第11講勾股定理的應用（1大知識點+11大典例+變式訓練+過關檢測）典型例題一求梯子滑落高度典型例題二求旗桿高度典型例題三求小鳥飛行距離典型例題四求大樹折斷前的高度典型例題五解決水杯中筷子問題典型例題六解決航海問題典型例題七求河寬典型例題八求臺階上地毯長度典型例題九判斷是否受臺風影響典型例題十選址使到兩地距離相等典型例題十一求最短路徑知識點01勾股定理的應用勾股定理的作用1、已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2、用于解決帶有平方關系的證明問題；3．與勾股定理有關的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應用．【即時訓練】1．（2425八年級上·浙江湖州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相聚8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（）米．A． B． C． D．【即時訓練】2．（2425八年級上·北京房山·期末）如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得BC＝60m，AC＝20m，則A，B兩點間的距離為m．【即時訓練】3．（2425八年級上·四川眉山·期中）《城市交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街路上的行駛速度不得超過70千米/時．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測儀A正前方30米的C處，過了2秒后，小汽車行駛至B處，若小汽車與觀測點間的距離AB為50米，請通過計算說明：這輛小汽車是否超速？【典型例題一求梯子滑落高度】【例1】（2425八年級上·廣西玉林·期中）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．5米【例2】（2425八年級上·新疆吐魯番·階段練習）如圖，一架25米長的云梯AC斜靠一面豎直的墻AB上，這時梯子底端C離墻7米．如果梯子的頂端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑動了（

）米A．7米 B．8米 C．9米 D．10米【例3】（2425八年級上·山東青島·期中）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一根竹竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離為15米，頂端距離地面20米；如果保持竹竿底端位置不動，將竹竿斜靠在左墻時，其頂端距離地面為24米，則小巷的寬度為米．【例4】（2425九年級·北京西城·階段練習）《九章算術》內容豐富，與實際生活聯(lián)系緊密，在書上講述了這樣一個問題：“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內容可以表述為：“有一面墻，高1丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問木桿長多少尺？”（說明：1丈=10尺）設木桿長尺，依題意，列方程是．(1)求此時風箏的鉛直高度．(2)若小強想使風箏沿方向下降（不考慮其他因素），則他應該收線多少米？(2)在演練中，高約為24m的樓房窗口處有求救聲，消防員需調整云梯去救援被困人員，經(jīng)驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全，在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達24m高的樓房窗口去救援被困人員？【典型例題二求旗桿高度】A． B． C． D．【例2】（2425八年級上·河南鶴壁·期末）一輛裝滿貨物，寬為1.6米的卡車，欲通過如圖所視的隧道，則卡車的外形高必須低于（

）A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米(1)求秋千的長度；(2)如果將秋千往前推送，求此時踏板離地的垂直高度為多少？3．（2425八年級上·重慶萬州·期末）放風箏是清明節(jié)的節(jié)日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關系．某校八年級幾名同學在學習了“勾股定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度．如圖，牽線放風箏的同學站在處，風箏在處，先測得他抓線的地方與地面的距離為1.5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離為15米，最后根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米．(1)求此時風箏的垂直高度的長；(2)若放風箏的同學站在點不動，風箏沿的方向繼續(xù)上升到處，風箏線又放出了8米，請求出風箏沿方向上升的高度的長．【典型例題三求小鳥飛行距離】A． B． C． D．【例2】（2425八年級上·重慶云陽·階段練習）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【例3】（2425八年級上·江西撫州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹相距24米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行米．【例4】（2425八年級上·廣東東莞·階段練習）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是．1．（2425八年級上·江蘇泰州·期中）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米.3．（2425八年級上·安徽合肥·期中）如圖，某?？萍紕?chuàng)新興趣小組用他們設計的機器人，在平坦的操場上進行走展示.輸入指令后，機器人從出發(fā)點A先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米到達終止點B.求終止點B與原出發(fā)點A的距離AB.【典型例題四求大樹折斷前的高度】【例1】（2324八年級上·廣東廣州·期中）如圖，一棵樹（樹干與地面垂直）高18米，在一次強臺風中樹被強風折斷，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為12米，則這棵樹斷裂處點B離地面的高度的值為（

