)字化2000年左右1995年，“玩具總動員”動畫，數(shù)字化娛樂1997年，“數(shù)字米開朗基羅”計劃，數(shù)字化文物1998年，“數(shù)字地球”，數(shù)字化生活41.2數(shù)字幾何1.2.1幾何表示離散元素表示幾何形狀點(diǎn)云多邊形網(wǎng)格51.2數(shù)字幾何1.2.1幾何表示1.2.1-1點(diǎn)云采用三維坐標(biāo)點(diǎn)作為模型幾何表示的基本單元62.5K6K17K1.2數(shù)字幾何1.2.1幾何表示1.2.1-1點(diǎn)云優(yōu)點(diǎn)簡單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)更精致缺點(diǎn)不連續(xù)的幾何基元大量的數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等性質(zhì)表示復(fù)雜7≈10億個點(diǎn)1.2數(shù)字幾何1.2.1幾何表示1.2.1-2多邊形網(wǎng)格由頂點(diǎn)、邊和多邊形面組成的集合，定義了三維形狀8三角形網(wǎng)格四邊形網(wǎng)格1.2數(shù)字幾何1.2.1幾何表示1.2.1-2多邊形網(wǎng)格由頂點(diǎn)、邊和多邊形面組成的集合，定義了三維形狀分段線性逼近函數(shù)91.2數(shù)字幾何1.2.1幾何表示1.2.1-2多邊形網(wǎng)格10NURBS網(wǎng)格CncontinuityQuadtopologyC0continuityTopologyfree點(diǎn)云網(wǎng)格C-1continuityTopologyfreeNo-connectivityC0continuityTopologyfreeConnectivity1.2數(shù)字幾何1.2.2幾何性質(zhì)1.2.2-1基本概念頂點(diǎn)的度（degree）：相鄰邊的數(shù)量表面朝向（orientation）：順時針方向的頂點(diǎn)的順序或者逆時針方向111.2數(shù)字幾何1.2.2幾何性質(zhì)1.2.2-1基本概念拓?fù)洌╰opology）：網(wǎng)格幾何元素的連接關(guān)系虧格（genus）：影響表面連續(xù)性的分割曲線條數(shù)121.2數(shù)字幾何1.2.2幾何性質(zhì)1.2.2-2基本性質(zhì)流形網(wǎng)格：局部同胚與圓盤每個邊只連接一個或者兩個表面表面上相鄰頂點(diǎn)形成一個封閉或開放式扇形非流形網(wǎng)格：局部與圓盤不同胚131.2數(shù)字幾何1.2.2幾何性質(zhì)1.2.2-2基本性質(zhì)開網(wǎng)格：具有一條或多條邊界邊界邊：只連接一個入射的表面，或者說頂點(diǎn)只連接一個開的扇形閉網(wǎng)格：不存在邊界141.2數(shù)字幾何1.2.2幾何性質(zhì)1.2.2-2基本性質(zhì)歐拉-龐加萊特性給定一個無邊界的流形網(wǎng)格M，頂點(diǎn)、邊、面的個數(shù)滿足：15#V=766#F=1536#E=2304g=2#V=2999#F=5998#E=8997g=1#V=7929#F=15855#E=23782g=01.2數(shù)字幾何1.2.3三角網(wǎng)格上的微分算子三角面片的線性表示：重心坐標(biāo)161.2數(shù)字幾何1.2.3三角網(wǎng)格上的微分算子三角面片的線性表示：重心坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)171.2數(shù)字幾何1.2.3三角網(wǎng)格上的微分算子三角面片的線性表示：重心坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)181.2數(shù)字幾何1.2.3三角網(wǎng)格上的微分算子三角面片的線性表示：重心坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)191.3幾何深度學(xué)習(xí)通過在三維幾何上定義深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行計算，完成數(shù)字幾何處理的相關(guān)任務(wù)。20?1.3幾何深度學(xué)習(xí)1.3.1點(diǎn)云神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PointNet：面向三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入：點(diǎn)云轉(zhuǎn)換成n×3的向量結(jié)構(gòu)：多層感知機(jī)、向量卷積輸出：特征向量211.3幾何深度學(xué)習(xí)1.3.1點(diǎn)云神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PointNet：面向三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)22點(diǎn)云分割1.3幾何深度學(xué)習(xí)1.3.2網(wǎng)格神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)MeshCNN：面向三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入：三角網(wǎng)格面片結(jié)構(gòu)：以邊為基本單元的卷積算子輸出：特征向量23五維向量1.3幾何深度學(xué)習(xí)1.3.2網(wǎng)格神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)MeshCNN：面向三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)24網(wǎng)格分割提綱1.基礎(chǔ)2.網(wǎng)格去噪3.網(wǎng)格簡化

