第一節(jié)集合與函數(shù)演示文稿第1頁(yè)，共54頁(yè)。（優(yōu)選）第一節(jié)集合與函數(shù)第2頁(yè)，共54頁(yè)。極限（高等數(shù)學(xué)的基本方法）導(dǎo)數(shù)（特殊極限）定積分（特殊極限）不定積分一元函數(shù)微積分結(jié)構(gòu)互為逆運(yùn)算計(jì)算方法第3頁(yè)，共54頁(yè)。第一章函數(shù)與極限第4頁(yè)，共54頁(yè)。第一節(jié)映射與函數(shù)

集合二函數(shù)三函數(shù)的性質(zhì)(MappingandFunction)四函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)第5頁(yè)，共54頁(yè)。

微積分是一門以變量為研究對(duì)象、以極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科，應(yīng)用極限方法研究各類變化率問(wèn)題和幾何學(xué)中曲線的切線問(wèn)題，就產(chǎn)生了微分學(xué)；應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量無(wú)窮積累的問(wèn)題，就產(chǎn)生了積分學(xué)。英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲同時(shí)發(fā)現(xiàn)了微積分，微積分研究的主要對(duì)象就是函數(shù)。第6頁(yè)，共54頁(yè)。第7頁(yè)，共54頁(yè)。設(shè)是任意兩個(gè)集合,任取組成一個(gè)有序?qū)σ赃@樣的有序?qū)Φ娜w組成的記為集合稱為集合與集合的直積,且如即為面上全體點(diǎn)的集合,常記作兩集合間的直積或笛卡爾乘積第8頁(yè)，共54頁(yè)。區(qū)間設(shè)且開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間半開(kāi)區(qū)間第9頁(yè)，共54頁(yè)。無(wú)限區(qū)間特別地第10頁(yè)，共54頁(yè)。鄰域定義設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù),且數(shù)集稱為點(diǎn)的鄰域.記為其中,叫做該鄰域的半徑.點(diǎn)叫做該鄰域的中心,第11頁(yè)，共54頁(yè)。記為即點(diǎn)的去心的鄰域,以為中心的任何開(kāi)區(qū)間均是點(diǎn)的鄰域,記為).(aU第12頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)的定義反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值有界性單調(diào)性奇偶性周期性初等函數(shù)函數(shù)（Function)第13頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)概念定義設(shè)和是兩個(gè)變量,是一個(gè)給定的數(shù)集.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng),則稱是的函數(shù),記作因變量自變量其中,數(shù)集稱為函數(shù)的定義域,記為即對(duì)按照對(duì)應(yīng)法則總有確定的值與之對(duì)應(yīng),稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值.第14頁(yè)，共54頁(yè)。因變量與自變量的這種依賴關(guān)系通常稱為函數(shù)關(guān)系.函數(shù)值全體組成的集合稱為函數(shù)的值域,記為或即注:構(gòu)成函數(shù)的要素為:定義域與對(duì)應(yīng)法則第15頁(yè)，共54頁(yè)。定義域的確定:對(duì)實(shí)際問(wèn)題,根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定;對(duì)抽象函數(shù)表達(dá)式,約定:定義域是使算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合,這種定義域又稱為函數(shù)的自然定義域.例如,第16頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)的表示法:表格法、圖形法、公式法(解析法).函數(shù)的圖形:坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集稱為函數(shù)的圖形.從函數(shù)的定義可見(jiàn),自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè),這種函數(shù)稱為單值函數(shù).第17頁(yè)，共54頁(yè)。單值函數(shù)與多值函數(shù)多值函數(shù):例如,圓的方程在區(qū)間上不能確定是的單值函數(shù).對(duì)多值函數(shù),只要附加一些條件,就可以化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.如對(duì)上例,在附加條件或后,可得到下面兩個(gè)單值分支或第18頁(yè)，共54頁(yè)。例1求函數(shù)義域.的定第19頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)的表示法根據(jù)函數(shù)的解析表達(dá)式的形式不同,函數(shù)常見(jiàn)以下三種:顯函數(shù)函數(shù)由的解析表達(dá)式直接表示.例如隱函數(shù)關(guān)系由方程來(lái)確定.例如,函數(shù)的自變量與因變量的對(duì)應(yīng)第20頁(yè)，共54頁(yè)。在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第21頁(yè)，共54頁(yè)。

(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的分段函數(shù)舉例1-1xyo第22頁(yè)，共54頁(yè)。(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線第23頁(yè)，共54頁(yè)。有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第24頁(yè)，共54頁(yè)。(4)取最值函數(shù)yxoyxo第25頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有上界若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有下界第26頁(yè)，共54頁(yè)。M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX第27頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)的有界性有下界.在上有界在上既有上界又例如,在內(nèi),恒有或故函數(shù)有界,且是它的上界,是它的下界.第28頁(yè)，共54頁(yè)。例2證明函數(shù)在上是有界的;函數(shù)在上是無(wú)界的.第29頁(yè)，共54頁(yè)。xyoxyo函數(shù)的單調(diào)性第30頁(yè)，共54頁(yè)。偶函數(shù)yxox-xyxox-x奇函數(shù)函數(shù)的奇偶性第31頁(yè)，共54頁(yè)。例3判斷函數(shù)的奇偶性.第32頁(yè)，共54頁(yè)。（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.函數(shù)的周期性第33頁(yè)，共54頁(yè)。例4設(shè)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)(狄利克雷函數(shù))求并討論其性質(zhì).第34頁(yè)，共54頁(yè)。例5若對(duì)其定義域上的一切恒有則稱對(duì)稱于證明:則是以為周期的周期函數(shù).對(duì)稱于及若第35頁(yè)，共54頁(yè)。冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.冪函數(shù)(是常數(shù)).(1)情形;(2)情形;2.指數(shù)函數(shù)(是常數(shù),且),其中以為底數(shù)3.對(duì)數(shù)函數(shù)(是常數(shù),且),的指數(shù)函數(shù)記為其中以為底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)簡(jiǎn)記為叫做自然對(duì)數(shù)函數(shù),第36頁(yè)，共54頁(yè)。4.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)其中自變量以弧度作單位來(lái)表示.此外,尚有正割函數(shù)余割函數(shù)第37頁(yè)，共54頁(yè)。DWDW直接函數(shù)與反函數(shù)第38頁(yè)，共54頁(yè)。求反函數(shù)：直接函數(shù)反函數(shù)互為反函數(shù)第39頁(yè)，共54頁(yè)。

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.第40頁(yè)，共54頁(yè)。5.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)第41頁(yè)，共54頁(yè)。反余弦函數(shù)第42頁(yè)，共54頁(yè)。反正切函數(shù)第43頁(yè)，共54頁(yè)。反余切函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)第44頁(yè)，共54頁(yè)。復(fù)合函數(shù)引例設(shè)定義設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槎瘮?shù)的值域?yàn)槿魟t稱函數(shù)為的復(fù)合函數(shù).注:其中自變量,中間變量,因變量(1)函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)即通常記為第45頁(yè)，共54頁(yè)。復(fù)合函數(shù)(2)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函例如數(shù)的.(3)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)例如成的.第46頁(yè)，共54頁(yè)。例6設(shè)求第47頁(yè)，共54頁(yè)。例7將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合:第48頁(yè)，共54頁(yè)。例8設(shè)求第49頁(yè)，共54頁(yè)。函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)的定義域依次則我們可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:和(差)積商第50頁(yè)，共54頁(yè)。例9設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)樽C明必存在上的偶函數(shù)