課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(滿(mǎn)分100分,A級(jí)選填小題每題5分,B級(jí)選填小題每題6分)A級(jí)——達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)1.(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=()A.2 B.3 C.4 D.52.若向量a=(1,1),b=(0,-1),則a與b的夾角等于()A.-3π4 B.πC.5π4 D.3.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1C.1 D.24.已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夾角為π6,則實(shí)數(shù)m等于()A.23 B.3C.0 D.-35.(多選)已知向量a,b在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則()A.a·b=4B.向量b在向量a上的投影向量為23C.(a+b)⊥(a-b)D.若c=(-1,2),則c∥(a-b)6.已知點(diǎn)A(1,0),B(-2,1),向量e=(0,1),則AB在e方向上的投影向量的模為.7.已知向量a=(-2,3),非零向量b滿(mǎn)足a⊥b,則b=.(寫(xiě)一個(gè)向量坐標(biāo)即可)

8.如圖,在2×4的方格紙中,若向量a,b的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn),則向量a+b,a-b夾角的余弦值是.9.(10分)已知點(diǎn)A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),求證:△ABC是直角三角形.10.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.B級(jí)——重點(diǎn)培優(yōu)11.已知向量a=(-1,2),b=(3,4),c=2a-λb,若c⊥b,則實(shí)數(shù)λ=()A.-25 B.1C.-12 D.12.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=π2,設(shè)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),E在BC上,且AE·BD=0,則BC·AE=()A.16 B.12C.8 D.-413.已知平面向量AB=(-1,k),AC=(2,1),若△ABC是直角三角形,則k的取值可能是.

14.(10分)已知向量a=(-3,0),b=(μ+3,-1),c=(1,λ).(1)若λ=8,μ=-6,求向量a-c與b的夾角;(2)若(a+b)⊥c,且a在c上的投影向量的模為1,求λ與μ的值.15.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA=(3,1),OB=(2,-1),OC=(a,b),其中a>0,b>0.(1)若OB與OC的夾角為45°,求ba的值(2)若AB⊥AC,求1a+1b課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十)1．選D由題意知a－b＝(2,1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq\r(42＋(－3)2)＝5，故選D.2．選D因?yàn)閏os〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×1)＝－eq\f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(3π,4)，即a與b的夾角等于eq\f(3π,4).故選D.3．選D因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2，故選D.4．選B因?yàn)閍＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，所以|a|＝2，|b|＝eq\r(9＋m2)，a·b＝3＋eq\r(3)m.又a，b的夾角為eq\f(π,6)，所以coseq\f(π,6)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(3)＋m＝eq\r(9＋m2)，解得m＝eq\r(3).5．選BD由題圖可知a＝(3,0)，b＝(2,2)，則a·b＝2×3＋0×2＝6，故A錯(cuò)誤；向量b在向量a上的投影向量為eq\f(a·b,|a|)·eq\f(a,|a|)＝eq\f(6,3)·eq\f(a,3)＝eq\f(2,3)a，故B正確；因?yàn)閍＋b＝(5,2)，a－b＝(1，－2)，則(a＋b)·(a－b)＝5×1＋2×(－2)＝1，所以a＋b與a－b不垂直，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閏＝(－1,2)，a－b＝(1，－2)，則c＝－(a－b)，所以c與a－b平行，故D正確．故選BD.6．解析：由A(1,0)，B(－2,1)，可得＝(－3，1)，所以在e方向上的投影向量的模為＝eq\f(|－3×0＋1×1|,1)＝1.答案：17．解析：設(shè)b＝(x，y)，則由a⊥b得a·b＝－2x＋3y＝0，取x＝3，則y＝2，b＝(3,2)．答案：(3,2)8．解析：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3).所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a－b|＝eq\r(10)，|a＋b|＝eq\r(26).所以向量a＋b，a－b夾角的余弦值為eq\f(－8,\r(26)×\r(10))＝－eq\f(4\r(65),65).答案：－eq\f(4\r(65),65)9．證明：因?yàn)锳(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，所以＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)．所以||＝eq\r(82＋(－4)2)＝eq\r(80)＝4eq\r(5)，||＝eq\r(22＋42)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，||＝eq\r((－6)2＋82)＝eq\r(100)＝10.所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是直角三角形．10．解：(1)由題設(shè)知＝(3,5)，＝(－1,1)，則＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2eq\r(10)，|－|＝4eq\r(2).故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2eq\r(10)，4eq\r(2).(2)由題設(shè)知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，從而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).11．選D由題意得c＝2a－λb＝2(－1,2)－λ(3，4)＝(－2－3λ，4－4λ)，b＝(3,4)，且c⊥b，所以c·b＝3(－2－3λ)＋4(4－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(2,5).12．選A由題意以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(4，0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，設(shè)E(0，b)，則＝(－4，b)，＝(2,3)，＝(0,6)．由題意可知·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，即－8＋3b＝0，解得b＝eq\f(8,3).所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(8,3)))，所以·＝16.13．解析：因?yàn)椋?－1，k)，＝(2,1)，所以＝－＝(3,1－k)．若A＝90°?·＝0，∴－2＋k＝0?k＝2；若B＝90°?·＝0，∴－3＋k(1－k)＝0，無(wú)解；若C＝90°?·＝0，∴6＋(1－k)＝0?k＝7.答案：2或714．解：(1)當(dāng)λ＝8，μ＝－6時(shí)，b＝(－3，－1)，c＝(1,8)，a－c＝(－4，－8)．設(shè)向量a－c與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f((a－c)·b,|a－c||b|)＝eq\f(12＋8,\r(80)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)棣取蔥0，π]，所以向量a－c與b的夾角為eq\f(π,4).(2)由題意知，a＋b＝(μ，－1)，c＝(1，λ)．因?yàn)?a＋b)⊥c，所以(a＋b)·c＝μ－λ＝0，得μ＝λ.又因?yàn)閍在c上的投影向量的模為1，則eq\f(|a·c|,|c|)＝1，所以eq\r(1＋λ2)＝3，解得λ＝μ＝2eq\r(2)或λ＝μ＝－2eq\r(2).15．解：(1)由題意知向量＝(2，－1)，＝(a，b)，因?yàn)榕c的夾角為45°，所以cos〈，〉＝＝eq\f(2a－b,\r(5)·\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)(負(fù)值舍去)．(2)因?yàn)椋剑?－1，－2)，＝－＝(a－3，b－1)，又⊥，所以·＝(－1)·(a－3)＋(－2)·(b－1)＝0，即得a＋2b＝5.又a>0，b>0，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,5)(a＋2b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3