高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義,認(rèn)識(shí)這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體.(邏輯推理、直觀想象)2.了解柱體、錐體、臺(tái)體之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.了解簡單組合體的概念和基本形式.(數(shù)學(xué)抽象)4.會(huì)用柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)特征.(邏輯推理、直觀想象)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思容器中的學(xué)問油桶、熱水瓶等都是用來裝液體的容器,平時(shí)你注意過沒有,裝液體的容器,往往都是圓柱形的,這其中有沒有蘊(yùn)含數(shù)學(xué)方面的知識(shí)呢?裝同樣體積的液體的容器中,如果容器的高度一樣,那么,做成圓柱形容器所需要的材料最省.因此,油桶、熱水瓶等容器大都是圓柱形的.有沒有比圓柱更省料的形狀呢?有的.根據(jù)數(shù)學(xué)的原理,在同樣材料做的一些容器中,球形容器的容積要比圓柱形的更大.也就是說,做成球形容器,可以更節(jié)約材料.但是,球形容器很容易滾動(dòng),放不穩(wěn),它的蓋子也不容易做,所以不實(shí)用.放固體的容器,如盒子、箱子、柜子等,為什么不做成圓柱形的呢?雖然做成圓柱形的容器比較省料,但是用來裝固體東西卻不經(jīng)濟(jì),所以通常把它們做成長方體形狀.知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、圓柱的結(jié)構(gòu)特征

圓柱及相關(guān)概念圖形及表示定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱用表示它的軸的字母表示圖中圓柱記作:圓柱O'O相關(guān)概念軸:旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸;底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面;側(cè)面:平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面;母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線要點(diǎn)筆記圓柱的性質(zhì)(1)圓柱的底面是兩個(gè)半徑相等的圓面,兩圓面所在平面互相平行.(2)通過軸的各個(gè)截面叫做軸截面,軸截面是全等的矩形.(3)母線平行且相等,它們都垂直于底面,它們的長等于圓柱的高.微思考(1)如圖,矩形ABCD繞其邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周,其余三邊BC,CD,DA旋轉(zhuǎn)各形成什么圖形?共同圍成什么空間幾何體?提示邊BC,DA旋轉(zhuǎn)各形成一個(gè)圓面,邊CD旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)曲面,它們共同圍成一個(gè)圓柱.(2)如圖,在圓柱中任取不重合的兩條母線,如AB,CD,它們有何關(guān)系?過它們的截面是怎樣的圖形?連接AC,AC還是母線嗎?提示AB

CD,截面ABCD是矩形.AC不是母線.知識(shí)點(diǎn)二、圓錐的結(jié)構(gòu)特征

圓錐及相關(guān)概念圖形及表示定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐用表示軸的字母表示圖中圓錐記作:圓錐SO相關(guān)概念軸:旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸;底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面;側(cè)面:直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面;母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊都叫做圓錐側(cè)面的母線

母線即為直角三角形的斜邊名師點(diǎn)析圓錐具有以下性質(zhì):(1)圓錐的底面是一個(gè)圓面,圓面的半徑就是直角邊OA的長,底面和軸垂直.(2)平行于底面的截面是圓面.(3)通過軸的各個(gè)截面是軸截面,各軸截面是全等的等腰三角形,如△SAB.(4)過頂點(diǎn)和底面相交的截面是等腰三角形,如等腰三角形SAC.(5)母線都過頂點(diǎn)且相等,各母線與軸的夾角相等.微思考(1)如圖,在圓錐中任取不重合的兩條母線,如AB,AD,它們之間有何關(guān)系?過它們的截面是怎樣的圖形?提示AB與AD相交于點(diǎn)A,且AB=AD.截面ABD是過頂點(diǎn)A的等腰三角形.(2)以Rt△ABC任一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體就是棱錐,這句話對(duì)嗎?提示不對(duì).必須以直角邊所在直線為軸.若以斜邊所在直線為軸,形成的幾何體是同底面的兩個(gè)圓錐組成的.知識(shí)點(diǎn)三、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

圓臺(tái)及相關(guān)概念圖形及表示定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái);以直角梯形中垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)用表示它的軸的字母表示圖中圓臺(tái)記作:圓臺(tái)O'O相關(guān)概念軸:旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸;底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓面叫做圓臺(tái)的底面;側(cè)面:不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)面;母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊叫做圓臺(tái)的母線名師點(diǎn)析圓臺(tái)具有以下性質(zhì):(1)圓臺(tái)的底面是兩個(gè)半徑不等的圓面,兩圓面所在的平面互相平行又都和軸垂直.(2)平行于底面的截面是圓面.(3)通過軸的各個(gè)截面是軸截面,各軸截面是全等的等腰梯形,如梯形ABB1A1.(4)任意兩條母線確定的平面,截圓臺(tái)所得的截面是等腰梯形,如梯形ACC1A.(5)母線都相等,各母線延長后都相交于一點(diǎn).微練習(xí)(1)下列說法正確的是(

)A.以直角三角形的一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B.以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C.圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面D.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.①用平面去截圓柱,會(huì)得到一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái).(