4.網(wǎng)格參數(shù)化5.網(wǎng)格編輯6.網(wǎng)格形變252.1概念現(xiàn)實世界中的物體通過數(shù)字化掃描獲取與重建后的網(wǎng)格往往是帶有噪聲的激光掃描的深度圖像

從圖像重建的三維模型262.1概念網(wǎng)格去噪消除網(wǎng)格模型表面噪聲，獲得一個幾何光滑模型又稱為網(wǎng)格光順、網(wǎng)格濾波等27網(wǎng)格去噪2.1概念網(wǎng)格去噪的主要挑戰(zhàn)什么是網(wǎng)格表面的噪聲？表面的凹凸表面的高頻部分…沒有精確的數(shù)學(xué)公式檢測困難較彎曲的地方高頻部分…282.2方法目標(biāo)

消除高頻噪聲：量化模型表面的高頻信息保留全局特征：全局特征的幾何表示29+=平滑噪聲特征2.2方法形狀演化策略移動網(wǎng)格頂點(diǎn)保持拓?fù)洌翰桓淖冞B接關(guān)系保持形狀：減少曲率變化描述為形狀演化302.2方法形狀演化策略直接方案直接拉普拉斯平滑加權(quán)拉普拉斯平滑間接方案全局拉普拉斯平滑312.2方法2.2.1直接拉普拉斯平滑將頂點(diǎn)移動到相鄰頂點(diǎn)的平均位置32平均位置移動頂點(diǎn)2.2方法2.2.1直接拉普拉斯平滑示例332.2方法2.2.1直接拉普拉斯平滑特點(diǎn)循環(huán)迭代執(zhí)行等價于某種能量函數(shù)最小化能量：網(wǎng)格中邊長平方之和參數(shù)：??>

0控制收斂速度不反映網(wǎng)格形狀拉普拉斯坐標(biāo)對旋轉(zhuǎn)敏感局部幾何形狀會發(fā)生扭曲342.2方法2.2.2加權(quán)拉普拉斯平滑傘型權(quán)重均值權(quán)重簡單的平均，獲得的精度較低余切權(quán)重可獲得較好的網(wǎng)格變形結(jié)果352.2方法2.2.2加權(quán)拉普拉斯平滑結(jié)果36原始直接拉普拉斯加權(quán)拉普拉斯(余切)2.2方法2.2.3全局拉普拉斯平滑37網(wǎng)格的拉普拉斯算子其他

線性方程組2.2方法2.2.3全局拉普拉斯平滑求解拉普拉斯方程齊次方程k是網(wǎng)格中連通區(qū)域的數(shù)量需要加上某些限制38秩(L)=n-k；2.2方法39控制點(diǎn)控制點(diǎn)2.2.3全局拉普拉斯平滑求解拉普拉斯方程加上部分控制點(diǎn)進(jìn)行約束秩(L)=n3070個頂點(diǎn)，6144個三角形2.2方法2.2.3全局拉普拉斯平滑結(jié)果40Demo134359個頂點(diǎn)，268714個三角形提綱1.基礎(chǔ)2.網(wǎng)格去噪3.網(wǎng)格簡化

