2024—2025學年高三期中考試1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A={1,2,3,4,5,6},B={x∈N|2x∈A},則CAA.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件3.設向量a=(2,2),b=(一2,6),c=(4,2),且(a—λb)⊥c,則λ=A.3B.24.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側面積為6π,則該圓錐的內切球體積為的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平秒個單位長度得到函數g(x)的圖象.若對任意的x∈R都有g(x)+g(-x)=0,則圖中a的值為6.已知函數若方程f(x)-ax=0恰有2個不相等的實數解，則a的取值范圍是A.(一∞,0)B.[-1,0]C.(-1,4)D.(0,+∞)A.2B.-2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知方程x2+2x+4=0的兩個復數根為z?,≈2,則下列說法正確的有C.z?z2=4C.3a∈R,使f(x)在R上是減函數D.Va∈R,曲線y=f(x)的對稱中心的橫坐標為定值11.已知曲線C上的動點P(x,y)到點F(1,0)的距離與其到直線x=-1的距離相等，則A.曲線C的軌跡方程為y2=4xB.若T(4,2),M為曲線C上的動點，則|MT|+|MF|的最小值為5C.過點N(-1,0),恰有2條直線與曲線C有且只有一個公共點D.圓x2+y2=5與曲線C交于A,B兩點，與直線x=-1交于E,G兩點，則A,B,E,G四點圍成的四邊形的周長為12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。13.曲線y=2x—1nx在點(1,2)處的切線與拋物線y=ax2—ax+2相切，則a=·是.(第一空2分，第二空3分)第2頁(共4頁)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(1)求角A;(2)若a=2,求△ABC周長的取值范圍.16.(15分)已知函數f(x)=xlnx-ax2+1.(1)若f(x)在(0,+∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍；PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2.(2)若FC與平面ABCD所成的角是,求二面角F-AC一D的余弦值.第4頁(共4頁)18.(17分)如圖，已知橢圓上的點到其左焦點的最大矩離和最小距離分別為2(√3+√2)和2(√3—√2),斜率為的直線l與橢圓C相交于異于點P(3,1)的M,N兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)若|MN|=√10,求直線l的方程；(3)當直線PM,PN均不與x軸垂直時，設直線PM的斜率為k?,直線PN的斜率為k?,求n-2),則稱{an}為M數列.①1,2,4,3;②4,2,8,1.{an}是等差數列的充分必要條件是數列{bm}是常數列.(3)已知M數列{an}是m(m∈N"且m≥3)個連續(xù)正整數1,2,…,m的一個排列，若,求m的所有取值.2024—1.D【解析】因為A={1,2,3,4,5,6},B={x∈N2x∈A},所以B={1,2,3},CAB={4,5,6}.3.A【解析】因為a=(2,2),b=(-2,6),c=(4,2),所以a-λb=(2+2λ,2—6λ);因為(a—λb)⊥c=8(1+λ)+4(1-3λ)=12—4λ=0,解得λ=3.故選A.4.B【解析】設圓錐的底面半徑為r,則π·r·2r=6π,所以r=√3.設圓錐的內切球半徑為R,又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以,則內切球的體積.故選B.5.A【解析】由f(x)max=2,得A=2.f(x)由題意知g(x)為奇函數，所以其圖象關于原點對稱，得函數f(x)的圖象過點.設f(x)的最小正周期為6.C【解析】當x≤0時，f(x)=x2+4x,由二次函數的性質可知f(x)在(-∞,-2)上單調遞減，在(-2,0)上單f(x)在(0,1)上單調遞減.令h(x)=In(1-x),則h'(0)=-1.作出y=f(x)的大致圖象，如圖所示.方程f(x)-ax=0恰有2個不相等的實數解，也就是f(x)的圖象與直線y=ax恰有兩個公共點.由圖易知所求a的取值范圍是(-1,4).故選C.7.C【解析】因為函數f(x+2)為偶函數，所以f(x+2)=f(一x+2),即函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱；因為函數f(2x+1)為奇函數，所以f(2x+1)+f(-2x+1)=0,即函數f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱.