課時跟蹤檢測(十三)平面向量及其應(yīng)用(滿分100分,選填小題每題5分)1.已知△ABC中,AB=4,AC=3,cosA=13.若D為邊BC上的動點,則AB·AD的取值范圍是()A.[42,12] B.[82,16]C.[4,16] D.[2,4]2.已知向量a,b滿足|a|=1,a與b的夾角為π3,若對一切實數(shù)x,|xa+2b|≥|a+b|恒成立,則|b|的取值范圍是()A.12,+∞ C.[1,+∞) D.(1,+∞)3.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,AB=(a-1)e1+e2,AC=2be1-e2,a>0,b>0,若A,B,C三點共線,則2a+1b的最小值是(A.8 B.6 C.4 D.24.對任意非零向量a,b,定義新運(yùn)算:a×b=asin<a,b>b.已知非零向量m,n滿足|m|>3|n|,且向量m,n的夾角θ∈π4,π2,若4(m×n)和4(n×m)都是整數(shù)A.2 B.3 C.4 D.175.已知a=(2sin13°,2sin77°),|a-b|=1,a與a-b的夾角為π3,則a·b=()A.2 B.3 C.4 D.56.如圖所示,半圓的直徑AB=4,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(PA+PB)·PC的最小值是()A.2 B.0C.-1 D.-27.已知A32,72,B(1,4),且AB=(sinα,cosβ),α,β∈-π2,π2,8.定義a*b是向量a和b的“向量積”,其長度為|a*b|=|a||b|sinθ,其中θ為向量a和b的夾角.若a=(2,0),b=(1,3),則|a*(a+b)|=.

9.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD=2,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD邊上的中點,則EF·FG+GH·HE=.

10.(18分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)設(shè)α=π4,且a⊥(b+c),求cosβ的值11.(18分)已知矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=1,E為AB的中點,P為邊DC上的動點(不包括端點).(1)求PA·PB的最小值;(2)設(shè)線段AP與DE的交點為G,求AG·AP的最小值.12.(19分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知向量a=(-1,2),且點A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t).(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|,求向量OB;(2)若向量AC與向量a共線,常數(shù)k>0,當(dāng)f(θ)=tsinθ取最大值4時,求OA·OC.課時跟蹤檢測(十三)1．選C由題意得＝λ＋(1－λ)，0≤λ≤1，·＝·[λ＋(1－λ)·]＝λ2＋(1－λ)||||cosA＝16λ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4,16]．2．選C因為|a|＝1，a與b的夾角為eq\f(π,3)，所以a·b＝|b|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)|b|.把|xa＋2b|≥|a＋b|兩邊平方，整理可得x2＋2|b|x＋3|b|2－|b|－1≥0，所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0，即(|b|－1)(2|b|＋1)≥0，解得|b|≥1.3．選A因為A，B，C三點共線，所以向量，共線，所以存在λ∈R，使得＝λ，即(a－1)e1＋e2＝λ(2be1－e2)，即(a－1)e1＋e2＝2λbe1－λe2，因為e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝2bλ，,1＝－λ，))消去λ，得a＋2b＝1，因為a>0，b>0，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(a＋2b)＝4＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥4＋2eq\r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝4＋2×2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時，等號成立．4．選B由題意可得n×m＝eq\f(|n|sinθ,|m|)＝eq\f(k,4)(k∈Z)．因為|m|>3|n|>0，所以0<eq\f(|n|,|m|)<eq\f(1,3).因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以eq\f(\r(2),2)<sinθ<1.所以0<eq\f(|n|,|m|)sinθ<eq\f(1,3)，即0<eq\f(k,4)<eq\f(1,3)，解得0<k<eq\f(4,3).因為k∈Z，所以k＝1.所以n×m＝eq\f(|n|sinθ,|m|)＝eq\f(1,4).則eq\f(|m|,|n|)＝4sinθ，則eq\f(|n|,|m|)＝eq\f(1,4sinθ)<eq\f(1,3)，得eq\f(3,4)<sinθ<1，故m×n＝eq\f(|m|sinθ,|n|)＝4sin2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，4))，符合該條件的是3.5．