4.網(wǎng)格參數(shù)化5.網(wǎng)格編輯6.網(wǎng)格形變413.1概念網(wǎng)格簡化（meshsimplification）通過刪除或者修改模型中對形狀影響不大的部分網(wǎng)格面片信息（包括頂點(diǎn)、邊和面片等）來減少多邊形面片數(shù)量。423.1概念網(wǎng)格簡化（meshsimplification）問題起源：重建的網(wǎng)格模型通常規(guī)模較大，不利于存儲、傳輸和顯示，因此需要進(jìn)行滿足條件的網(wǎng)格數(shù)據(jù)簡化43≈20億個三角形移動設(shè)備3.1概念遵循原則頂點(diǎn)最少原則：即在給定誤差上界的情況下,使得簡化模型的頂點(diǎn)數(shù)最少誤差最小原則：給定簡化模型的頂點(diǎn)個數(shù),使得簡化模型與原始模型之間的誤差最小443.2簡化方法3.2.1頂點(diǎn)聚類思想：空間相鄰的近似頂點(diǎn)進(jìn)行合并方法：將原模型包圍盒劃分,使得小區(qū)域中包含了許多散落其中的頂點(diǎn)；再將此區(qū)域中的頂點(diǎn)合并,形成新的頂點(diǎn)；根據(jù)原始網(wǎng)格的拓?fù)潢P(guān)系,把這些頂點(diǎn)三角化后,從而得到簡化模型453.2簡化方法3.2.1頂點(diǎn)聚類算法聚類生成通過空間劃分將原始模型的包圍盒劃分成若干區(qū)域463.2簡化方法3.2.1頂點(diǎn)聚類算法合并新頂點(diǎn)頂點(diǎn)位置的平均值作為新頂點(diǎn)頂點(diǎn)位置的中值作為新頂點(diǎn)通過二次誤差測度求得新頂點(diǎn)473.2簡化方法3.2.1頂點(diǎn)聚類算法合并新頂點(diǎn)頂點(diǎn)位置的平均值作為新頂點(diǎn)頂點(diǎn)位置的中值作為新頂點(diǎn)通過二次誤差測度求得新頂點(diǎn)48平均頂點(diǎn)位置中值頂點(diǎn)位置二次誤差測度3.2簡化方法3.2.1頂點(diǎn)聚類算法網(wǎng)格生成聚類p：{??_0,…??_??}q：{??_0,…??_??}如果(??_??,??_??)中間有邊那么就連接(p,q)49Demo3.2簡化方法3.2.2漸進(jìn)式網(wǎng)格（Progressivemesh,PM）思想：基于頂點(diǎn)和邊的基本操作進(jìn)行化簡方法：以邊合并和點(diǎn)移除為基本操作，記錄模型簡化過程中原頂點(diǎn)和新頂點(diǎn)位置以及頂點(diǎn)間的連接關(guān)系的變動信息,從而生成由原始模型的最簡化模型和一系列簡化信息組成的漸進(jìn)表示503.2簡化方法3.2.2漸進(jìn)式網(wǎng)格（Progressivemesh,PM）迭代算法選取網(wǎng)格區(qū)域應(yīng)用簡化算子(減少頂點(diǎn)與邊)直到?jīng)]有更多減少的可能513.2簡化方法3.2.2漸進(jìn)式網(wǎng)格（Progressivemesh,PM）簡化算子：點(diǎn)移除52選擇一個即將移除的頂點(diǎn)選擇所有和頂點(diǎn)相連的三角形移除選擇的三角形添補(bǔ)缺失3.2簡化方法3.2.2漸進(jìn)式網(wǎng)格（Progressivemesh,PM）簡化算子：邊合并533.2簡化方法3.2.2漸進(jìn)式網(wǎng)格（Progressivemesh,PM）結(jié)果54Demo3.2簡化方法方法對比頂點(diǎn)聚類計算快，但難以控制簡化網(wǎng)格網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被改變誤差在全局范圍內(nèi)，但沒有接近最優(yōu)漸進(jìn)式網(wǎng)格網(wǎng)格質(zhì)量與速度之間良好的平衡網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不改變可以限制偏差，提高網(wǎng)格質(zhì)量553.3基于深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)格簡化簡化算子：復(fù)雜網(wǎng)格到簡單網(wǎng)格的映射深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行簡化算子的函數(shù)擬合56頂點(diǎn)聚類f頂點(diǎn)移除點(diǎn)采樣器邊預(yù)測器面分類器3.3基于深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)格簡化點(diǎn)采樣器：從原始網(wǎng)格的N個頂點(diǎn)中選取用于構(gòu)造簡化網(wǎng)格的M個頂點(diǎn)。頂點(diǎn)與1-鄰域內(nèi)頂點(diǎn)偏離程度為573.3基于深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)格簡化邊預(yù)測器：建立采樣頂點(diǎn)之間的邊連接關(guān)系。兩個頂點(diǎn)與

之間邊連接的概率為583.3基于深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)格簡化面分類器：根據(jù)邊預(yù)測器得到的三角面片作為初值，通過圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)挑選能夠出現(xiàn)在簡化網(wǎng)格中的三角面片。兩個三角面片與