）

A．12米 B．14米 C．3米 D．5米【例3】（2425八年級上·貴州黔南·期中）如圖，一棵大樹折斷后倒在地上，請按圖中所標的數(shù)據(jù)，計算大樹沒折斷前的高度的結果是．【例4】（2425八年級上·北京·期中）《九章算術》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為．1．（2425八年級上·重慶合川·期中）如圖，一棵樹在離地面處斷裂，樹的頂端落在離樹桿底部處．求這棵樹折斷之前的高度．3．（2425八年級·浙江杭州·單元測試）如圖所示，一根長度為50cm的木棒的兩端系著一根長度為70cm的繩子，現(xiàn)準備在繩子上找一點，然后將繩子拉直，使拉直后的繩子與木棒構成一個直角三角形，這個點將繩子分成的兩段各有多長？【典型例題五解決水杯中筷子問題】【例4】（2324八年級上·四川成都·期中）如圖，有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．則水的深度是尺

3．（2425八年級上·福建福州·期中）《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L度．（1丈＝10尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段AF的長為尺，線段EF的長為尺；（2）求蘆葦?shù)拈L度．【典型例題六解決航海問題】【例1】（2324八年級上·山東威海·期中）周末，小明騎車從家A出發(fā)向北偏東方向騎行了4000米到達體育公園B，然后又從體育公園出發(fā)向南偏東方向騎行了3000米到達新華書店C．則小明家到新華書店的距離為（

）

A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米【例2】（2324八年級上·安徽合肥·期末）如圖一巡邏艇在A處，發(fā)現(xiàn)一走私船在A處的南偏東方向上距離A處12海里的B處，并以每小時20海里的速度沿南偏西方向行駛，若巡邏艇以每小時25海里的速度追趕走私船，則追上走私船所需時間是（

）A．0.5小時 B．0.75小時 C．0.8小時 D．1.25小時【例3】（2425八年級上·江西撫州·期中）一輪船以海里時的速度從港向東北方向航行，另一艘船同時以海里時的速度從港向西北方向航行，經(jīng)過小時后，它們相距海里．【例4】（2425八年級上·河北石家莊·期末）如圖，兩艘輪船在港口補給完畢后分別沿著北偏東和北偏西的方向同時行駛，行駛速度分別為每小時海里和每小時海里，行駛兩小時后分別到達和處，此時兩艘輪船之間的距離是海里．

(2)若輪船不改變航行速度和方向，求輪船開始受臺風影響的時刻．(1)如果這艘輪船不改變航向，經(jīng)過10小時，輪船與臺風中心相距多遠？它此時是否受到臺風影響？(2)如果這艘船不改變航向，那么它會不會進入臺風影響區(qū)？請說明理由；(3)如果你認為這艘輪船會進入臺風影響區(qū)，那么從接到警報開始，經(jīng)過多長時間它就會進入臺風影響區(qū)？(4)假設輪船航向不變，輪船航行速度不變，求受到臺風影響的時間為多少小時？【典型例題七求河寬】【例1】（2425八年級上·浙江杭州·課后作業(yè)）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達B點200m，結果他在水中實際游了520m，則該河流的寬度為（

）A．480m B．380mC．580m D．500m【例3】（2425八年級上·四川達州·階段練習）如圖，為修鐵路需鑿通隧道BC，測得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天鑿隧道0.3km，則需天才能把隧道鑿通．【例4】（2425八年級上·浙江臺州·期中）某工程隊負責挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預計全長米．

