高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念第七章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解數(shù)系的擴(kuò)充與引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性.(數(shù)學(xué)抽象)2.通過方程的解認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù),并理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思虛數(shù)的單位i最早是由歐拉引入的,他取imaginary(想象的,假想的)一詞的首字母作為虛數(shù)單位,i=,于是一切虛數(shù)都具有bi的形式.但虛數(shù)的確定要?dú)w功于18世紀(jì)兩位業(yè)余數(shù)學(xué)家,一位是挪威的測繪員威賽爾,另一位是巴黎的會(huì)計(jì)師阿爾干.知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念及其表示1.復(fù)數(shù)的定義我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.規(guī)定i·i=i2=-1.2.復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時(shí),復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R,其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.要點(diǎn)筆記z=a+bi(a,b∈R)的虛部是b,而不是bi.微練習(xí)(1)復(fù)數(shù)z=2+5i的實(shí)部等于

,虛部等于

.

(2)若復(fù)數(shù)z=(2a-1)+(3+a)i(a∈R)的實(shí)部與虛部相等,則a=

.

(3)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.若復(fù)數(shù)z=x+yi,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別為x,y.(

)答案(1)2

5

(2)4

(3)×解析(1)復(fù)數(shù)z=2+5i的實(shí)部等于2,虛部等于5.(2)由已知得2a-1=3+a,所以a=4.知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d.名師點(diǎn)析(1)根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義知,在a=c且b=d兩式中,如果有一個(gè)不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).(2)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù),則可以比較大小;否則不能比較大小.(3)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要依據(jù),是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化這種數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn).微練習(xí)已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,則x+y=

.

答案5知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的分類1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以分類如下:2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系:微練習(xí)

(2)若復(fù)數(shù)z=(m-2)+(m+1)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=

.

課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一對(duì)復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解例1(多選題)下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成B.若復(fù)數(shù)z=3m+2ni,則其實(shí)部與虛部分別為3m,2nC.在復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)D.若a∈R,a≠0,則(a+3)i是純虛數(shù)分析根據(jù)復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念進(jìn)行分析判斷.答案ABD解析A錯(cuò),復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成,在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).B錯(cuò),只有當(dāng)m,n∈R時(shí),才能說復(fù)數(shù)z=3m+2ni的實(shí)部與虛部分別為3m,2n.C正確,復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)為純虛數(shù)的條件是x=0且y≠0,只要x≠0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù).D錯(cuò),只有當(dāng)a∈R,且a≠-3時(shí),(a+3)i才是純虛數(shù).要點(diǎn)筆記判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(diǎn)(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念,注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系;(2)注意復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同;(3)注意通過列舉反例來說明一些命題是假命題.變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.1-ai(a∈R)是一個(gè)復(fù)數(shù)B.形如a+bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)C.兩個(gè)復(fù)數(shù)一定不能比較大小D.若a>b,則a+i>b+i答案A解析由復(fù)數(shù)的定義知A正確;當(dāng)a∈R,b=0時(shí)a+bi(b∈R)表示實(shí)數(shù),故B項(xiàng)錯(cuò)誤;如果兩個(gè)復(fù)數(shù)同時(shí)是實(shí)數(shù)時(shí),可以比較大小,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;a+i與b+i不能比較大小,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.探究二復(fù)數(shù)的分類及其應(yīng)用例2已知復(fù)數(shù)z=(m2-2m)+

i,其中m∈R.當(dāng)m為何值時(shí),(1)z是實(shí)數(shù);(2)z是虛數(shù);(3)z是純虛數(shù).分析根據(jù)復(fù)數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)及條件,建立關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程或不等式(組),求解m滿足的條件.反思感悟利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項(xiàng)(1)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí),首先應(yīng)將復(fù)數(shù)化為z=a+bi(a,b∈R)的形式,若不是這種形式,應(yīng)先化為這種形式,得到實(shí)部與虛部,再求解;(2)要注意確定使實(shí)部、虛部的式子有意義的條件,再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解;(3)要特別注意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0.變式訓(xùn)練2已知m∈R,復(fù)數(shù)z=lgm+(m2-1)i,當(dāng)m滿足何條件時(shí),(1)z為實(shí)數(shù);(2)z為虛數(shù);(3)z為純虛數(shù).探究三復(fù)數(shù)相等的充要條件及應(yīng)用例3已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求實(shí)數(shù)m的值.分析M∪P=P→M?P→(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i→列出方程組可求得m的值解∵M(jìn)∪P=P,∴M?P.∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.若(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,反思感悟復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)復(fù)數(shù)必須是z=a+bi(a,b∈R)的形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題,為應(yīng)用方程思想提供了條件,同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).變式訓(xùn)練3(1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),則x=

,y=

.

(2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求實(shí)數(shù)x,y的值.(1)答案-12

5解析由復(fù)數(shù)相等的條件知x=-12,y=5.素養(yǎng)形成對(duì)復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解典例給出下列說法:(1)若x+yi=0,則x=y=0;(2)若a+bi=3+8i,則a=3,b=8;(3)若x為實(shí)數(shù),且(x2-4)+(x2+2x)i是純虛數(shù),則x=±2;(4)若3x+mi<0,則有x<0.其中正確的序號(hào)是

.

答案(4)解析(1)和(2)都是錯(cuò)誤的,原因是沒有x,y∈R,a,b∈R的限制條件,因此相應(yīng)結(jié)論都是錯(cuò)誤的;(3)也是錯(cuò)誤的,事實(shí)上,當(dāng)(x2-4)+(x2+2x)i是純虛數(shù)時(shí),應(yīng)有方法點(diǎn)睛復(fù)數(shù)中的許多結(jié)論,都是建立在復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R)的形式這一條件下的,在復(fù)數(shù)z=a+bi中,a,b∈R是必不可少的條件,如果沒有這一條件,相應(yīng)結(jié)論不一定能夠成立.例如:a+bi=0?a=b=0成立的條件是a,b∈R;a+bi=c+di?a=c,b=d成立的條件是a,b,c,d∈R.另外,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的條件是a=0,且b≠0,切記不能丟掉“b≠0”這一條件.變式訓(xùn)練若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)k等于

.

答案3當(dāng)堂檢測答案D解析復(fù)數(shù)(2+)i的實(shí)部是0,故選D.2.“a=-2”是“復(fù)數(shù)z=(a2-4)+(a+1)i(a,b∈R)為純虛數(shù)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a=-2時(shí),z=(22-4)+(-2+1)i=-i是純虛數(shù);當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.故“a=-2”可以推出“z為純虛數(shù)”,反之不成立.故選A.3.設(shè)C={復(fù)數(shù)},A={實(shí)數(shù)},B={純虛數(shù)},全集U=C,則下面結(jié)論正確的是(

)A.A∪B=C B.?UA=BC.A∩(?UB)=? D.B∪(?UB)=C答案D解析由復(fù)數(shù)的分類可知D項(xiàng)正確.4.若x,y∈R,且3x+y+3=(x-y-3)i,則x=

,y=

.

答案0

-35.(2021安徽宿州期末)已知復(fù)數(shù)z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z是下列數(shù)?(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).解(1)當(dāng)m2