之間相對位置關(guān)系593.3基于深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)格簡化60通過面分類器獲得每個三角面片屬于簡化網(wǎng)格的概率，并通過和預(yù)設(shè)的閾值比較，得到保留下來的三角面片，組成簡化后的網(wǎng)格。提綱1.基礎(chǔ)2.網(wǎng)格去噪3.網(wǎng)格簡化

4.網(wǎng)格參數(shù)化5.網(wǎng)格編輯6.網(wǎng)格形變614.1概念4.1.1定義網(wǎng)格表面和參數(shù)域之間的連續(xù)映射輸入：三維多邊形網(wǎng)格表面輸出：參數(shù)域同構(gòu)多邊形624.1概念4.1.1定義問題起源：1974年，Catmull提出紋理映射技術(shù)，通過紋理空間(u,v)和三維曲面(s,t)之間的對應(yīng)關(guān)系，計算三維曲面上每一點(diǎn)顏色值63紋理映射4.1概念4.1.1定義問題起源世界地圖繪制球面坐標(biāo)系644.1概念4.1.1定義問題起源世界地圖繪制65原圖球極平面投影墨卡托投影阿爾伯斯投影保角的等積的保角的4.1概念4.1.1定義問題起源世界地圖繪制66墨卡托投影4.1概念4.1.2類型理想的參數(shù)化：保形參數(shù)化保持所有的基本幾何量不變：長度、角度、面積僅適用于可展曲面對于一般曲面總會有扭曲！67可展曲面一般曲面4.1概念4.1.2類型按照幾何量扭曲分類保長度參數(shù)化（等距）保角度參數(shù)化（等角）保面積參數(shù)化（等積）68保長度參數(shù)化保角度參數(shù)化保面積參數(shù)化長度角度面積4.1概念4.1.2類型按照參數(shù)域分類平面參數(shù)化參數(shù)域是平面非平面參數(shù)化球面參數(shù)化基域參數(shù)化……69平面參數(shù)化球面參數(shù)化基域參數(shù)化4.2方法4.2.1數(shù)學(xué)模型參數(shù)域(u,v)參數(shù)化映射X(u,v)Jacobi矩陣反映

幾何扭曲704.2方法4.2.1數(shù)學(xué)模型Jacobi矩陣奇異值分解71gG奇異值:γ,Γ保角度

γ=Γ保面積

γ

Γ

=1保長度

γ=Γ

=14.2方法4.2.1數(shù)學(xué)模型Jacobi矩陣奇異值分解724.2方法4.2.1數(shù)學(xué)模型定理：每一個保長度的映射都是保角度的和保面積的，反之亦然。保長度參數(shù)化是理想的但是并不多見。在實際計算中，我們使用：保角度的保面積的兩者之間的平衡73保長度保角度保面積4.2方法4.2.2平面參數(shù)化尋找網(wǎng)格表面和平面之間的一一映射開網(wǎng)格（具有邊界的網(wǎng)格）固定邊界映射自由邊界映射閉網(wǎng)格設(shè)定邊界轉(zhuǎn)化為開網(wǎng)格744.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化彈簧模型（Springsystem）75彈簧系數(shù)4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化彈簧模型（Springsystem）76仿射組合系數(shù)4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化彈簧模型（Springsystem）仿射組合系數(shù)凸組合（convexcombination）線性重構(gòu)（linearreproduction）77平均系數(shù)均值坐標(biāo)調(diào)和坐標(biāo)4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化彈簧模型（Springsystem）仿射組合系數(shù)線性方程組求解78增加約束條件計算非平凡解！4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化固定邊界映射（重心坐標(biāo)映射）79正方形已知未知4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化固定邊界映射（重心坐標(biāo)映射）804.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化固定邊界映射（重心坐標(biāo)映射）81平均系數(shù)均值坐標(biāo)調(diào)和坐標(biāo)4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化自由邊界映射固定邊界（凸邊界）產(chǎn)生較大的幾何扭曲通過自由邊界減少參數(shù)化過程中幾何扭曲82固定邊界自由邊界關(guān)鍵問題：尋找合適的約束來計算有效參數(shù)化4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化基于角度的網(wǎng)格展開（Angle-basedflattening,ABF）思想：通過構(gòu)建參數(shù)域三角形內(nèi)角分布，恢復(fù)頂點(diǎn)對應(yīng)的平面坐標(biāo)，從而達(dá)到保持角度的目的方法：在三角形的內(nèi)角形成的角度空間定義參數(shù)化映射，通過平面三角形的角度約束計算最優(yōu)參數(shù)化坐標(biāo)834.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化基于角度的網(wǎng)格展開（Angle-basedflattening,ABF）84角度約束:所有內(nèi)角為正三角形內(nèi)角之和為π平面頂點(diǎn)周角為2π平面頂點(diǎn)一周封閉4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化基于角度的網(wǎng)格展開（Angle-basedflattening,ABF）優(yōu)點(diǎn)不會發(fā)生邊“翻轉(zhuǎn)”優(yōu)化過程收斂缺點(diǎn)非線性優(yōu)化（牛頓迭代優(yōu)化）邊界可能發(fā)生交叉854.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化最小二乘共形映射（Least-squareconformalmapping,LSCM）思想：保角度映射即共形映射，滿足柯西-黎曼方程方法：在三角面上離散柯西-黎曼方程864.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化最小二乘共形映射（Least-squareconformalmapping,LSCM）87目標(biāo)函數(shù):4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化最小二乘共形映射（Least-squareconformalmapping,LSCM）優(yōu)點(diǎn)保持角度線性優(yōu)化缺點(diǎn)無法保證參數(shù)化的有效性884.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化直接幾何扭曲優(yōu)化思想：約束三角片參數(shù)化映射的幾何扭曲方法：直接優(yōu)化以奇異值為變量的函數(shù)89保角度

