11.1余弦定理第1課時余弦定理(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時目標(biāo)]1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,了解余弦定理的推導(dǎo)過程.2.掌握余弦定理及其變形,并能利用余弦定理解決相關(guān)問題.1.余弦定理在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,則有文字語言三角形任何一邊的平方等于_______________符號語言a2=,b2=,c2=_______________

推論cosA=b2+c2-a2cosC=a2.解三角形的定義我們把三角形的三個角和三條邊叫作三角形的.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作.|微|點|助|解|1.余弦定理的特點(1)適用范圍:余弦定理對任意的三角形都成立.(2)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系,它含有四個不同的量,知道其中的三個量,就可求得第四個量.2.余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中,c2=a2+b2?C為直角;c2>a2+b2?C為鈍角;c2<a2+b2?C為銳角.3.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.(2)若已知兩邊和一邊的對角,可以用余弦定理解三角形.基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.在△ABC中,已知a=9,b=23,C=150°,則c等于()A.39 B.83 C.102 D.732.在△ABC中,若a=7,b=3,c=2,則A=()A.30° B.60° C.45° D.90°3.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,則cosC=.題型(一)已知兩邊和一角解三角形[例1](1)在△ABC中,已知b=3,c=23,A=30°,求a的值;(2)在△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,解這個三角形.聽課記錄:|思|維|建|模|已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對角,可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解.(2)若已知角是兩邊的夾角,則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角.[針對訓(xùn)練]1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,b=7,B=60°,則c=()A.1 B.3 C.3 D.1或32.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若cosB=45,c=5,a=3,則b=()A.58 B.34 C.24 D.10題型(二)已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形[例2]在△ABC中,已知a=26,b=6+23,c=43,求A,B,C的大小.聽課記錄:|思|維|建|模|已知三角形三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦,從而求出第一個角;再利用余弦定理的推論求出第二個角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.[針對訓(xùn)練]3.若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,b=3,且c2+ab-a2=3,則角C的大小為()A.π6 B.πC.π2 D.4.在△ABC中,已知a=42,b=5,c=7.(1)求cosA的值;(2)若點D在邊BC上,且BD=3CD,求AD的長.題型(三)判斷三角形的形狀[例3]在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷△ABC的形狀.聽課記錄:|思|維|建|模|利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后,注意等式兩邊不要輕易約分,否則可能會出現(xiàn)漏解.[針對訓(xùn)練]5.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,試確定△ABC的形狀.第1課時余弦定理?課前預(yù)知教材1.其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC2.元素解三角形[基礎(chǔ)落實訓(xùn)練]1.選D由余弦定理得c=92+(23)2.選B因為a=7,b=3,c=2,所以由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=9+4-72×3×2=12.又3.解析:∵a2-c2+b2=ab,∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcosC,∴2cosC=1.∴cosC=12答案:1?課堂題點研究[例1]解:(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=32+(23)2-2×3×23×cos30°=3.所以a=3.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(33)2-2a×33×cos30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.當(dāng)a=3時,A=B=30°,C=120°;當(dāng)a=6時,由余弦定理得cosA=b2+又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°.綜上,當(dāng)a=3時,A=30°,C=120°;當(dāng)a=6時,A=90°,C=60°.[針對訓(xùn)練]1.選C由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得7=4+c2-2c,即(c-3)(c+1)=0,解得c=3.故選C.2.選D由cosB=45,c=5,a=3以及余弦定理得b==9+25-2×3×5×45=10,故選[例2]解:根據(jù)余弦定理的推論,得cosA=b=(6+23)2∵A∈(0,π),∴A=π6cosC=a=(26)2∵C∈(0,π),∴C=π4.∴B=π-A-C=π-π6-π4=7π12,∴A=π6,B=[針對訓(xùn)練]3.選B∵c2+ab-a2=3且b=3,∴c2+ab-a2=b2,即ab=a2+b2-c2.根據(jù)余弦定理可得cosC=a2+b又∵0<C<π,∴C=π34.解:(1)cosA=52+7(2)如圖所示,cosB=422+因為BD=3CD,a=42,所以BD=32.所以AD2=72+(32)2-2×7×32×22=25,即AD=5[例3]解:將已知等式變形為b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理并整理,得b2+c2-b2a2+b2-c22ab2-∴b2+c2=[(=4a44a2=a2.∴A=90°[針對訓(xùn)練]5.解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,∴a2=b2+c2-bc.而a2=b2+c2-2bccosA,∴2cosA=1.∴cos