選B因為a＝(2sin13°，2sin77°)，所以|a|＝eq\r((2sin13°)2＋(2sin77°)2)＝eq\r((2sin13°)2＋(2cos13°)2)＝2.又因為|a－b|＝1，向量a與a－b的夾角為eq\f(π,3)，所以coseq\f(π,3)＝eq\f(a·(a－b),|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,2×1)＝eq\f(4－a·b,2×1)＝eq\f(1,2)，所以a·b＝3，故選B.6．選D由平行四邊形法則得＋＝2，故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，設(shè)||＝t(0≤t≤2)，則(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴當(dāng)t＝1時，(＋)·取得最小值－2，故選D.7．解析：由題意知＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－eq\f(1,2)，cosβ＝eq\f(1,2).又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝－eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,3)或－eq\f(π,3).∴α＋β＝eq\f(π,6)或－eq\f(π,2).答案：eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)8．解析：因為a＝(2,0)，b＝(1，eq\r(3))，所以a＋b＝(3，eq\r(3))．所以|a|＝2，|a＋b|＝2eq\r(3).所以cos〈a，a＋b〉＝eq\f(2×3＋0×\r(3),2×2\r(3))＝eq\f(\r(3),2).因為〈a，a＋b〉∈[0，π]，所以sin〈a，a＋b〉＝eq\f(1,2).所以|a*(a＋b)|＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．解析：連接EG，F(xiàn)H，交于點O(圖略)，則·＝·＝2－2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，·＝·＝2－2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，因此·＋·＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)10．解：(1)因為向量b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)，所以b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，則|b＋c|＝eq\r((cosβ－1)2＋sin2β)＝eq\r(cos2β－2cosβ＋1＋sin2β)＝eq\r(2－2cosβ).因為－1≤cosβ≤1，所以0≤2－2cosβ≤4.所以0≤|b＋c|≤2.所以向量b＋c的模的最大值為2.(2)因為α＝eq\f(π,4)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).因為a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0.所以eq\f(\r(2),2)(cosβ－1)＋eq\f(\r(2),2)sinβ＝0.化簡得sinβ＝1－cosβ，代入sin2β＋cos2β＝1，得(1－cosβ)2＋cos2β＝1，得cos2β－cosβ＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.11．解：(1)設(shè)DP＝a，a∈(0,2)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．∵A(0,0)，P(a，1)，B(2，0)，∴＝(－a，－1)，＝(2－a，－1)．∴·＝(－a)×(2－a)＋(－1)×(－1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2.當(dāng)a＝1時，·有最小值，最小值為0.(2)由圖可得△AEG∽△PDG，則eq\f(AG,PG)＝eq\f(AE,PD)＝eq\f(1,a)，∴＝eq\f(1,a＋1).又＝(a,1)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋1)，\f(1,a＋1))).∴·＝eq\f(a2,a＋1)＋eq\f(1,a＋1)＝eq\f(a2＋1,a＋1)＝eq\f((a＋1)2－2a,a＋1)＝a＋1－eq\f(2a,a＋1)＝(a＋1)＋eq\f(2,a＋1)－2≥2eq\r(2)－2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝eq\f(2,a＋1)，即a＝eq\r(2)－1時取等號．∴·的最小值為2eq\r(2)－2.12．解：(1)∵＝(n－8，t)，⊥a，∴8－n＋2t＝0①.又||＝eq\r(5)||，∴(n－8)2＋t2＝5×64②.聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝8，,n＝24))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝－8，,n＝－8.))∴＝(24,8)或(－8，－8)．(2)∵＝(ksinθ－8，t)，向量與向量a共線，∴t＝－2ksinθ＋16.∴tsinθ＝(－2ksinθ＋16)·sinθ＝－2keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－