)②用一個(gè)平面截圓錐,截得的兩部分分別是圓錐和圓臺(tái).(

)答案(1)A

(2)①×

②×解析

(1)以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái),所以選項(xiàng)B不正確;圓錐僅有一個(gè)底面,所以選項(xiàng)C不正確;圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長,所以選項(xiàng)D不正確.很明顯選項(xiàng)A正確.知識(shí)點(diǎn)四、球的結(jié)構(gòu)特征

球及相關(guān)概念圖形及表示定義半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球用表示球心的字母表示圖中的球記作:球O相關(guān)概念球心:半圓的圓心叫做球的球心;半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑;直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑要點(diǎn)筆記用平面截球截面為圓面,過球心的平面截得的圓叫做球的大圓,不過球心的平面截得的圓叫做球的小圓.微思考(1)如圖,把半圓繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,半圓弧旋轉(zhuǎn)形成什么圖形?如果是把整個(gè)的圓繞其一條直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周,圓弧旋轉(zhuǎn)形成什么圖形?它們各自圍成什么空間幾何體?提示半圓弧旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)球面,圓弧旋轉(zhuǎn)形成的也是一個(gè)球面,它們圍成的空間幾何體都是球.(2)類比平面幾何中圓的定義,你能給出球的另一種定義嗎?提示空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面,球面所圍成的幾何體叫做球體,簡稱球.這個(gè)定點(diǎn)叫球心,定長叫做球的半徑.知識(shí)點(diǎn)五、簡單組合體1.簡單組合體的概念:由簡單幾何體組合而成的幾何體稱作簡單組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱體、錐體、臺(tái)體、球等結(jié)構(gòu)特征的物體組成的.2.簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式:一種是由簡單幾何體拼接而成;一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.微練習(xí)如圖,第一排中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周,能形成第二排中的某個(gè)幾何體,請(qǐng)把第一、第二排中相應(yīng)的圖形用線連起來.答案①—C

②—B

③—D

④—A課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說法正確的是

.(填序號(hào))

①以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;②半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是球;③用一個(gè)平面去截球,得到的截面是一個(gè)圓面.答案①②③

反思感悟1.判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法(1)明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.(2)明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.2.簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量.(2)在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想.變式訓(xùn)練1下列說法:①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個(gè);②用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓;③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線,可能相交也可能不相交;④球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)與球心的線段.其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析②錯(cuò)誤,截面可能是一個(gè)三角形;③錯(cuò)誤,圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線必相交于一點(diǎn);①④正確.故選C.探究二組合體的結(jié)構(gòu)特征例2描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析從簡單組合體的兩種基本構(gòu)成形式入手分析.解圖①所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體;圖②所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐得到的組合體;圖③所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體.反思感悟判斷實(shí)物是由哪些簡單幾何體組成的技巧:(1)準(zhǔn)確理解簡單幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的結(jié)構(gòu)特征;(2)正確掌握簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式;(3)若用分割的方法,則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線(或面).變式訓(xùn)練2如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的?解旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示.其中①是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)O2O3,O4O3組成的;②是由一個(gè)圓錐O5O4,一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O2O1組成的.探究三旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算例3如圖,用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐,截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺(tái)O'O的母線長.分析過圓錐的軸作截面,利用三角形相似來解決.解設(shè)圓臺(tái)的母線長為lcm,由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16,可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為rcm,4rcm.過軸SO作截面,如圖.則△SO'A'∽△SOA,SA'=3cm,反思感悟用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體,注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似),同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì),利用相似三角形中的相似比,構(gòu)造相關(guān)幾何變量的方程組而得解.這種立體問題平面化是解答旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問題最常用的方法.延伸探究本例中若圓臺(tái)的上底面半徑為1cm,其他條件不變,試求圓臺(tái)的高.解∵圓臺(tái)的上底面半徑為1cm,∴下底面半徑為4cm.如圖,在Rt△A'HA中,素養(yǎng)形成轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間幾何體表面上兩點(diǎn)間最短距離中的應(yīng)用

典例如圖,底面半徑為1,高為2的圓柱,在點(diǎn)A處有一只螞蟻,現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱側(cè)面一周由點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,問螞蟻爬行的最短距離是多少?分析將圓柱的側(cè)面沿母線剪開→側(cè)面展開圖→最短距離→計(jì)算求值

解把圓柱的側(cè)面沿AB剪開,然后展開成為平面圖形——矩形,如圖,連接AB',則AB'即為螞蟻爬行的最短距離.∵AB=A'B'=2,AA'為底面圓的周長,且方法點(diǎn)睛求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離,一般轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開圖上兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行求解.當(dāng)堂檢測(cè)1.下面幾何體的截面一定是圓面的是(

)A.圓臺(tái) B.球 C.圓柱 D.棱柱答案B2.正方形繞其一條對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體是(

)A.圓柱 B.圓錐C.圓臺(tái) D.兩個(gè)共底面的圓錐答案D答案B解析設(shè)圓錐的母線長為l,因?yàn)閳A錐的底面半徑為r=