第四章本章總結提升知識網絡·整合構建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯易混·銜接高考知識網絡·整合構建三角恒等變換

三角恒等變換

專題突破·素養(yǎng)提升專題一三角函數求值1.三角函數的求值問題通常包括三種類型:給角求值、給值求值、給值求角.2.通過三角函數求值,提升學生的數學運算能力.B★(2)已知-π<x<0,sinx+cosx=,求tanx.規(guī)律方法

給角求值的關鍵是將要求角轉化為特殊角的三角函數值;給值求值關鍵是找準要求角與已知角之間的聯系,合理進行拆角、湊角;給值求角實質是給值求值,先求角的某一三角函數值,再確定角的范圍,從而求出角.變式訓練1(1)[2024江蘇徐州高一期末]已知α∈

,且2+3sinα=cos2α,則α=

.

專題二三角函數式的化簡與證明1.本章涉及的公式有兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,同角三角函數基本關系式,熟記公式是解答化簡與證明題的基礎.2.通過解決三角函數式的化簡與證明問題,提升學生的數學運算和邏輯推理能力.規(guī)律方法

三角函數化簡常用策略有切化弦、異名化同名、降冪公式、“1”的代換等,化簡的結果應做到項數盡可能少,次數盡可能低,函數名盡量統(tǒng)一.三角函數證明常用方法有從左向右(或從右向左),一般由繁向簡;從兩邊向中間,左右歸一法;作差證明,證明“左邊-右邊=0”;左右分子、分母交叉相乘,證明差值為0.對于給定信息的證明或探索題要注意知識的遷移和運用.變式訓練2閱讀下面材料:根據兩角和與差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,②由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.③(1)類比上述推理方法,根據兩角和與差的余弦公式,證明:(2)求值:sin220°+cos250°+sin20°cos50°(提示:如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結論).(1)證明

因為cos(α+β)=cos

αcos

β-sin

αsin

β,①cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

β,②①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin

αsin

β.③專題三三角恒等變換與函數、向量的綜合運用1.向量坐標運算中的數量積、向量的平行與垂直、向量的模等與三角恒等變換知識交匯的一類題,是?？嫉囊环N重要題型,多是中檔題.它通常應用向量的坐標運算及三角恒等變換等運算最終化為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,再進一步研究其性質.2.通過解決此類問題,有利于提升學生數學運算能力.【例3】

如圖,帶有坐標系的單位圓O中,設∠AOx=α,∠BOx=β,∠AOB=α-β,利用單位圓、向量知識證明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.規(guī)律方法

研究三角函數的性質時,當問題以向量為載體時,一般是通過向量運算,將問題轉化為三角函數形式,再運用三角恒等變換如降冪公式、輔助角公式對三角函數進行化簡求解.變式訓練3已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=.(1)求cos(α-β)的值;易錯易混·銜接高考12341.[2024新高考Ⅰ,4]已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,則cos(α-β)=(

)A解析

∵tan

αtan

β=2,∴sin

αsin

β=2cos

αcos

β.∵cos(α+β)=m,即cos

αcos

β-sin

αsin

β=cos

αcos

β-2cos

αcos

β=m,∴cos

αcos

β=-m,sin

αsin

β=-2m.∴cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

β=-m-2m=-3m.12342.[2024全國甲,文14]函數f(x)=sinx-cosx在[0,π]上的最大值是

.

212343.[2024新高考Ⅱ,13]已知α為第一象限角,β