【典型例題八求臺階上地毯長度】【例1】（2024八年級上·浙江杭州·專題練習）如圖所示的是一個三級臺階，它每一級的長、寬和高分別為9，3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點．點A有一只螞蟻，想到點B去吃食物，則這只媽蟻沿著臺階面爬行的最短路程為（

）A．6 B．8 C．9 D．15【例2】（2425八年級上·吉林長春·期末）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【例3】（2425八年級上·山東濟南·階段練習）如圖，是臺階的示意圖，已知每個臺階的寬度都是30cm，每個臺階的高度都是15cm，連接AB，則AB等于．【例4】（2425八年級上·吉林·期中）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，AB，AC的夾角為θ（θ=30°）．要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=cm，樓梯寬1cm，則地毯的面積至少需要平方厘米．

(1)直接寫出的值；(2)現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價格為20元/，求購買地毯需多少元？(3)在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側上），并鋪設斜面EG．已知矩形EFGH的周長為27.5m，求斜面EG在這個坐標系中的解析式．【典型例題九判斷是否受臺風影響】【例1】（2425八年級上·湖北武漢·階段練習）M城氣象中心測得臺風中心在M城正北方向240km的P處，以每小時45km的速度向南偏東30°的PB方向移動，距臺風中心150km的范圍內是受臺風影響的區(qū)域，則M城受臺風影響的時間為（

）小時．A．4 B．5 C．6 D．7【例2】（2425八年級上·河南鄭州·階段練習）如圖，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動，距臺風中心200km的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風影響區(qū)，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC=500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離BA=300km，如果這艘輪船會受到臺風影響，那么從接到警報開始，經(jīng)過(

)小時它就會進入臺風影響區(qū)

A．10 B．7 C．6 D．12【例3】（2425八年級上·浙江紹興·期中）如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點80米的A處有一所希望小學，當拖拉機沿ON方向行駛時，路兩旁50米內會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的拖拉機正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機沿ON方向行駛時給小學帶來噪音影響的時間是秒．(1)臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？【典型例題十選址使到兩地距離相等】【例1】（2324八年級上·云南·期末）小明從家出發(fā)向正北方向走了60m，接著向正東方向走到離家100m遠的地方，小明向正東方向走了（

）A．60m B．80m C．100m D．160m【例2】（2425八年級·重慶·階段練習）如圖，要在距離地面5米處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若要考慮到符合設計要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四種備用材料中，拉線AC最好選用（）A．L1 B．L2 C．L3 D．L4【例3】（2425八年級上·浙江杭州·課后作業(yè)）小麗從家出發(fā)先向正東方向直線前進了40米，接著又向正北方向直線前進了9米，此時小麗若以20米/分鐘的速度回家，最少需要分鐘.2．（2425八年級上·陜西西安·開學考試）如圖，A、B兩點相距14km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，現(xiàn)在要在AB上建一個供水站E，使得C、D兩村到供水站E站的距離相等，則：（1）站應建在距站多少千米處？（2）和垂直嗎？說明理由．3．（2425八年級上·江蘇無錫·期中）（1）如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為_______m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長方體中，如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側面纏繞一圈到達點C，那么所用細線最短需要______m；【典型例題十一求最短路徑】數(shù)學抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，連接．(1)線段的長即螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程，依據(jù)是______；(2)問題解決：求出這只螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程．3．（2425八年級上·河南鄭州·階段練習）如圖①，已知圓柱底面的周長為12，圓柱的高為8，在圓柱的側面上，過點，嵌有一圈長度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側面沿剪開，所得的圓柱側面展開圖（圖③）是______；(2)求該長度最短的金屬絲的長；(3)如圖②，若將金屬絲從點繞四圈到達點，則所需金屬絲的最短長度為，則的值為______．2．（2425八年級上·新疆烏魯木齊·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高2米，兩樹相距15米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（

）米．A．17 B．15 C．10 D．83．（2425八年級上·湖北襄陽·期末）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何