γ=Γ保面積

γ

Γ

=1保長度

γ=Γ

=1ASAPAAAPARAP4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化直接幾何扭曲優(yōu)化904.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化直接幾何扭曲優(yōu)化優(yōu)點(diǎn)保長度參數(shù)化迭代線性優(yōu)化缺點(diǎn)無法保證參數(shù)化結(jié)果的有效性911st2nd3rd4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-1開網(wǎng)格的平面參數(shù)化92ABFLSCMARAP4.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-2閉網(wǎng)格的平面參數(shù)化尋找最優(yōu)切割線將網(wǎng)格切開，變成開網(wǎng)格采用開網(wǎng)格平面參數(shù)化934.2方法4.2.2平面參數(shù)化4.2.2-2閉網(wǎng)格的平面參數(shù)化切割線方法方法1：通過最小生成樹在網(wǎng)格表面尋找曲率高的網(wǎng)格頂點(diǎn)及邊，形成分割線方法2：結(jié)合網(wǎng)格頂點(diǎn)的可見性分布，尋找盡可能被隱藏的切割線94方法1方法24.2方法4.2.2平面參數(shù)化優(yōu)點(diǎn)計算復(fù)雜度較低顯式控制幾何扭曲缺點(diǎn)僅適用于與拓?fù)鋱A盤同構(gòu)的網(wǎng)格曲面對于虧格大于0的網(wǎng)格曲面，一般需要按照一定的規(guī)則將整個網(wǎng)格分片，會引起參數(shù)化結(jié)果不連續(xù)954.2方法4.2.3球面參數(shù)化將虧格為零的三維網(wǎng)格參數(shù)化映射到球面等價于將頂點(diǎn)之間連接結(jié)構(gòu)嵌入到單位球96Steinitz‘stheorem：任何虧格為零且封閉的三角化可以映射成球面三角化。4.2方法4.2.3球面參數(shù)化球面重心坐標(biāo)映射97Laplacian矩陣i-throwofLaplacian4.2方法4.2.3球面參數(shù)化球面重心坐標(biāo)映射984.2方法4.2.4基域參數(shù)化選取幾何簡單，同時拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（虧格）一致的基網(wǎng)格作為參數(shù)域。最常用的基網(wǎng)格參數(shù)域是單純復(fù)形（可以看作是傳統(tǒng)網(wǎng)格的一部分，只包含連接信息）。99genus=0genus=3提綱1.基礎(chǔ)2.網(wǎng)格去噪3.網(wǎng)格簡化