又所以8.C【解析】因為x2+y2—xy=1,將點(一x,-y)的坐標代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關于原點對稱；將點(y,x)和(一y,—x)的坐標分別代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關于直線y=x和y=-x對稱.數學答案第1頁(共8頁)數學答案第2頁(共8頁)設直線y=-x與橢圓交于C,D兩點，則所以.由橢圓性質可知，2a=|AB|=,所以a=√2,9.ACD【解析】方程x2+2x+4=0的兩個復數根為z1,z?,由一元二次方程根與系數的關系得z?+z?=-2,B選項，x2+2x+4=0的兩個復數根若z?=-1+√3i,z?=-1—√3i,則z2=(-1+√3i)2=1-2√3i+3i2=-2-2√3i≠z?,B錯誤；對于B,f'(x)=3x2—2x+a,當時，△=4-12a≤0而不等式3x2—2x+a≤0的解集不可能得曲線y=f(x)的對稱中心的坐標為,D正確.故選BD.11.ABD【解析】對于A,依題意，曲線C是以F(1,0)為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，方程為y2=4x,A對于B,如圖，過點T作直線x=-1的垂線，交直線x=-1于E,交拋物線于A.令點M到直線x=-1的距離為d,則M|F|=d,|MTI+|MF|=|MTI+d≥TE|,當且僅當點M與點A重合時取等號，因此|MTI+數學答案第3頁(共8頁)|MF|的最小值為|TE|=5,B正確；對于C,顯然過點N(一1,0)與曲線C有且只有一個公共點的直線的斜率存在，設其方程為y=k(x+1),消去x得ky2-4y+4k=0,當k=0時，直線y=0與拋物線僅有一個公共點，當k≠0時，由△=16—16k2=0,解得k=±1,顯然直線y=x+1,y=-x-1均與拋物線僅有一個公共點，因此過點N(-1,0)與曲線C有且只有一個公共點的直線有3條，C錯誤；對于D,直線x=-1交圓x2+y2=5于點E(一1,2),G(一1,-2),由得或從而A(1,2),B(1,-2),所以四邊形ABGE是矩形，其周長為2×(2+4)=12,D正確.故選ABD.12.8【解析】設等差數列{an}的公差為d,所以曲線y=2x-Inx在點(1,2)處的切線方程為y-2=x-1,即y=x+1.所15.解：(1)由及正弦定理得,……………1分數學答案第4頁(共8頁)因為A∈(0,π),所以……………………5分又a=2,所以b2+c2=bc+4.……………………7分所以bc≤4,當且僅當b=c=2時，等號成立.……………………9分又(b+c)2=b2+c2+2bc=3bc+4≤1即0<b+c≤4,又b+c>a=2,所以2<b+c≤4,……………11分所以4<a+b+c≤6,即△ABC周長的取值范圍是(4,6).……………13分因為f(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以f'(x)=lnx+1—2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立.……………2分構造函數令g'(x)=0,解得x=1.所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增，在區(qū)間(1,十∞)上單調遞減，所以,即a的取值范圍為……………………6分(2)證明：方法一：由題意得f(x)=xlnx-ax2+1的定義域為(0,+∞),構造函數,即證h(x)mn>0.……………………8分因為函數T(x)圖象的對稱軸為直線,所以T(x)在(0,十∞)上單調遞增，且T(0)=-1<0,T(1)=-a>0,所以存在xo∈(0,1),使得T(xo)=-ax?+xo-1=0,數學答案第5頁(共8頁)又因為—ax?+x。-1=0,,所以(0<x?<1)..……13分即h(x)min>0,所以f(x)>015因為一x2<0,所以φ(a)關于a單調遞減.………………………8分令m(x)=xlnx+1,則m'(x)=1nx+1,令m'(x)=0,解得x0十單調遞增…………13分又AE//CD且所以四邊形AEHF為平行四邊形，則AF//EH4分數學答案第6頁(共8頁)則FM//PA且,又PA=2,所以FM=1.因為PA⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD,故FC與平面ABCD所成的角為∠FCM,所以.…………………8分又由菱形性質可得AG=CM,所以AG2+BG2=AB2,所以AG⊥BC.所以AG⊥AD,所以AG,AD,AP兩兩垂直.…………………10分以點A為坐標原點，直線AG,AD,AP分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直由PA⊥平面ABCD得平面ACD的一個法向量為n=(0,0,1).設平面FAC的一個法向量為m=(x,y,z),所以m=(√3,-3,3)為平面FAC的一個法向量.……………14分設二面角F-AC-D的平面角為θ,由圖可得θ為銳角，所以二面角F-AC一D的余弦值為……………………15分橢圓的幾何性質，………………………2分解得則b=√a2—c2=2,………………4分故橢圓C的方程…………………5分數學答案第7頁(共8頁)當m=2時，直線l的方程為此時直線l過點P(3,1);所以直線l的方程為………