協(xié)方差第1頁，共29頁。優(yōu)選協(xié)方差第2頁，共29頁。除了期望和方差，還可得到各種數(shù)字特征:其中

k是正整數(shù).第3頁，共29頁。

對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第4頁，共29頁。

任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),定義為⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義第5頁，共29頁。

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即第6頁，共29頁。若X1,X2,…,Xn兩兩獨(dú)立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系第7頁，共29頁。【例3】設(shè)(X,Y)具有概率密度求Cov(X,Y).【例4】已知三個(gè)隨機(jī)變量X,Y,Z中,E(X)=E(Y)=1,E(Z)=-1,D(X)=D(Y)=D(Z)=1,

求E(X+Y+Z),D(X+Y+Z).第8頁，共29頁。

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù).第9頁，共29頁。二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).定義:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時(shí)，記

為.第10頁，共29頁。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。第11頁，共29頁。2.X和Y獨(dú)立時(shí)，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.請(qǐng)看下例.第12頁，共29頁。例1設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,（請(qǐng)課下自行驗(yàn)證）因而=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨(dú)立.不難求得，Cov(X,Y)=0，第13頁，共29頁。存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).第14頁，共29頁?？紤]以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y的好壞程度,e值越小表示a+bX與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達(dá)到最小時(shí)的a,b.相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.第15頁，共29頁。=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X第16頁，共29頁。

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若

=0，Y與X無線性關(guān)系;Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若可見,若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;|

|的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)第17頁，共29頁。稍事休息第18頁，共29頁。但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.第19頁，共29頁。其中均為常數(shù),且（X,Y）～N()第20頁，共29頁。矩、協(xié)方差矩陣在數(shù)學(xué)期望一講中，我們已經(jīng)介紹了矩和中心矩的概念.這里再給出混合矩、混合中心矩的概念.第21頁，共29頁。協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點(diǎn)）矩.若存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若k,L=1,2,…存在，可見，第22頁，共29頁。協(xié)方差矩陣的定義

將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個(gè)二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個(gè)對(duì)稱矩陣第23頁，共29頁。類似定義n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.下面給出n元正態(tài)分布的概率密度的定義.為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣稱矩陣都存在,i,j=1,2,…,n若第24頁，共29頁。f(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態(tài)分布.其中C是(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.|C|是它的行列式，表示C的逆矩陣，X和是n維列向量，表示X的轉(zhuǎn)置.

設(shè)=(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)n維隨機(jī)向量,若它的概率密度為第25頁，共29頁。n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)1.X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布a1X1+a2

X2+…+anXn均服從正態(tài)分布.對(duì)一切不全為0的實(shí)數(shù)a1,a2,…,an，第26頁，共29頁。n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)2.若

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，

Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…，Yk)也服從多元正態(tài)分布.這一性質(zhì)稱