4.網(wǎng)格參數(shù)化5.網(wǎng)格編輯6.網(wǎng)格形變1005.1概念網(wǎng)格編輯（Meshediting/deformation）定義：操縱和修改網(wǎng)格表面的幾何形狀，同時能夠保留原始網(wǎng)格幾何細(xì)節(jié)的操作。1015.1概念網(wǎng)格編輯（Meshediting/deformation）問題起源：各種應(yīng)用中需要動態(tài)形狀，例如，游戲、電影、計算機(jī)輔助設(shè)計等。但是，每種狀態(tài)下的形狀單獨(dú)建模比較費(fèi)時費(fèi)力。目標(biāo)通過內(nèi)部或者外部作用力改變形狀編輯應(yīng)該是快速的并且盡可能接近現(xiàn)實物體操作1025.2編輯方法5.2.1自由編輯（Free-formdeformation）思想：將網(wǎng)格嵌入到一個簡單的控制多面體中控制多面體比原始形狀簡單方法：對控制多面體進(jìn)行變形

根據(jù)變形后的控制多面體更新嵌入網(wǎng)格的形狀103控制網(wǎng)格和原始網(wǎng)格編輯后結(jié)果5.2編輯方法5.2.1自由編輯（Free-formdeformation）5.2.1-1基于樣條控制頂點(diǎn)的編輯采用三變量張量積樣條表示網(wǎng)格形狀改變樣條控制頂點(diǎn)編輯網(wǎng)格形狀1045.2編輯方法5.2.1自由編輯（Free-formdeformation）5.2.1-2基于重心坐標(biāo)的編輯三角形重心坐標(biāo)三角網(wǎng)格重心坐標(biāo)1055.2編輯方法5.2.1自由編輯（Free-formdeformation）5.2.1-2基于重心坐標(biāo)的編輯結(jié)果106Demo5.2編輯方法5.2.1自由編輯（Free-formdeformation）優(yōu)點(diǎn)任意形狀的平滑編輯對編輯的局部控制編輯迅速缺點(diǎn):難以得到滿足物理的編輯效果1075.2編輯方法108Demo5.2.2骨架驅(qū)動編輯（Skeleton-drivendeformation）通過改變骨架驅(qū)動網(wǎng)格形狀變化方便動畫師更加靈活地控制具有骨架結(jié)構(gòu)的物體變形

5.2編輯方法1095.2.3基于約束的編輯（Constrain-baseddeformation）思想：交互指定約束類型作為編輯限制點(diǎn)/區(qū)域約束方向約束位置約束方法：通過求解滿足約束的形狀方程計算編輯結(jié)果5.2編輯方法5.2.3基于約束的編輯（Constrain-baseddeformation）拉普拉斯網(wǎng)格編輯通過離散的Laplacian微分坐標(biāo)表示幾何細(xì)節(jié)110

平均鄰域5.2編輯方法5.2.3基于約束的編輯（Constrain-baseddeformation）拉普拉斯網(wǎng)格編輯通過離散的Laplacian微分坐標(biāo)表示幾何細(xì)節(jié)111平均鄰域

方向接近法線大小近似于平均曲率1125.2編輯方法

Laplacian微分坐標(biāo)約束頂點(diǎn)1135.2編輯方法5.2.3基于約束的編輯（Constrain-baseddeformation）拉普拉斯網(wǎng)格編輯結(jié)果Demo1145.2編輯方法5.2.4編輯遷移（Deformationtransfer）思想：將網(wǎng)格編輯過程遷移到其他網(wǎng)格方法在源對象和目標(biāo)之間建立對應(yīng)的映射將對源對象的編輯遷移到目標(biāo)，快速生成目標(biāo)的編輯效果Demo原圖目標(biāo)參考提綱1.基礎(chǔ)2.網(wǎng)格去噪3.網(wǎng)格簡化

4.網(wǎng)格參數(shù)化5.網(wǎng)格編輯6.網(wǎng)格形變1156.1概念網(wǎng)格形變（Meshmorphing）定義：給定源網(wǎng)格和目標(biāo)網(wǎng)格形狀，自動插值生成中間過度形狀的網(wǎng)格116源網(wǎng)格目標(biāo)網(wǎng)格6.2方法6.2.1基于參數(shù)化的網(wǎng)格形變MAPS(曲面的多分辨率自適應(yīng)參數(shù)化)網(wǎng)格變形指定源網(wǎng)格S和目標(biāo)網(wǎng)格T之間的特征點(diǎn)對和特征線對1176.2方法6.2.1基于參數(shù)化的網(wǎng)格形變MAPS(曲面的多分辨率自適應(yīng)參數(shù)化)網(wǎng)格變形使用MAPS來構(gòu)造基域（basedomain）Sb

