第二章4.1平面向量基本定理基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解基、正交分解、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念,并能判斷兩個(gè)向量是否是平面上的一組基.2.掌握平面向量基本定理.3.能運(yùn)用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量a,存在

的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=

.我們把不共線的向量e1和e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基,記為{e1,e2}.

若基中的兩個(gè)向量互相垂直,則稱這組基為

.在正交基下向量的線性表示稱為

.若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量,則稱這組基為

.

唯一

λ1e1+λ2e2正交基

正交分解

標(biāo)準(zhǔn)正交基

名師點(diǎn)睛1.0不能與另外一個(gè)向量構(gòu)成一組基,因?yàn)?與任一向量共線.2.平面向量的基不是唯一的.同一平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為一組基.這組基一旦確定,平面內(nèi)任何向量都可以用這一組基唯一表示.思考辨析兩個(gè)單位向量能作為一組基嗎?提示

不共線的兩個(gè)單位向量能作為一組基.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)平面內(nèi)任意兩個(gè)向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基.(

)(2)平面向量基本定理中基的選取是唯一的.(

)(3)若e1,e2不共線,則2e1與3e2也可作為一組基.(

)(4)若e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.(

)××√√重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對(duì)平面向量基本定理的理解【例1】

[2024北京海淀高一期末]設(shè)e1,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基,則下列四組向量中,不能作為一組基的是(

)A.e1+e2和

e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1+e2B解析

因?yàn)閑1,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基,所以e1,e2不共線,所以e1+e2和e1-e2不共線,e1+2e2和2e1+e2不共線,e1和e1+e2不共線,所以選項(xiàng)A,C,D都可以作為一組基.因?yàn)?e1-8e2=2(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2共線,不能作為一組基.故選B.規(guī)律方法

平面向量基本定理是指平面內(nèi)任一向量均可用平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量線性表示,且表示方法是唯一的.變式訓(xùn)練1已知{a,b}是一組基,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y=

.

3探究點(diǎn)二用基表示向量變式探究將本例中“M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)”改為“M是AB上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)”,“點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四分點(diǎn)”改為“N為OA的中點(diǎn)”,求BP∶PN的值.規(guī)律方法

用一組基表示向量的注意事項(xiàng)平面內(nèi)任一向量都可用一組基來表示,在表示過程中,主要結(jié)合向量的線性運(yùn)算完成這種向量表示.注意以下幾點(diǎn):(1)通常選取有公共點(diǎn)的兩個(gè)不共線向量作為基;(2)注意平面向量基本定理的應(yīng)用;(3)注意a,b不共線,則0=0×a+0×b是唯一的;(4)充分利用首尾相連的向量所表示的等量關(guān)系;(5)利用同一向量的多種表示方法建立等量關(guān)系,也是常用技巧.探究點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】

在△ABC中,規(guī)律方法

在平面幾何中,中線、重心等與向量的關(guān)系非常重要,一些結(jié)論的用處非常廣泛,須熟記.例如,在△ABC中,若點(diǎn)M是重心,AD,BE,CF是三條中線,則下列結(jié)論都是成立的:變式訓(xùn)練2A(2)如圖,在?ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若,其中λ,μ∈R,則λ+μ=

.

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)平面向量基本定理;(2)用基表示向量;(3)平面向量基本定理的應(yīng)用.2.方法歸納:列方程(組).3.常見誤區(qū):必須是不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12341.(多選)下列說法中正確的是(

)A.一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可構(gòu)成表示該平面內(nèi)所有向量的一組基B.一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對(duì)不共線的向量可構(gòu)成表示該平面內(nèi)所有向量的一組基C.零向量不可以作為基中的向量D.一對(duì)不共線的單位向量可以作為一組基BCD解析

在同一平面內(nèi),任意一對(duì)不共線的非零向量都可構(gòu)成表示該平面內(nèi)所有向量的一組基,故A錯(cuò),B正確,D正確;零向量與任一向量平行,故零向量不可以作為基中的向量,故C正確.故選BCD.1234D12343.已知向量e1,