和Tb，作為源網(wǎng)格和目標(biāo)網(wǎng)格的參數(shù)域118SbTb6.2方法6.2.1基于參數(shù)化的網(wǎng)格形變MAPS(曲面的多分辨率自適應(yīng)參數(shù)化)網(wǎng)格變形網(wǎng)格簡化：使用邊合并的頂點(diǎn)消除法，重建拓?fù)湟恢碌脑?目標(biāo)網(wǎng)格1196.2方法

120S

TTb6.2方法6.2.1基于參數(shù)化的網(wǎng)格形變MAPS(曲面的多分辨率自適應(yīng)參數(shù)化)網(wǎng)格變形插值生成中間形狀網(wǎng)格：對源三角網(wǎng)格和目標(biāo)三角網(wǎng)格對應(yīng)的頂點(diǎn)進(jìn)行幾何插值，生成中間形狀的三角網(wǎng)格。121Demo6.2方法6.2.2基于微分坐標(biāo)的網(wǎng)格形變思想：源網(wǎng)格和目標(biāo)網(wǎng)格頂點(diǎn)的直接插值，容易產(chǎn)生體積收縮、幾何細(xì)節(jié)扭曲等問題。通過插值網(wǎng)格表面的幾何細(xì)節(jié)，生成更優(yōu)的中間網(wǎng)格。方法：插值微分坐標(biāo)表示的幾何細(xì)節(jié)122頂點(diǎn)線性插值微分坐標(biāo)插值源網(wǎng)格目標(biāo)網(wǎng)格6.2方法6.2.2基于微分坐標(biāo)的網(wǎng)格形變拉普拉斯形狀插值拉普拉斯微分算子計算微分坐標(biāo)微分坐標(biāo)變換的極分解，插值旋轉(zhuǎn)R和縮放S123源網(wǎng)格目標(biāo)網(wǎng)格6.2方法6.2.2基于微分坐標(biāo)的網(wǎng)格形變拉普拉斯形狀插值結(jié)果124頂點(diǎn)線性插值微分坐標(biāo)插值6.3深度學(xué)習(xí)方法6.3.1變分自編碼器VariationalAuto-Encoder（VAE）是一種典型的非監(jiān)督式深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。1256.3深度學(xué)習(xí)方法6.3.2基于VAE的網(wǎng)格形變通過VAE提取和表示表示三角網(wǎng)格特征和生成插值的中間形狀。126旋轉(zhuǎn)不變網(wǎng)格差分（RIMD）6.3深度學(xué)習(xí)方法6.3.2基于VAE的網(wǎng)格形變RIMD：Rotation-InvariantMeshDifference127極分解6.3深度學(xué)習(xí)方法6.3.2基于VAE的網(wǎng)格形變RIMD：Rotation-InvariantMeshDifferenceLoss函數(shù)：VAE輸出向量進(jìn)行線性插值：1286.3深度學(xué)習(xí)方法6.3.2基于VAE的網(wǎng)格形變結(jié)果129ReferencesRecentadvancesinremeshingofsurfaces.P.Alliez.,UCELLIG.Ucelli,C.Gotsman,M.Attene.InShapeAnalysisandStructuring.SpringerBerlinHeidelberg,2008,pp.53–82.Asignalprocessingapproachtofairsurfacedesign.Taubin.SIGGRAPH1996ImplicitFairingofIrregularMeshesusingDiffusionandCurvatureFlow.Desbrun,Meyer,Schroeder,Barr.SIGGRAPH1999.AnIntuitiveFrameworkforReal-TimeFreeformModeling.Botsch,Kobbelt.SIGGRAPH2004Bilateralmeshdenoising.Fleishman,Drori,Cohen-Or.SIGGRAPH2003Non-iterativefeaturepreservingmeshsmoothing.Jones,Durand,Desbrun.SIGGRAPH2003Surfacesimplificationusingquadraticerrormetrics.M.Garland,P.Heckbert.SIGGRAPH1997.Quadrilateralmeshsimplification.J.Daniels,C.Silva,J.Shepherd,E.Cohen.SIGGRAPHASI